70 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án

Câu 1:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục, $f (x) > - 1, f (0) = 0$ và thỏa mãn $f' (x) \sqrt{x^{2} + 1} = 2 x \sqrt{f (x) + 1}$ . Tính $f (\sqrt{3})$

A.0

B. 3

C.7

D. 9

Xem đáp án

Câu 2:

Một vận động viên đua xe $F_{1}$ đang chạy với vận tốc $\frac{10 m}{s}$ thì anh ta tăng tốc với gia tốc $a (t) = 6 t (m / s^{2})$ . Trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian $10 s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?

A. $1110 m$

B. $100 m$

C. $1010 m$

D. $1110 m$

Xem đáp án

$\int a (t) d t = \int 6 t d t = 3 t^{2} + C = v (t)$ $t = 0 \Rightarrow v = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v (t) = 3 t^{2} + 10$

$\Rightarrow S (t) = \int (3 t^{2} + 10) d t = t^{3} + 10 t + C$

Quãng đường đi được của vật trong 10s bắt đầu từ lúc tăng tốc là:

$S (10) - S (0) = (10^{3} + 10.10 + C) - (0^{3} + 10.0 + C) = 1100 m$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Cho hàm số $f (x)$ xác định và liên tục trên R và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau $f (x) > 0; f' (x) = \frac{x . f (x)}{\sqrt{x^{2} + 1}}; \forall x \in R$ và $f (0) = e$ . Giá trị của $f (\sqrt{3})$ bằng:

A. $e^{- 1}$

B. $e^{2}$

C. $e$

D. $e^{- 2}$

Xem đáp án

$f' (x) = \frac{x . f (x)}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ $\Leftrightarrow$ $\int \frac{f' (x)}{f (x)} d x = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$ $\Leftrightarrow \int \frac{d (f (x))}{f (x)} = \int \frac{d (x^{2} + 1)}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} = \sqrt{x^{2} + 1} + C$

$\Leftrightarrow \ln f (x) = \sqrt{x^{2} + 1} + C \Leftrightarrow f (x) = e^{\sqrt{x^{2} + 1} + C}$

Mà $f (0) = e$ $\Rightarrow e^{C + 1} = e \Rightarrow C = 0$

Vậy $f (\sqrt{3}) = e^{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Cho hàm số $f (x)$ xác định trên R\ $\{- 1; 1\}$ và thỏa mãn $f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ . Biết $f (- 3) + f (3) = 0$ và $f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2$ . Tính $T = f (- 2) + f (0) + f (5)$

A. $\frac{1}{2} \ln 2 - 1$

B. $\ln 2 + 1$

C. $\frac{1}{2} \ln 2 + 1$

D. $\ln 2 - 1$

Xem đáp án

Câu 5:

Tìm một nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = a x + \frac{b}{x^{2}} (x \neq 0)$ biết rằng $F (- 1) = 1; F (1) = 4; f (1) = 0$

A. $F (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{3}{2 x} + \frac{7}{4}$

B. $F (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{3}{2 x} - \frac{7}{4}$

C. $F (x) = \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3}{4 x} - \frac{7}{4}$

D. $F (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x} - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Câu 6:

Cho hàm sau $y = f (x)$ thỏa mãn $f (2) = - \frac{4}{19}$ và $f' (x) = x^{3} f^{2} (x) \forall x \in R$ .Giá trị của $f (1)$ bằng:

A. $- \frac{2}{3}$

B. $- \frac{1}{2}$

C. -1

D. $- \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Câu 7:

Gọi $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = - \frac{1}{\cos^{2} x}$ thỏa mãn $F (0) = 1$ . Tìm $F (x)$

A. $F (x) = \tan x - 1$

B. $F (x) = - \tan x$

C. $F (x) = \tan x + 1$

D. $F (x) = - \tan x + 1$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int f (x) d x = \int - \frac{1}{\cos^{2} x} d x = - \tan x + C$

$F (0) = 1 \Leftrightarrow - \tan 0 + C = 1$

$\Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow F (x) = - \tan x + 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Cho $F (x) = \int \frac{\ln x}{x \sqrt{1 - \ln x}} d x$ , biết $F (e) = 3$ , tìm $F (x) = ?$

A. $F (x) = - 2 \sqrt{1 - \ln x} + \frac{2}{3} (1 - \ln x) \sqrt{1 - \ln x} + 3$

B. $F (x) = - \sqrt{1 - \ln x} + \frac{1}{3} (1 - \ln x) \sqrt{1 - \ln x} + 3$

C. $F (x) = - 2 \sqrt{1 - \ln x} - \frac{2}{3} (1 - \ln x) \sqrt{1 - \ln x} + 3$

D. $F (x) = 2 \sqrt{1 - \ln x} - \frac{2}{3} (1 - \ln x) \sqrt{1 - \ln x} + 3$

Xem đáp án

Câu 9:

Biết $\int f u d u = f (u) + C$ . Tìm khẳng định đúng?

A. $\int (5 x + 2) d x = 5 F (x) + 2 + C$

B. $\int (5 x + 2) d x = F (5 x + 2) + C$

C. $\int (5 x + 2) d x = \frac{1}{5} F (5 x + 2) + C$

$\int (5 x + 2) d x = 5 F (x + 2) + C$

Xem đáp án

Câu 10:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} + 2}}$

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} \sqrt{3 x^{2} + 2} + C$

B. $\int f (x) d x = - \frac{1}{3} \sqrt{3 x^{2} + 2} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{6} \sqrt{3 x^{2} + 2} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{2}{3} \sqrt{3 x^{2} + 2} + C$

Xem đáp án

Câu 11:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

A. $\int f (x) d x = - \frac{1}{3} (x^{2} + 8) . \sqrt{4 - x^{2}} + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} (x^{2} + 8) . \sqrt{4 - x^{2}} + C$

C. $\int f (x) d x = - \frac{1}{3} . \sqrt{4 - x^{2}} + C$

D. $\int f (x) d x = - \frac{2}{3} (x^{2} + 8) . \sqrt{4 - x^{2}} + C$

Xem đáp án

Câu 12:

Cho nguyên hàm $I = \int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x^{3}} d x$ . Nếu đổi biến số $x = \frac{1}{\sin t}$ với $t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thì:

A. $- \int \cos^{2} t d t$

B. $\int \sin^{2} t d t$

C. $\int \cos^{2} t d t$

D. $\frac{1}{2} \int (1 + \cos 2 t) d t$

Xem đáp án

Câu 13:

Cho nguyên hàm $I = \int \frac{d x}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}}$ . Nếu đặt $x = \tan t$ , $t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thì :

A. $\int \cos t d t$

B. $\int \frac{1}{\cos t} d t$

C. $\int \frac{\sin t}{\cos t} d t$

D. $\int \sin t d t$

Xem đáp án

Câu 14:

Gọi $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} \sin x + 2 x \cos x}{x \sin x + \cos x}$ . Biết $F (0) = 1$ , tính giá trị biểu thức $F (\frac{π}{2})$

A. $\frac{π^{2}}{2} + \ln \frac{π}{2} + 1$

B. $\frac{π^{2}}{4} - \ln \frac{π}{2} + 1$

C. $\frac{π^{2}}{8}$

D. $\frac{π^{2}}{8} + \ln \frac{π}{2} + 1$

Xem đáp án

Câu 15:

Biết hàm số $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{\ln x}{x . \sqrt{\ln^{2} x + 3}}$ có đồ thị đi qua điểm $(e; 2016)$ . Khi đó giá trị $F (1)$ là:

A. $\sqrt{3} + 2014$

B. $\sqrt{3} + 2016$

C. $2 \sqrt{3} + 2014$

D. $2 \sqrt{3} + 2016$

Xem đáp án

Câu 16:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \tan^{5} x$

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{4} \tan^{4} x - \frac{1}{} \tan^{2} x + \ln |\cos x| + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{4} \tan^{4} x - \frac{1}{} \tan^{2} x - \ln |\cos x| + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{4} \tan^{4} x + \frac{1}{2} \tan^{2} x - \ln |\cos x| + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{4} \tan^{4} x + \frac{1}{2} \tan^{2} x + \ln |\cos x| + C$

Xem đáp án

Câu 17:

Tính $F (x) = \frac{\sin 2 x}{\sqrt{4 . \sin^{2} x + 2 . \cos^{2} x + 3}} d x$ . Hãy chọn đáp án đúng

A. $F (x) = \sqrt{6 - \cos 2 x} + C$

B. $F (x) = \sqrt{6 - \sin 2 x} + C$

C. $F (x) = - \sqrt{6 - \sin 2 x} + C$

D. $F (x) = \sqrt{6 + \cos 2 x} + C$

Xem đáp án

Câu 18:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} + 2 x$ là:

A. $\frac{x^{4}}{4} - x^{2} + C$

B. $\frac{x^{4}}{4} + x^{2} + C$

C. $\frac{x^{4}}{4} + C$

D. $x^{2} + C$

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \int (x^{3} + 2 x) d x =$ $\frac{x^{4}}{4} + x^{2} + C$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 19:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = - 4 x^{3} + 1$ là:

A. $- x^{4} + C$

B. $- \frac{x^{4}}{4} + x + C$

C. $- 12 x^{2} + C$

D. $- x^{4} + x + C$

Xem đáp án

ta có: $\int f (x) d x = \int (- 4 x^{3} + 1) d x = - \frac{4 x^{4}}{4} + x + C =$ $- x^{4} + x + C$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 20:

Hàm số $F (x) = \cos 3 x$ là nguyên hàm của hàm số:

A. $f (x) = \frac{\sin 3 x}{3}$

B. $f (x) = - 3 \sin 3 x$

C. $f (x) = 3 \sin 3 x$

D. $f (x) = - \sin 3 x$

Xem đáp án

Câu 21:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos 3 x$ là:

A. $- 3 \sin 3 x + C$

B. $- \frac{1}{3} \sin 3 x + C$

C. $- \sin 3 x + C$

D. $\frac{1}{3} \sin 3 x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int f (x) d x = \int \cos 3 x d x =$ $\frac{1}{3} \sin 3 x + C$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 22:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 5 x + 2$ là:

A. $5 \cos 5 x + C$

B. $- \frac{1}{5} \cos 5 x + 2 x + C$

C. $\frac{1}{5} \cos 5 x + 2 x + C$

D. $\cos 5 x + 2 x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int f (x) d x = \int (\sin 5 x + 2) d x =$ $- \frac{1}{5} \cos 5 x + 2 x + C$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 23:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos 2 x$

A. $\int \cos 2 x d x = 2 \sin 2 x + C$

B. $\int \cos 2 x d x = - \frac{1}{2} \sin 2 x + C$

C. $\int \cos 2 x d x = \sin 2 x + C$

D. $\int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C$

Xem đáp án

$\int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 24:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \cos 2 x$ là:

A. $- \sin 2 x + C$

B. $- 2 \sin 2 x + C$

C. $\sin 2 x + C$

D. $2 \sin 2 x + C$

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \int 2 \cos 2 x d x = 2. \frac{\sin 2 x}{2} + C =$ $\sin 2 x + C$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 25:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 5 x + 2$

A. $5 \cos 5 x + C$

B. $- \frac{1}{5} \cos 5 x + 2 x + C$

C. $\frac{1}{5} \cos 5 x + 2 x + C$

D. $\cos 5 x + 2 x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int f (x) d x = \int (\sin 5 x + 2) d x =$ $- \frac{1}{5} \cos 5 x + 2 x + C$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 26:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int \sin x d x = \cos x + C$

B. $\int d x = x + C$

C. $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

D. $\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C$

Xem đáp án

có $\int \sin x d x = - \cos x + C$

nên A sai

Đáp án cần chọn là: A

Câu 27:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + 8 \sin x$

A. $\int f (x) d x = 6 x - 8 \cos x + C$

B. $\int f (x) d x = 6 x + 8 \cos x + C$

C. $\int f (x) d x = x^{3} - 8 \cos x + C$

D. $\int f (x) d x = x^{3} + 8 \cos x + C$

Xem đáp án

ta có: $f (x) = 3 x^{2} + 8 \sin x$

$\Rightarrow \int f (x) d x = \int 3 x^{2} d x + \int 8 \sin x d x$ $\int f (x) d x = x^{3} - 8 \cos x + C$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 28:

Chọn mệnh đề đúng:

A. $\int 0 d x = C$

B. $\int d x = C$

C. $\int d x = 0$

D. $\int 0 d x = x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int 0 d x = C$ nên A đúng, D sai

$\int d x = x + C$ nên B, C sai

Đáp án cần chọn là: A

Câu 29:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

B. $\int 0 d x = C$

C. $\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C$

D. $\int d x = x + C$

Xem đáp án

ta có: $\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C \neq \ln x + C$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 30:

Chọn mệnh đề đúng:

A. $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C (0 < a \neq 1)$

B. $\int a^{x} d x = a^{x} + C (0 < a \neq 1)$

C. $\int a^{x} d x = a^{x} \ln a + C (0 < a \neq 1)$

D. $\int a^{x} d x = a^{x} \ln a (0 < a \neq 1)$

Xem đáp án

Ta có: $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C (0 < a \neq 1)$ nên A đúng

Đáp án cần chọn là: A

Câu 31:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} - \frac{3}{x^{2}} + 2^{x}$

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{4}}{4} - \frac{3}{x} + \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{x} + 2^{x} + C$

C. $\int f (x) d x = x^{4} - \frac{3}{x} + 2^{x} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{x} + \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{x} + \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 32:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{x}$ là:

A. $\int f (x) d x = 3^{x} + C$

B. $\int f (x) d x = 3^{x} \ln 3 + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{3^{x + 1}}{x + 1} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{3^{x}}{\ln 3} + C$

Xem đáp án

Áp dụng công thức: $\int a^{x} = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ ta được: $\int 3^{x} = \frac{3^{x}}{\ln 3} + C$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 33:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} + x$ là:

A. $e^{x} + x^{2} + C$

B. $e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

C. $\frac{1}{x + 1} e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

D. $e^{x} + 1 + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int f (x) = \int (e^{x} + x) d x =$ $e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 34:

Nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = x + 2^{x}$ là:

A. $F (x) = 1 + \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

B. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2^{x} \ln 2 + C$

C. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2^{x} + C$

D. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

Xem đáp án

$\int (x + 2^{x}) d x =$ $\frac{x^{2}}{2} + \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 35:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2018^{x}$

A. $\frac{2018^{x}}{\log 2018} + C$

B. $\frac{2018^{x + 1}}{x + 1} + C$

C. $\frac{2018^{x}}{\ln 2018} + C$

D. $2018^{x} . \ln 2018 + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int f (x) d x = \int (2018^{x}) d x =$ $\frac{2018^{x}}{\ln 2018} + C$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 36:

Chọn mệnh đề sai

A. $\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C$

B. $\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = \cot x + C$

C. $\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \cot x + C$

D. $\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \frac{\sin x}{\cos x} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C$ = $\frac{\sin x}{\cos x} + C$ nên A và D đúng

$\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \cot x + C$ nên C đúng, B sai

Đáp án cần chọn là: B

Câu 37:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x + \cos x$

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \sin x + C$

B. $\int f (x) d x = 1 - \sin x + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} - \sin x + C$

D. $\int f (x) d x = x \sin x + \cos x + C$

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \sin x + C$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 38:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\int \sin 3 x d x = - \frac{\cos 3 x}{3} + C$

B. $\int \cos 2 x d x = \frac{\sin 2 x}{2} + C$

C. $\int \cos^{2} x d x = \frac{\cos^{3} x}{3} + C$

D. $\int e^{- x} d x = - \frac{1}{e^{x}} + C$

Xem đáp án

Mệnh đề sai là: $\int \cos^{2} x d x = \frac{\cos^{3} x}{3} + C$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 39:

Họ nguyên hàm của hàm số $y = \cos 3 x$ là:

A. $\frac{\sin 3 x}{3} + C$

B. $- \frac{\sin 3 x}{3} + C$

C. $\sin 3 x + C$

D. $- \sin 3 x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \cos 3 x d x = \frac{\sin 3 x}{3} + C$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 40:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos 5 x$

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{5} \sin 5 x + C$

B. $\int f (x) d x = \sin 5 x + C$

C. $\int f (x) d x = - 5 \sin 5 x + C$

D. $\int f (x) d x = - \frac{1}{5} \sin 5 x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int f (x) d x = \int \cos 5 x d x = \frac{1}{5} \sin 5 x + C$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 41:

Tìm họ nguyên hàm $\int \sin^{2} x d x$

A. $\frac{x}{2} + \frac{s i n 2 x}{4} + C$

B. $\frac{x}{2} + \frac{s i n 2 x}{2} + C$

C. $\frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4} + C$

D. $\frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{2} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \sin^{2} x d x$ $= \int \frac{1 - \cos 2 x}{2} d x = \frac{1}{2} \int d x - \frac{1}{2} \int \cos 2 x d x$ $= \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4} + C$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 42:

Chọn mệnh đề đúng:

A. $\int (\frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x}) d x = \tan x - \cot x + C$

B. $\int (\frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x}) d x = \cot x - \tan x + C$

C. $\int (\frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x}) d x = \tan x + \cot x + C$

D. $\int (\frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x}) d x = - \cot x - \tan x + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \cot x + C; \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C;$ nên

$\int (\frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x}) d x = \int \frac{1}{\sin^{2} x} d x + \int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = - \cot x + \tan x + C = \tan x - \cot x + C$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 43:

Nguyên hàm của hàm số $y = \tan^{2} x$

A. $\tan x + x + C$

B. $- \tan x - x + C$

C. $\tan x - x + C$

D. $- \tan x + x + C$

Xem đáp án

$\int \tan^{x} x d x = \int (\frac{1}{\cos^{2} x} - 1) = \tan x - x + C$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 44:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + \frac{1}{\cos^{2} x}$ là:

A. $x^{3} + \cot x + C$

B. $x^{3} + \tan x + C$

C. $5 x - \cot x + C$

D. $6 x + \tan x + C$

Xem đáp án

$\int (3 x^{2} + \frac{1}{\cos^{2} x}) d x = x^{3} + \tan x + C$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 45:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos^{2} x$ là:

A. $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2 x}{2} + C$

B. $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2 x}{4} + C$

C. $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2 x}{4} + C$

D. $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2 x}{2} + C$

Xem đáp án

Câu 46:

Tìm hàm $F (x)$ không phải là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 2 x$

A. $F (x) = - \cos^{2} x$

B. $F (x) = \sin^{2} x$

C. $F (x) = - \frac{1}{2} \cos 2 x$

D. $F (x) = - \cos 2 x$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C \Rightarrow$ đáp án C đúng

Lại có: $- \frac{1}{2} \cos 2 x + C = - \frac{1}{2} (2 \cos^{2} x - 1) + C = - \cos^{2} x + C' (C' = C + \frac{1}{2}) \Rightarrow$ đáp án A đúng

$- \frac{1}{2} \cos 2 x + C = - \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} x) + C = \sin^{2} x + C'' (C'' = C - \frac{1}{2}) \Rightarrow$ đáp án B đúng

Đáp án cần chọn là: D

Câu 47:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{x + 2}$ . Chọn đáp án sai

A. $\int \frac{1}{x + 2} d x = \ln (x + 2) + C$

B. $y = \ln (3 |x + 2|)$ là một nguyên hàm của $f (x)$

C. $y = \ln |x + 2| + C$ là họ nguyên hàm của $f (x)$

D. $y = \ln |x + 2|$ là một nguyên hàm của $f (x)$

Xem đáp án

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là: $F (x) = \int \frac{1}{x + 2} d x = \ln |x + 2| + C$ nên C đúng, A sai

Do đó các hàm số $y = \ln |x + 2|$ và $y = \ln (3 |x + 2|) = \ln 3 + \ln |x + 2|$ đều là một nguyên hàm của $f (x)$ nên B, D đúng

Đáp án cần chọn là: A

Câu 48:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{4 x - 3}$

A. $\int \frac{2}{4 x - 3} d x = 2 \ln (2 x - \frac{3}{2}) + C$

B. $\int \frac{2}{4 x - 3} d x = \frac{1}{4} \ln |4 x - 3| + C$

C. $\int \frac{2}{4 x - 3} d x = \frac{1}{2} \ln |2 x - \frac{3}{2}| + C$

D. $\int \frac{2}{4 x - 3} d x = \frac{1}{2} \ln (2 x - \frac{3}{2}) + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int f (x) d x = \int \frac{2}{4 x - 3} d x = \frac{2}{4} \ln |4 x - 3| + C$ $= \frac{1}{2} \ln |2 (2 x - \frac{3}{2})| + C = \frac{1}{2} \ln |2 x - \frac{3}{2}| + C'$

ở đó $C + \frac{1}{2} \ln 2 = C'$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 49:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x (2 + 3 x^{2})$ là:

A. $x^{2} (1 + \frac{3}{4} x^{2}) + C$

B. $\frac{x^{2}}{2} (2 x + x^{3}) + C$

C. $x^{2} (2 + 6 x) + C$

D. $x^{2} + \frac{3}{4} x^{4}$

Xem đáp án

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là:

$\int f (x) d x = \int (2 x + 3 x^{3}) d x = \int 2 x d x + \int 3 x^{3} d x$

$= 2 \int x d x + 3 \int x^{3} d x = 2. \frac{x^{2}}{2} + 3. \frac{x^{4}}{4} + C$

$= x^{2} + \frac{3 x^{4}}{4} + C$ $=$ $x^{2} (1 + \frac{3}{4} x^{2}) + C$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 50:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{x} + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{x} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x} + C$

Xem đáp án

Ta có: $\int f (x) d x = \int (x^{2} + \frac{2}{x^{2}}) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{x} + C$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 51:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3 x$ là:

A. $2 x \sqrt{x} + \frac{3 x^{2}}{2} + C$

B. $\frac{4}{3} x \sqrt{x} + \frac{3 x^{2}}{2} + C$

C. $\frac{3}{2} x \sqrt{x} + \frac{3 x^{2}}{2} + C$

D. $4 x \sqrt{x} + \frac{3 x^{2}}{2} + C$

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \int (2 \sqrt{x} + 3 x) d x$

$= 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x + 3 \int x d x = 2. \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 3. \frac{x^{2}}{2} + C$ $= \frac{4}{3} x \sqrt{x} + \frac{3 x^{2}}{2} + C$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 52:

Tìm $F (x) = \int \sqrt[4]{2 x - 1} d x$

A. $F (x) = \frac{8}{5} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{4}} + C$

B. $F (x) = \frac{2}{5} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{4}} + C$

C. $F (x) = {(2 x - 1)}^{\frac{5}{4}} + C$

D. $F (x) = \frac{1}{5} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{4}} + C$

Xem đáp án

Ta có: $H = \int \sqrt[4]{2 x - 1} d x = \int {(2 x - 1)}^{\frac{1}{4}} d x = \frac{1}{2} . \frac{1}{} . {(2 x - 1)}^{\frac{5}{4}} + C = \frac{2}{5} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{4}} + C$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 53:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}$

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} \sqrt{2 x + 1} + C$

B. $\int f (x) d x = 2 \sqrt{2 x + 1} + C$

C. $\int f (x) d x = \sqrt{2 x + 1} + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{(2 x + 1) \sqrt{2 x + 1}} + C$

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} d x = \int {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} d x = \frac{1}{2} . \frac{1}{- \frac{1}{2} + 1} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 1} + C$

$= \sqrt{2 x + 1} + C$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 54:

Cho hàm số $f (x) = e^{- 2018 x + 2017}$ . Gọi $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ mà $F (1) = e$ . Chọn mệnh đề đúng:

A. $F (x) = - \frac{1}{2018} e^{- 2018 x + 2017} + \frac{1}{2018 e}$

B. $F (x) = - \frac{1}{2018} e^{- 2018 x + 2017} + \frac{1}{2018 e}$

C. $F (x) = - 2018 e^{- 2018 x + 2017} + e + \frac{2018}{e}$

D. $F (x) = - 2018 e^{- 2018 x + 2017} + \frac{1}{2018 e}$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int f (x) d x = \int e^{- 2018 x + 2017} d x =$ $- \frac{1}{2018} e^{- 2018 x + 2017} + C$

Với $x = 1$ thì $- \frac{1}{2018} e^{- 1} + C = e \Leftrightarrow C = e + \frac{1}{2018} e^{- 1}$

Vậy $F (x) = - \frac{1}{2018} e^{- 2018 x + 2017} + e + \frac{1}{2018 e}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 55:

Tìm nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = e^{2 x}$ , biết $F (0) = 1$

A. $F (x) = e^{2 x}$

B. $F (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

C. $F (x) = 2 e^{2 x} - 1$

D. $F (x) = e^{x}$

Xem đáp án

$F (x) = \int f (x) d x = \int e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

$F (0) = \frac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $F (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 56:

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2 x}$ và $F (0) = \frac{3}{2}$ . Tính $F (\frac{1}{2})$

A. $F (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e + 2$

B. $F (\frac{1}{2}) = 2 e + 1$

C. $F (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e + \frac{1}{2}$

D. $F (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e + 1$

Xem đáp án

$F (x) = \int f (x) d x = \int e^{2 x} d x$ $= \frac{e^{2 x}}{2} + C$

$\Rightarrow F (0) = \frac{1}{2} + C = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow C = 1 \Rightarrow F (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + 1$

$\Rightarrow F (\frac{1}{2}) = \frac{e}{2} + 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 57:

Tìm nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = 6 x + \sin 3 x$ , biết $F (0) = \frac{2}{3}$

A. $F (x) = 3 x^{2} - \frac{\cos 3 x}{3} + \frac{2}{3}$

B. $F (x) = 3 x^{2} - \frac{\cos 3 x}{3} - 1$

C. $F (x) = 3 x^{2} + \frac{\cos 3 x}{3} + 1$

D. $F (x) = 3 x^{2} - \frac{\cos 3 x}{3} + 1$

Xem đáp án

$f (x) = 6 x + \sin 3 x$ $\Rightarrow \int f (x) d x = \int (6 x + \sin 3 x) d x = \int 6 x d x + \int \sin 3 x d x$ $\Rightarrow F (x) = 3 x^{2} - \frac{\cos 3 x}{3} + C$ $F (0) = \frac{2}{3}$ $\Leftrightarrow {3.0}^{2} - \frac{1}{3} . \cos 0 + C = \frac{2}{3} \Leftrightarrow C = 1$

$\Rightarrow F (x) = 3 x^{2} - \frac{\cos 3 x}{3} + 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 58:

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ thỏa mãn $F (0) = 4$ , giá trị của $F (1) = ?$

A. $\frac{7}{3}$

B. $\frac{5}{3}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{7}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $F (x) = \int f (x) d x = \int (x^{2} + 2 x - 3) d x = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + C$

Mà $F (0) = 4$

$\Rightarrow {(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + C)|}_{x = 0} = 4 \Rightarrow C = 4$

Vậy $F (1) = {(\frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 3 x + C)|}_{x = 1} = \frac{7}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 59:

Cho hàm số $f (x)$ thỏa mãn $f' (x) = 2 - 5 \sin x$ và $f (0) = 10$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $f (x) = 2 x + 5 \cos x + 5$

B. $f (x) = 2 x + 5 \cos x - 3$

C. $f (x) = 2 x - 5 \cos x + 10$

D. $f (x) = 2 x - 5 \cos x + 15$

Xem đáp án

Có: $f (x) = \int (2 - 5 \sin x) d x = 2 x + 5 \cos x + C$

$10 = f (0) = 2.0 + 5 \cos 0 + C \Rightarrow C = 5$

$\Rightarrow f (x) = 2 x + 5 \cos x + 5$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 60:

Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} ?$

A. $\frac{x^{2} + x - 1}{x + 1}$

B. $\frac{x^{2} - x - 1}{x + 1}$

C. $\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$

D. $\frac{x^{2}}{x + 1}$

Xem đáp án

Dễ thấy các hàm số ở ý B, C, D hơn kém nhau một số đơn vị đo nên chúng là nguyên hàm của cùng một hàm số

Cụ thể: $f (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ $= \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - 1}{{(x + 1)}^{2}} = 1 - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Do đó: $\int f (x) d x = \int (1 - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}) d x = x + \frac{1}{x + 1} + C$

Ta có: $\frac{x^{2} - x - 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1} - 2$ nên B đúng

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1}$ nên C đúng

$\frac{x^{2}}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1} - 1$ nên D đúng

$\frac{x^{2} + x - 1}{x + 1} = x - \frac{1}{x + 1}$ nên A sai

Đáp án cần chọn là: A

Câu 61:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $(0; + \infty)$ và thỏa mãn $f (1) = 1; f (x) = f' (x) \sqrt{3 x + 1}$ với mọi $x > 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $2 < f (5) < 3$

B. $4 < f (5) < 5$

C. $1 < f (5) < 2$

D. $3 < f (5) < 4$

Xem đáp án

$f (x) = f' (x) \sqrt{3 x + 1} \Leftrightarrow$ $\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:

$\int \frac{f' (x)}{f (x)} d x = \int \frac{d x}{\sqrt{3 x + 1}}$

$\Leftrightarrow \ln |f (x)| = \frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} + C = \ln f (x)$ $(f (x) > 0)$

$\Rightarrow \ln |f (1)| = \frac{2}{3} . \sqrt{4} + C \Leftrightarrow C = - \frac{4}{3}$

$\Rightarrow \ln f (x) = \frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} - \frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow f (x) = e^{\frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} - \frac{4}{3}}$

$\Rightarrow f (5) = e^{\frac{4}{3}} \approx 3, 79$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 62:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: $f (0) = 2 \sqrt{2}, f (x) > 0, \forall x \in R$ và $f (x) . f' (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)}$ , $\forall x \in R$ . Khi đó giá trị $f (1)$ bằng:

A. $\sqrt{15}$

B. $\sqrt{23}$

C. $\sqrt{24}$

D. $\sqrt{26}$

Xem đáp án

Câu 63:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên R và $f (0) = 1, F (x) = f (x) - e^{x} - x$ là một nguyên hàm của $f (x)$ . Họ các nguyên hàm của $f (x)$ là:

A. $(x + 1) e^{x} + C$

B. $(x + 1) e^{x} - x + C$

C. $(x + 2) e^{x} - x + C$

D. $(x + 1) e^{x} + x + C$

Xem đáp án

$= (x + 1) e^{x} - x + C$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 64:

Nếu $u (t) = v (x)$ thì:

A. $d t = \frac{v (x)}{u (t)} d x$

B. $d t = \frac{v' (x)}{u' (t)} d x$

C. $d x = \frac{v (x)}{u (t)} d t$

D. $d x = \frac{v' (x)}{u' (t)} d t$

Xem đáp án

Ta có: $u (t) = v (x)$ $\Rightarrow u' (t) d t = v' (x) d x \Rightarrow$ $d t = \frac{v' (x)}{u' (t)} d x$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 65:

Biến $\int f (x) d x = 2 x \ln (3 x - 1) + C$ với $x \in (\frac{1}{9}; + \infty)$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $\int f (3 x) d x = 2 x \ln (9 x - 1) + C$

B. $\int f (3 x) d x = 6 x \ln (3 x - 1) + C$

C. $\int f (3 x) d x = 6 x \ln (9 x - 1) + C$

D. $\int f (3 x) d x = 3 x \ln (9 x - 1) + C$

Xem đáp án

Đặt $t = 3 x \Rightarrow d t = 3 d x \Rightarrow d x = \frac{d t}{3}$ . Khi đó:

$\int f (3 x) d x = \frac{1}{3} \int f (t) d t = \frac{1}{3} (2 t \ln (3 t - 1)) + C$

$\frac{1}{3} (2.3 x . \ln (3.3 x - 1)) + C = 2 x \ln (9 x - 1) + C$

Vậy $\int f (3 x) d x = 2 x \ln (9 x - 1) + C$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 66:

Cho $\int f (x) d x = F (x) + C$ . Khi đó $\int f (2 x - 3) d x$

A. $F (2 x - 3) + C$

B. $\frac{1}{2} F (2 x - 3) + C$

C. $\frac{1}{2} F (2 x) - 3 + C$

D. $F (2 x) - 3 + C$

Xem đáp án

Đặt $t = 2 x - 3 \Rightarrow d t = 2 x d x$

Khi đó ta có: $\int f (2 x - 3) d x = \frac{1}{2} \int f (t) d t$

Mà $\int f (x) d x = F (x) + C$ nên $\int f (t) d t = F (t) + C = F (2 x - 3) + C$

Vậy $\int f (2 x - 3) d x$ $=$ $\frac{1}{2} F (2 x - 3) + C$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 67:

Cho nguyên hàm $\int 2 x f (x^{2}) d x$ . Nếu đặt $t = x^{2}$ thì:

A. $\int 2 x f (x^{2}) d x = \int f (t) d t$

B. $\int 2 x f (x^{2}) d x = 2 \int f (t) d t$

C. $\int 2 x f (x^{2}) d x = 2 t \int f (t) d t$

D. $\int 2 x f (x^{2}) d x = 2 \int t f (t) d t$

Xem đáp án

Ta có: $t = x^{2}$ hay $\int 2 x f (x^{2}) d x = \int f (t) d t$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 68:

Nếu $t = x^{2}$ thì:

A. $x f (x^{2}) d x = f (t) d t$

B. $x f (x^{2}) d x = \frac{1}{2} f (t) d t$

C. $x f (x^{2}) d x = 2 f (t) d t$

D. $x f (x^{2}) d x = f^{2} (t) d t$

Xem đáp án

Ta có: $t = x^{2}$ $\Rightarrow d t = 2 x d x$ $\Rightarrow x d x = \frac{d t}{2}$

$\Rightarrow x f (x^{2}) d x = f (x^{2}) . x d x = f (t) . \frac{d t}{2} = \frac{1}{2} f (t) d t$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 69:

Cho $f (x) = \sin 2 x \sqrt{1 - \cos^{2} x}$ . Nếu đặt $\sqrt{1 - \cos^{2} x} = t$ thì:

A. $f (x) d x = - t d t$

B. $f (x) d x = 2 t d t$

C. $f (x) d x = - 2 t^{2} d t$

D. $f (x) d x = 2 t^{2} d t$

Xem đáp án

Ta có: $\sqrt{1 - \cos^{2} x} = t$

$\Rightarrow t^{2} = 1 - \cos^{2} x \Rightarrow 2 t d t = 2 \cos x \sin x d x = \sin 2 x d x$

$\Rightarrow \sin 2 x d x = 2 t d t$

Suy ra: $f (x) d x = \sin 2 x \sqrt{1 - \cos^{2} x} d x = \sqrt{1 - \cos^{2} x} . \sin 2 x d x$

$= t .2 t d t = 2 t^{2} d t$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 70:

Cho $I = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 5} d x$ , đặt $u = \sqrt{x^{2} + 5}$ khi đó viết I theo u và du ta được:

A. $\int (u^{4} + 5 u^{3}) d u$

B. $\int (u^{4} - 5 u^{3}) d u$

C. $\int u^{2} d u$

D. $\int (u^{4} - 5 u^{^{2}}) d u$

Xem đáp án

Ta có: $u = \sqrt{x^{2} + 5}$ $\Rightarrow u^{2} = x^{2} + 5 \Rightarrow 2 u d u = 2 x d x$

$\Rightarrow x^{3} d x = x^{2} . x d x = (u^{2} - 5) . u d u$

Khi đó:

$I = \int (u^{2} - 5) . u . u d u = \int (u^{4} - 5 u^{2}) d u$

Đáp án cần chọn là: D

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án

Trắc nghiệm Nguyên hàm có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan