30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (P6)

Câu 1:

Cho a, x, y là các số thực dương, $a \neq 1$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có $\log_{a} x y = \log_{a} x + \log_{a} y$ nên đáp án D sai.

Câu 2:

Hàm số y = (x – 1)^–4 có tập xác định là

A. $ℝ \ \{1\}$

B. $(a; + \infty)$

C. $ℝ$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A.

Điều kiện:

Câu 3:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số y = 2^x có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số y = 2log x không có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số y = ln x có tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số y = 2^–x có tiệm cận đứng.

Xem đáp án

Đáp án D.

Đồ thị hàm số y = 2^–x chỉ có TCN y = 0 mà không có tiệm cận đứng nên D sai.

Câu 4:

Số nghiệm của phương trình ln x + ln(3x – 2) = 0 là?

A. 1.

B. 3.

C. 0.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có ln [x(3x – 2)] = 0 <=> x(3x – 2) = 1 => x = 1 $(d o Đ k : x > \frac{2}{3})$ .

Câu 5:

Bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (2 x - 1) > \log_{\frac{1}{2}} (x + 2)$ có tập nghiệm là?

A. $(\frac{1}{2}; 3)$

B. $(- \infty; 3)$

C. $(3; + \infty)$

D. $(- 2; 3)$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có:

Câu 6:

Nếu log₇ x = log₇ ab² – log₇ a³b (a, b > 0) thì x nhận giá trị là

A. a²b.

B. ab².

C. a²b².

D. a^–2b.

Xem đáp án

Đáp án D.

$\log_{7} x = \log_{7} a b^{2} - \log_{7} a^{3} b = \log_{7} \frac{a b^{2}}{a^{3} b} = \log_{7} b a^{- 2}$

Do đó x = a^–2b.

Câu 7:

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $5^{x + 2 y} + \frac{3}{3^{x y}} - x y + 1 = \frac{5^{x y}}{5} + 3^{- x - 2 y} - (x + 2 y)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + y.

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: GT

<=> 5^x+2y + x + 2y – 3^–x–2y = 5^xy–1 – 3^1–xy + xy – 1.

$X é t h à m s ố f (t) = 5^{t} + t - 3^{- t}$

$\Rightarrow f (t) = 5^{t} \ln 5 + 1 + 3^{- t} \ln 3 > 0 (\forall t \in ℝ)$

Do đó hàm số đồng biến trên $ℝ$ suy ra

f(x+2y) = f(xy – 1) <=> x+ 2y = xy – 1

$\Leftrightarrow x = \frac{2 y + 1}{y - 1} \Rightarrow T = \frac{2 y + 1}{y - 1} + y$ .

Do x > 0 => y > 1.

Ta có:

$T = 2 + y + \frac{3}{y - 1} = 3 + y - 1 + \frac{3}{y - 1} \geq 3 + 2 \sqrt{3} .$

Câu 8:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình $m . 9 x - (2 m + 1) . 6^{x} + m . 4^{x} \leq 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in [0; 1]$ ?

A. 5.

B. 2.

C. 4.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có:

$P T \Leftrightarrow m {(\frac{9}{4})}^{x} - (2 m + 1) {(\frac{6}{4})}^{x} + m \leq 0$

$\Leftrightarrow m {(\frac{3}{2})}^{2 x} - (2 m + 1) {(\frac{3}{2})}^{x} + m \leq 0$

$Đ ặ t t = {(\frac{3}{2})}^{x}; d o x \in [0; 1] \Rightarrow t \in [1; \frac{3}{2}]$ .

Khi đó PT trở thành:

$m t^{2} - (2 m + 1) t + m \leq 0 \Leftrightarrow m (t^{2} - 2 t + 1) \leq t$

Rõ ràng t =1 là nghiệm của BPT đã cho.

$D o đ ó B P T n g h i ệ m đ ú n g v ớ i \forall t \in [1; \frac{3}{2}]$

$\Leftrightarrow m \leq \underset{1; \frac{3}{2}}{M i n} f (t) = f (\frac{3}{2}) = 6$ .

Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

Câu 9:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = {(\frac{2017}{2018})}^{e^{3 x} - (m - 1) e^{x} + 1}$ đồng biến trên khoảng (1;2)?

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có

$y^{'} = [3 e^{3 x} - (m - 1) e^{x}] . {(\frac{2017}{2018})}^{e^{3 x} - (m - 1) e^{x} + 1} . \ln (\frac{2017}{2018})$

Để hàm số đồng biến trên (1;2)

$\Leftrightarrow y^{'} \geq 0; \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow 3 e^{3 x} - (m - 1) e^{x} \leq 0; \forall x \in (1; 2) .$

$\Leftrightarrow 3 e^{2 x} - m + 1 \leq 0; \forall x \in (1; 2)$

$\Leftrightarrow m - 1 \geq 3 e^{2 x}; \forall x \in (1; 2)$

$\Leftrightarrow m \geq 3 e^{4} + 1$ .

Câu 10:

Biết rằng 9^x + 9^–x = 23. Khi đó biểu thức $A = \frac{5 + 3^{x} + 3^{- x}}{1 - 3^{x} - 3^{- x}} = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a, b \in ℤ$ . Tích a.b có giá trị bằng

A. 10.

B. 8.

C. -8.

D. -10.

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có 9^x + 9^–x = 23

$\Leftrightarrow {(3^{x})}^{2} + \frac{1}{{(3^{x})}^{2}} = 23 \Leftrightarrow {(3^{x})}^{2} + 2 . 3^{x} . \frac{1}{3^{x}} + \frac{1}{{(3^{x})}^{2}} = 25$

=> 3^x + 3^–x = 5.

$V ậ y A = \frac{5 + 5}{1 - 5} = \frac{- 5}{2} = \frac{a}{b}$

$\to a . b = - 5.2 = - 10$ .

Câu 11:

Cho hàm số $f (x) = 2^{x^{2} + a}$ và f’(1) = 2ln2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. –2 < a < 0

B. 0 < a < 1

C. a > 1

D. a < –2

Xem đáp án

Đáp án A

$T a c ó f^{'} (x) = 2 x . 2^{x^{2} + a} l n 2$

$\Rightarrow f^{'} (1) = 2 \ln 2 . 2^{a + 1} = 2 \ln 2 \Rightarrow 2^{a + 1} = 1 \Rightarrow a = - 1$ .

Câu 12:

Cho đồ thị hàm số $y = {(\frac{1}{x})}^{π}$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;1)

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận

C. Hàm số không có cực trị

D. Tập xác định của hàm số là R\{0}

Xem đáp án

Đáp án D

$T a c ó : D = (0; + \infty)$

$y^{'} = (π - 1) {(\frac{1}{x})}^{π - 1} . \frac{- 1}{x^{2}} < 0 (\forall x > 0); \underset{x \to + \infty}{li m} y = 0$

Do đó hàm số không có cực trị và đồ thị hàm số có tiệm cận.

Câu 13:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $\log_{2} (1 - 2 x) \leq 3$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: $x < \frac{1}{2}$ .

Bất phương trình tương đương

$1 - 2 x \leq 8 \Leftrightarrow x \geq - \frac{7}{2} \Rightarrow C h ọ n C$ .

Câu 14:

Biết rằng log₄₂ 2 = 1 + mlog₄₂ 3 +nlog₄₂ 7 với m, n là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. m.n = 2

B. m.n = 1

C. m.n = –1

D. m.n = –2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: log₄₂ 2 = 1 + mlog₄₂ 3 +nlog₄₂ 7 <=> log₄₂ 2 = log₄₂ (42.3^m.7ⁿ)

<=> 42.3^m.7ⁿ = 2 <=> 3^m+1.7ⁿ⁺¹ = 1 <=> m = –1, n = –1 => m.n = 1.

Câu 15:

Phương trình $2^{\sin^{x} x} + 2^{1 + \cos^{2} x} = m$ có nghiệm khi và chỉ khi:

Xem đáp án

Đáp án D

$T a c ó : 2^{\sin^{x} x} + 2^{1 + \cos^{2} x} = m$

$\Leftrightarrow 2^{\sin^{2} x} + 2^{2 - \sin^{2} x} = m \Leftrightarrow 2^{\sin^{2} x} + \frac{4}{2^{\sin^{2} x}} = m (*)$

$Đ ặ t t = 2^{\sin^{2} x} m à \sin^{2} x \in [0; 1] \Rightarrow t \in [1; 2]$

Khi đó (*) tương đương

$m = f (t) = t + \frac{4}{t}$

Xét hàm số $f (t) = t + \frac{4}{t}$ trên đoạn [1;2] có

$f^{'} (t) = 1 - \frac{4}{t^{2}} \leq 0; \forall t \in [1; 2]$ .

=> f(t) là hàm số nghịch biến trên [1;2] nên (*) có nghiệm

$\Leftrightarrow \underset{[1; 2]}{m i n} f (t) \leq m \leq \underset{[1; 2]}{m a x} f (t)$

Vậy $4 \leq m \leq 5$ là giá trị cần tìm.

Câu 16:

Biết rằng phương trình $3 \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - 1 = 0$ có hai nghiệm là a, b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a + b = \frac{1}{3}$

B. $a b = - \frac{1}{3}$

C. $a b = \sqrt[3]{2}$

D. $a + b = \sqrt[3]{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình

$3 \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - 1 = 0$

$\to \log_{2} a + \log_{2} b = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \log_{2} (a b) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow a b = \sqrt[3]{2}$

Câu 17:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $f (x) = {(\frac{1}{π})}^{x^{3} - 3 m x^{2} + m}$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

A. $m \in (0; + \infty)$

B. $m = 0$

C. $m \neq 0$

D. $m \in ℝ$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $f (x) = {(\frac{1}{π})}^{x^{3} - 3 m x^{2} + m}$ , ta có

$f^{'} (x) = (3 x^{2} - 6 m x) . {(\frac{1}{π})}^{x^{3} - 3 m x^{2} + m} . \ln \frac{1}{π}$ .

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

$\Leftrightarrow f^{'} (x) \leq 0; \forall x \in ℝ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 m x \geq 0; \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow x (x - 2 m) \geq 0; \forall x \in ℝ \Rightarrow m = 0$ .

Câu 18:

Bất phương trình ln(2x² + 3) > ln(x² + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x khi:

A. $- 2 \sqrt{2} < a < 2 \sqrt{2}$

B. $0 < a < 2 \sqrt{2}$

C. $0 < a < 2$

D. $- 2 < a < 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có ln(2x² + 3) > ln(x² + ax + 1)

Giải (1), ta có x² + ax + 1 > 0

$\forall x \in ℝ \Leftrightarrow ∆ = a^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < a < 2 .$

Giải (2), ta có x² + ax + 2 > 0

$\forall x \in ℝ \Leftrightarrow ∆ = {(- a)}^{2} - 8 < 0 \Leftrightarrow - 2 \sqrt{2} < a < a \sqrt{2} .$

Vậy a thuộc (–2;2) là giá trị cần tìm.

Câu 19:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2^3x + (m – 1)3^x + m – 1 > 0 nghiệm đúng với mọi $x \in ℝ$ .

A. $m \in ℝ$

B. $m > 1$

C. $m \leq 1$

D. $m \geq 1$

Xem đáp án

Đáp án D

BPT <=> 2^3x + (m – 1)3^x + m – 1 > 0

<=> 2^3x – 3^x – 1 + m(3^x+ 1) > 0

$\Leftrightarrow m > \frac{3^{x} - 8^{x} + 1}{3^{x} + 1}; \forall x \in ℝ$ (*).

Xét hàm số $f (x) = \frac{3^{x} - 8^{x} + 1}{3^{x} + 1}; \forall x \in ℝ$ , ta có

$f^{'} (x) = \frac{8^{x} [(\ln 3 - \ln 8)] . 3^{x} - \ln 8}{{(3^{x} + 1)}^{2}} < 0; \forall x \in ℝ$ .

Suy ra f(x) là hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

Mà $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 1$ , do đó

$\underset{x \in ℝ}{m i n} f (x) = \lim_{x \to - \infty} f (x) = 1$ .

Vậy (*) $\Leftrightarrow m \geq$ $\underset{x \in ℝ}{m i n} f (x) = 1 \Rightarrow m \geq 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 20:

Cho x, y > 0 thỏa mãn log(x + 2y) = log x + log y. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \frac{x^{2}}{1 + 2 y} + \frac{4 y^{2}}{1 + x}$ là:

A. $6$

B. $\frac{32}{5}$

C. $\frac{31}{5}$

D. $\frac{29}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có log(x + 2y) = log x + log y

<=> log 2 (x+2y) = log 2xy

<=> 2 (x+2y) = 2xy (*).

$Đ ặ t \{\begin{cases} a = x > 0 \\ b = 2 y > 0 \end{cases}$ , khi đó

$(*) \Leftrightarrow 2 (a + b) = a b$

và $P = \frac{a^{2}}{1 + b} + \frac{b^{2}}{1 + a} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{a + b + 2}$

Lại có $a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \Rightarrow 2 (a + b) \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \Leftrightarrow a + b \geq 8$ .

Đặt t = a + b, do đó

$P \geq f (t) = \frac{t^{2}}{t + 2} .$

$X é t h à m s ố f (t) = \frac{t^{2}}{t + 2} t r ê n [8; + \infty)$

$c ó f^{'} (t) = \frac{t^{2} + 2 t}{{(t + 2)}^{2}} > 0; \forall \geq 8$

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên $[8; + \infty)$

Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{32}{5}$ .

Câu 21:

Số tiền mà My để dành hằng ngày là x (đơn vị nghìn đồng, với x > 0, $x \in ℤ$ ) biết x là nghiệm của phương trình $\log_{\sqrt{3}} (x - 2) + \log_{3} {(x - 4)}^{2} = 0$ . Tính tổng số tiền My để dành được trong một tuần (7 ngày).