30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P2)

Câu 1:

Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn 2^x + 2^y = 4. Tìm giá trị lớn nhất P_max của biểu thức

P = (2x² + y)(2y² + x) + 9xy.

A. P_max = $\frac{27}{2}$

B. P_max = 18

C. P_max = 27

D. P_max = 12

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $4 = 2^{x} + 2^{y} \geq 2 \sqrt{2^{x} . 2^{y}} = 2 \sqrt{2^{x + y}}$

$\Leftrightarrow 4 \geq 2^{x + y} \Leftrightarrow x + y \leq 2 .$

Suy ra $x y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2} = 1$

Khi đó

$P = 2 (x^{3} + y^{3}) + 4 x^{2} y^{2} + 10 x y = 2 (x + y) [{(x + y)}^{2} - 3 x y] + {(2 x y)}^{2} + 10 x y$

$\leq 4 (4 - 3 x y) + 4 x^{2} y^{2} + 10 x y$

$= 16 + 2 x^{2} y^{2} + 2 x y (x y - 1) \leq 18$

Vậy P_max = 18 khi x = y = 1.

Câu 2:

Số nghiệm của phương trình

$(x^{2} - 4) (\log_{2} x + \log_{3} x + \log_{4} x + . . . \log_{19} x - \log_{20}^{2} x) = 0$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D.

Điều kiện x > 0. Phương trình đã cho tương đương với:

Câu 3:

Cho hàm số y = log₃(2x+1), ta có

A. $y^{'} = \frac{1}{2 x + 1} .$

B. $y^{'} = \frac{1}{(2 x + 1) \ln 3} .$

C. $y^{'} = \frac{2}{(2 x + 1) \ln 3} .$

D. $y^{'} = \frac{2}{2 x + 1} .$

Xem đáp án

Đáp án C.

$y' = \frac{{(2 x + 1)}^{'}}{(2 x + 1) \ln 3} = \frac{2}{(2 x + 1) \ln 3}$

Câu 4:

Cho $\log_{a} c = \frac{1}{3}$ ; $\log_{b} c = 5$ với a,b là các số thực lớn hơn 1. Khi đó log_abc là:

A. $\log_{a b} c = \frac{16}{3} .$

B. $\log_{a b} c = \frac{3}{5} .$

C. $\log_{a b} c = \frac{3}{16} .$

D. $\log_{a b} c = \frac{5}{16} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có

$\log_{a} c = \frac{1}{3} \Rightarrow \log_{c} a = 3, \log_{b} c = 5 \Rightarrow \log_{c} b = \frac{1}{5}$

$\Rightarrow \log_{a . b} c = \frac{1}{\log_{c} a . b} = \frac{1}{\log_{c} a + \log_{c} b} = \frac{1}{3 + \frac{1}{5}} = \frac{5}{16}$ .

Câu 5:

Hàm số y = ln(x² – 2x + m) có tập xác định là $ℝ$ khi:

A. m > 1.

B. $m \geq 1 .$

C. m > 0.

D. $m \geq 0 .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Hàm số xác định trên R

Câu 6:

Số nghiệm của phương trình 9^x + 2(x – 2).3^x + 2x – 5 = 0 là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt 3^x = t > 0.

Phương trình <=> t² + 2(x – 2)t + 2x – 5 = 0

Có f(x) = 3^x là hàm số đồng biến trên $ℝ$

g(x) = –2x + 5 là hàm số nghịch biến trên $ℝ$

=> Phương trình (*) ó f(x) = g(x) có nhiều nhất l nghiệm

Có f(1) = g(1) => x = 1 là nghiệm của phương trình.

Câu 7:

Số nghiệm nghiệm nguyên nhỏ hơn 2018 của bất phương trình: $(x + 1) \log_{\frac{1}{2}}^{2} x + (2 x + 5) \log_{\frac{1}{2}} x + 6 \geq 0$ là:

A. 2016.

B. 2017.

C. 2018.

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án A.

+ Điều kiện: x > 0

Bất phương trình

=> Bất phương trình $x \leq 2^{\frac{3}{x + 1}} \Leftrightarrow f (x) \leq 0 \Leftrightarrow 0 < x \leq 2 (2) .$

Từ (1) và (2) => Tập nghiệm của bất phương trình là

S = $(0; 2] \cup [4; + \infty)$ .

Vậy có 2016 nghiệm nguyên thỏa mãn.

Câu 8:

Tập xác định D của hàm số $y = x^{\frac{1}{3}}$ là:

A. $D = [0; + \infty)$ .

B. $D = ℝ \ {0}$ .

C. $D = (0; + \infty)$ .

D. $D = ℝ$ .

Xem đáp án

Đáp án C.

Do hàm $y = x^{\frac{1}{3}}$ có $α = \frac{1}{3}$ là mũ không nguyên nên hàm số xác định khi x > 0

Câu 9:

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 0; a \neq b$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án D

.

Câu 10:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{π}{4})}^{\frac{1}{x}} > {(\frac{π}{4})}^{\frac{3}{x} + 5}$ là:

Xem đáp án

Đáp án B.

$D o \frac{π}{4} < 1$

Câu 11:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có diện tích là 36, đường thẳng chứa cạnh AB song song với Ox, các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đồ thị hàm số y = log_ax, $y = \log_{\sqrt{a}} x$ , $y = \log_{\sqrt[3]{a}} x$ với a là số thực lớn hơn 1. Tìm a.

Xem đáp án

Đáp án D.

Do AB//Ox => A, B nằm trên đường thẳng y = m $(m \neq 0)$

Do S_ABCD = 36

.

Câu 12:

Cho hàm số $y = 5^{- x^{2} + 6 x - 8}$ . Gọi m là giá trị thực để y’(2) = 6mln5. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

B. $0 < m \leq \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Câu 13:

Cho phương trình $4 \log_{9}^{2} x + m . \log_{\frac{1}{3}} x + \frac{1}{6} \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x + m - \frac{2}{9} = 0$ . Tìm tham số m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂thỏa mãn x₁.x₂ = 3.

A. 1 < m < 2

B. 3 < m < 4

C. $0 < m < \frac{3}{2}$

D. 2 < m < 3

Xem đáp án

Đáp án C.

Phương trình viết lại: $9 \log_{3}^{2} x - (9 m + 3) \log_{3} x + 9 m - 2 = 0$

Đặt t = log₃x => t₁ + t₂ = log₃x₁ + log₃x₂ = log₃ (x₁x₂ )= 1

$\Leftrightarrow \frac{9 m + 3}{9} = 1 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$ thỏa mãn điều kiện có nghiệm.

Câu 14:

Cho log₉x = log₁₂y=log₁₆(x+y). Giá trị của tỉ số $\frac{x}{y}$ là:

Xem đáp án

Đáp án A.

Đặt log₉x = log₁₂y = log₁₆(x+y) = a => x = 9^a; y = 12^a; x + y = 16^a

=> 9^a + 12^a = 16^a

Câu 15:

Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x + 1) - \log_{\frac{1}{3}} (3 - x) = 0$ là:

Xem đáp án

Đáp án A.

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ $\Rightarrow x_{1} + x_{2} = \frac{5}{2}$

Câu 16:

Cho bất phương trình ${(\sqrt{10} + 1)}^{\log_{3} x} - {(\sqrt{10} - 1)}^{\log_{3} x} \geq \frac{2 x}{3}$ . Đặt $t = {(\frac{\sqrt{10} + 1}{3})}^{\log_{3} x}$ ta được bất phương trình nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án C.

Bất phương trình

$\Leftrightarrow {(\sqrt{10} + 1)}^{\log_{3} x} - {(\sqrt{10} - 1)}^{\log_{3} x} \geq \frac{2 x}{3}$

$\Leftrightarrow {(\frac{\sqrt{10} + 1}{3})}^{\log_{3} x} - {(\frac{\sqrt{10} - 1}{3})}^{\log_{3} x} \geq \frac{2}{3}$

$\Rightarrow t - \frac{1}{t} \geq \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow t^{2} - 1 \geq \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3 t^{2} - 2 t - 3 \geq 0$ .

Câu 17:

Giải bất phương trình log₄(x² – x – 8) < 1 + log₃x được tập nghiệm là một khoảng trên trục số có độ dài là:

Xem đáp án

Đáp án B.

Điều kiện $x > \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

Đặt t = log₃x <=> x = 3^t

Ta có bất phương trình: 9^t < 4.4^t + $3^{t}$ + 8

$\Leftrightarrow 4 . {(\frac{4}{9})}^{t} + {(\frac{1}{3})}^{t} + 8 {(\frac{1}{9})}^{t} > 1$

Hàm số $f (t) = 4 . {(\frac{4}{9})}^{t} + {(\frac{1}{3})}^{t} + 8 {(\frac{1}{9})}^{t}$ nghịch biến và f(2) = 1 nên ta có t < 2 tìm được tập nghiệm là $(\frac{1 + \sqrt{33}}{2}; 9)$ có độ dài trên trục số là $9 - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} = \frac{17 - \sqrt{33}}{2}$ .

Câu 18:

Khẳng định nào sau đây là sai?

Xem đáp án

Đáp án C.

Hàm số $y = {(1 + \sqrt{2})}^{x}$ đồng biến do cơ số $a = 1 + \sqrt{2} > 1$

$\Rightarrow {(1 + \sqrt{2})}^{2018} < {(1 + \sqrt{2})}^{2019}$ nên C sai.

Câu 19:

Giá trị của m để phương trình $4^{|x|} - 2^{|x| + 1} - m = 0$ có nghiệm duy nhất là:

A. m = 2

B. m = 0

C. m = 1

D. m = –1

Xem đáp án

Đáp án D.

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là m $\leq - 1$

Do thay x bởi –x thì phương trình không đổi nên điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là x = 0 => m = –1

Thử lại với m = –1 thỏa mãn nên D đúng.

Câu 20:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log^{2} x - \log x^{3} + 2 \geq 0$ là $S = (a; b] \cup [c; + \infty)$ thì a + b + c là:

A. 10

B. 100

C. 110

D. 2018

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt log x = t, bất phương trình

=> a + b + c =110.

Câu 21:

Cho hàm số $y = \ln \frac{1}{x}$ . Hệ thức nào sau đây đúng?

A. e^y + y’ = 0

B. e^y – y’ = 0

C. e^y. y’ = 0

D. $e^{y} . y^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ .

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có

Câu 22:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{2} (x - 1) \leq 2$ là:

A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án A.

Bất phương trình

$0 < x - 1 \leq 4 \Leftrightarrow 1 < x \leq 5$ .

Câu 23:

Cho a, b, c dương thỏa mãn 2^a = 3^b = 18^c. Khi đó biểu thức $T = \frac{b}{c} - \frac{b}{a}$ có giá trị là:

A. 1.

B. log₂18.

C. 2.

D. log₂3.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt 2^a = 3^b = 18^c = t

=> a = log₂t, b = log₃t, c = log₁₈t

$\Rightarrow T = \frac{b}{c} - \frac{b}{a} = \frac{\log_{3} t}{\log_{18} t} - \frac{\log_{3} t}{\log_{2} t} = \frac{\log_{3} t}{\frac{\log_{3} t}{\log_{3} 18}} - \frac{\log_{3} t}{\frac{\log_{3} t}{\log_{3} 2}} = \log_{3} 18 - \log_{3} 2 = \log_{3} 9 = 2$

Câu 24:

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên $ℝ$ .

A. $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

B. y = log₂ (x – 1).

C. y = log₂ (x² + 1).

D. y = log₂ (2^x + 1).

Xem đáp án

Đáp án D

Tính đạo hàm và tìm tấp xác định của 3 hàm số trong đáp án A, B, C đều sai.

Ta có $y = \log_{2} (2^{x} + 1) c ó y^{'} = \frac{2^{x}}{2^{x} + 1} > 0 \forall x \in ℝ$ .

Câu 25:

Cho các số thực dương a, b, c với $c \neq 1$ . Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có

$\frac{1}{2} \log_{c}^{2} {(\frac{b}{a})}^{2} = \frac{1}{2} {[\log_{c} {(\frac{b}{a})}^{2}]}^{2} = \frac{1}{2} {(2 \log_{c} \frac{b}{a})}^{2} = 2 {(\log_{c} b - \log_{c} a)}^{2}$