42 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 1 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 10)

Câu 1:

Hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} - 3$ có đồ thị là hình nào sau đây?

A.

B.

Hàm số y = x^4 + 2x^2 -3 có đồ thị là hình nào sau đây? (ảnh 2)

C.

Hàm số y = x^4 + 2x^2 -3 có đồ thị là hình nào sau đây? (ảnh 3)

D.

Hàm số y = x^4 + 2x^2 -3 có đồ thị là hình nào sau đây? (ảnh 4)

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số đã cho là hàm trùng phương, có hệ số a > 0 nên loại câu C và D.

Hàm số có hệ số a = 1 và b = 2 cùng dấu nên hàm số chỉ có một cực trị. Loại A.

Câu 2:

Bảng biến thiên dưới là của hàm số y = f(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; 3)

và

(- 1; + \infty)

.

B. Hàm số nghịch biến trên

(- \infty; - 5)

.

C. Hàm số đồng biến trên

(- 1; 1)

D. Hàm số nghịch biến trên

(- 5; 0)

Xem đáp án

Chọn D

Ta thấy

y^{'} < 0 \Leftrightarrow x \in (- 5; 0)

nên hàm số nghịch biến trên

(- 5; 0)

.

Câu 3:

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 2}

?

A. y = -2

B. y = 2

C. x = -2

D. x = 2

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x - 2} = 2 \Rightarrow y = 2

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 4:

Tìm tập xác định D của hàm số

y = {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}

A. $D = (- \infty; + \infty) \ {1}$

B. $D = (- \infty; + \infty)$

C. $D = (- \infty; 1)$

D. $D = (- \infty; 1]$

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện: $1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1$ .

Tập xác định $D = (- \infty; 1)$ .

Câu 5:

Hàm số

y = - x^{4} - 2017 x^{2} + 2018

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y^{'} = - 4 x^{3} - 4034 x$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ và y' đổi dấu khi qua điểm x = 0 nên hàm số có 1 điểm cực trị.

Chú ý: Hàm số dạng trùng phương có các hệ số a = -1, b = -2017 cùng dấu nên hàm số có 1 điểm cực trị.

Câu 6:

Cho a > 0, b > 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a^{\ln b} = b^{\ln a}$

B. $\ln^{2} (a b) = \ln a^{2} + \ln b^{2}$

C. $\ln (\frac{a}{b}) = \frac{\ln a}{\ln b}$

D. $\ln \sqrt{a b} = \frac{1}{2} (\ln \sqrt{a} + \ln \sqrt{b})$

Xem đáp án

Chọn A

Đáp án A đúng vì ta có $a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}$ nên $a^{\ln b} = b^{\ln a}$ .

Đáp án B sai vì $\ln^{2} (a b) = {(\ln a + \ln b)}^{2} \neq \ln a^{2} + \ln b^{2}$ .

Đáp án C sai vì $\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b \neq \frac{\ln a}{\ln b}$ .

Đáp án D sai vì

\ln \sqrt{a b} = \frac{1}{2} (\ln a + \ln b) \neq \frac{1}{2} (\ln \sqrt{a} + \ln \sqrt{b})

.

Câu 7:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số

y = a^{x}

và

y = {(\frac{1}{a})}^{x}

đối xứng nhau qua trục hoành.

B. Đồ thị hàm số

y = \log_{a} x

và

y = \log_{\frac{1}{a}} x

đối xứng nhau qua trục tung.

C. Đồ thị hàm số

y = \log_{a} x

và

y = a^{x}

đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

D. Đồ thị hàm số

y = a^{x}

và

y = \log_{a} x

đối xứng nhau qua đường thẳng y = -x.

Xem đáp án

Chọn C

Lý thuyết: Đồ thị các hàm số $y = \log_{a} x$ và $y = a^{x}$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$ .

Đáp án A sai vì đồ thị các hàm số $y = a^{x}$ và $y = {(\frac{1}{a})}^{x}$ đối xứng nhau qua trục tung.

Đáp án B sai vì đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ và $y = \log_{\frac{1}{a}} x$ đối xứng nhau qua trục hoành.

Câu 8:

Cho các khẳng định sau:

(I). Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và đường cao hạ từ đỉnh qua tâm của đáy.

(II). Hình hộp là lăng trụ có đáy là hình chữ nhật.

(III). Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

(IV). Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng.

Số khẳng định đúng là?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C

Các khẳng định đúng là (I), (III), (IV).

Câu 9:

Cho các khẳng định sau:

(I). Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

(II). Hình hộp chữ nhật 3 kích thước khác nhau có 3 mặt phẳng đối xứng.

(III). Lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng.

(IV). Bát diện đều có 9 mặt phẳng đối xứng.

Số khẳng định Sai là?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Câu 10:

Thể tích khối nón tròn xoay có đường cao h, đường sinh l, bán kính đáy R có thể tích là.

A. $V = 2 π R l$

B. $V = π R l$

C. $V = π R^{2} h$

D. $V = \frac{1}{3} h π R^{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 11:

Đồ thị của hàm số

y = 4 x^{4} - 3 x^{2} + 3

và đường thẳng

y = x + 3

có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là $4 x^{4} - 3 x^{2} + 3 = x + 3$

$\Leftrightarrow 4 x^{4} - 3 x^{2} - x = 0$ $\Leftrightarrow x (4 x^{3} - 3 x - 1) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$ .

Suy ra hai đồ thị có ba điểm chung.

Câu 12:

Tính đạo hàm của hàm số

y = \log_{2} (2^{x} + 1)

.

A. $y^{'} = \frac{1}{(2^{x} + 1) \ln 2}$

B. $y^{'} = \frac{1}{1 + 2^{- x}}$

C. $y^{'} = \frac{2^{x} \ln 2}{2^{x} + 1}$

D. $y^{'} = \frac{\ln 2}{2^{x} + 1}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

y^{'} = {[\log_{2} (2^{x} + 1)]}^{'} = \frac{{(2^{x} + 1)}^{'}}{(2^{x} + 1) \ln 2} = \frac{2^{x} \ln 2}{(2^{x} + 1) \ln 2} = \frac{1}{1 + 2^{- x}}

Câu 13:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} + \frac{3}{x}$ trên đoạn $[2; 3]$ .

A. $\underset{[2; 3]}{\min y} = \frac{15}{2}$

B. $\underset{[2; 3]}{\min y} = \frac{19}{2}$

C. $\underset{[2; 3]}{\min y} = 4$

D. $\underset{[2; 3]}{\min y} = 28$

Xem đáp án

Chọn B

$y^{'} = 3 x^{2} - \frac{3}{x^{2}}$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} = 0 \Rightarrow x^{4} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \notin [2; 3]$

Ta có: $y (2) = \frac{19}{2}$ , $y (3) = 28$ . Vậy $\min_{[2; 3]} y = \frac{19}{2}$ .

Câu 14:

Biết

a = \log 2

,

b = \log 3

thì

\log 0, 018

tính theo a và b bằng

A. $\frac{2 b + a}{2}$

B. $2 b + a - 3$

C. $2 b + a - 2$

D. $2 a + b - 2$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

\log 0, 018 = \log \frac{18}{1000} = \log 18 - \log 10^{3} = \log 2 + 2 \log 3 - 3 = a + 2 b - 3

.

Câu 15:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + 4 x + 2

luôn đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $m < 2$

B. $m \leq - 2$

C. $[\begin{array}{l} m \leq - 2 \\ m \geq 2 \end{array}$

D. $- 2 \leq m \leq 2$

Xem đáp án

Chọn D

Tập xác định: D = R.

$y^{'} = x^{2} - 2 m x + 4$ .

Hàm số luôn đồng biến trên R

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2

.

Câu 16:

Cho hàm số

y = \frac{x - 1}{x^{2} - 2 m x + 9}, m \neq 0

. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận đứng?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn A

Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng thì phương trình $x^{2} - 2 m x + 9 = 0 (*)$ có duy nhất nghiệm khác 1 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiêm bằng 1.

TH1: $Δ^{'} = m^{2} - 9 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 3$

Khi m = 3, phương trình có một nghiệm x = 3 (thỏa mãn).

Khi m = -3 phương trình có một nghiệm x = -3 (thỏa mãn).

TH2: Phương trình (*) có một nghiệm bằng 1 $\Rightarrow 1 - 2 m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = 5$

Thử lại, với m = 5 ta có phương trình $x^{2} - 10 x + 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 9 \end{array} m$ (thỏa mãn)

Vậy với m = 3, m = -3, m = 5 thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng.

Câu 17:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để giá trị lớn nhất của hàm số

y = \frac{m^{2} x - m + 2}{x - 2}

trên đoạn [-2;0] bằng 2?

A. m = 6

B. m = 2

C. $[\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - \frac{5}{2} \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} m = - 2 \\ m = \frac{5}{2} \end{array}$

Xem đáp án

Chọn C

$y^{'} = \frac{m^{2} (x - 2) - (m^{2} x - m + 2)}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{- 2 m^{2} + m - 2}{{(x - 2)}^{2}} < 0, \forall m \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên [-2;0]

$\Rightarrow \max_{[- 2; 0]} y = y (- 2) = \frac{- 2 m^{2} - m + 2}{- 2 - 2}$

$= \frac{- 2 m^{2} - m + 2}{- 4} = 2 \Leftrightarrow 2 m^{2} + m - 2 = 8 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - \frac{5}{2} \end{array}$ .

Câu 18:

Cho hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số y = ã^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. (ảnh 1)

A. $a > 0, b = 0, c < 0, d < 0$

B. $a > 0, b > 0, c = 0, d < 0$

C. $a > 0, b < 0, c = 0, d < 0$

D. $a > 0, b = 0, c > 0, d < 0$

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào đồ thị, ta có các nhận xét sau:

+ Ta thấy rằng $\lim_{x \to - \infty} y = - \infty; \lim_{x \to + \infty} y = + \infty \Rightarrow a > 0$ .

+ Hàm số đạt cực đại tại $x_{1} < 0, x_{2} = 0$ . Ta có $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm phương trình $y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$

Theo hệ thức Viét, ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{2 b}{3 a} < 0 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{3 a} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 0 \\ b > 0 \end{cases}$

+ Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(0; d) \Rightarrow d < 0$ .

Vậy các hệ số

a > 0, b > 0, c = 0, d < 0

.

Câu 19:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

\log_{3} (\log_{\frac{1}{3}} x) > 0

.

A. $S = (0; 1)$

B. $S = (- \infty; \frac{1}{3})$

C. $S = \emptyset$

D. $S = (0; \frac{1}{3})$

Xem đáp án

Chọn D

Điều kiện: $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ \log_{\frac{1}{3}} x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x < 1 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < x < 1$ .

Bất phương trình $\Leftrightarrow \log_{\frac{1}{3}} x > 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{3}$ .

So với điều kiện, ta có

S = (0; \frac{1}{3})

Câu 20:

Phương trình

3^{2 x + 1} - {4.3}^{x} + 1 = 0

có 2 nghiệm

x_{1}, x_{2}

trong đó

x_{1} < x_{2}

. Chọn phát biểu đúng?

A. $x_{1} . x_{2} = - 1$

B. $2 x_{1} + x_{2} = 0$

C. $x_{1} + 2 x_{2} = - 1$

D. $x_{1} + x_{2} = - 2$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $3^{2 x + 1} - {4.3}^{x} + 1 = 0 \Leftrightarrow {3.3}^{2 x} - {4.3}^{x} + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} 3^{x} = 1 \\ 3^{x} = \frac{1}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 0 \end{matrix}$ .

Vậy $x_{1} + 2 x_{2} = - 1$ .

Câu 21:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y = \log (x^{2} - 2 m x + 4)

có tập xác định D = R

A. $m < 4$

B. $- 4 < m < 4$

C. $m < - 2$ hoặc $m > 2$

D. $- 2 < m < 2$

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số có tập xác định là R $\Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + 4 > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow Δ^{'} = m^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$ .

Câu 22:

Tìm m để phương trình

x^{4} - 4 x^{2} + 1 - m = 0

có 2 nghiệm.

A. m > 1

B. -3 < m < 1

C. m > 1 hoặc m = -3

D. m < -1 hoặc m = 3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $x^{4} - 4 x^{2} + 1 - m = 0 \Leftrightarrow x^{4} - 4 x^{2} + 1 = m$ .

Đặt $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ . Ta có $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 8 x$ ; $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array}$ .

Bảng biến thiên:

Tìm m để phương trình x^4 - 4x^2 + 1 - m = 0 có 2 nghiệm. (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm <=> m > 1 hoặc m = -3

Câu 23:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\log (a + b) = \log a + \log b \forall a > 0, b > 0$

B. $a^{x + y} = a^{x} + a^{y}, \forall a > 0, x, y \in ℝ$

C. Hàm số $y = e^{10 x + 2017}$ đồng biến trên R

D. Hàm số

y = \log_{12} x

nghịch biến trên khoảng

(0; + \infty)

Xem đáp án

Chọn C

+ Các khẳng định A, B sai theo lý thuyết.

+ Xét khẳng định C: Ta có $y^{'} = 10 e^{10 x + 2017} > 0 \forall x \in ℝ \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên R => C đúng.

+ Xét khẳng định D: Ta có

y^{'} = \frac{1}{x \ln 12} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow

hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

=> D sai.

Câu 24:

Giải bất phương trình

{(2 + \sqrt{3})}^{x^{2} - 2 x + 2} \leq {(2 - \sqrt{3})}^{- x - 8}

ta được bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 4

B. 5

C. 6

D. Vô số

Xem đáp án

Chọn C

Ta có ${(2 + \sqrt{3})}^{x^{2} - 2 x + 2} \leq {(2 - \sqrt{3})}^{- x - 8} \Leftrightarrow {(2 + \sqrt{3})}^{x^{2} - 2 x + 2} \leq {(2 + \sqrt{3})}^{x + 8}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 2 \leq x + 8 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 6 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{33}}{2}$ .

Vì $x \in ℤ$ nên $x \in \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ . Vậy có tất cả 6 nghiệm nguyên.

Câu 25:

Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của (H) bằng.

A. $\frac{a^{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Giả sử tứ diện đều S.ABCD.

Tính diện tích ABCD: $S_{A B C D} = a^{2}$ .

Xác định chiều cao:

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O$ là chiều cao của khối chóp.

$Δ S O A$ vuông tại O cho ta $S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = a \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Vậy,

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S O = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}

.

Câu 26:

Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2 và có chiều cao bằng 4. Thể tích của hình trụ bằng:

A. $8 π$

B. $24 π$

C. $32 π$

D. $16 π$

Xem đáp án

Chọn D

$V = π R^{2} h = π .4.4 = 16 π$ .

Câu 27:

Cho một khối lăng trụ tam giác đều có thể tích là

\frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}

. Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

A. $\frac{a^{3} π}{3}$

B. $\frac{2 a^{3} π}{3}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3} π}{3}$

D. $\frac{2 \sqrt{3} a^{3} π}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho một khối lăng trụ tam giác đều có thể tích là căn bậc hai 3 /2 a^3. Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. (ảnh 1)

Giả sử khối lăng trụ tam giác đều là ABC.A'B'C' ; gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Gọi h là chiều cao của khối lăng trụ và x là độ dài cạnh tam giác đáy.

Do đáy là tam giác đều cạnh x nên có diện tích : $S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}$ .

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều là: $V = h \frac{\sqrt{3} x^{2}}{4} = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{2} \Rightarrow x^{2} h = 2 a^{3}$ .

Bán kính đường tròn đáy của khối trụ ngoại tiếp là $r = A G = \frac{x \sqrt{3}}{3}$ .

Thể tích khối trụ là : $V_{T} = π r^{2} h = π \frac{x^{2}}{3} h = \frac{2 a^{3} π}{3}$ .

Câu 28:

Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền

a \sqrt{2}

. Diện tích xung quanh của hình nón là.

A. $\frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{π a^{2} \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{π a^{2} \sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{π a^{2} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

ho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền a căn bậc hai 2 . Diện tích (ảnh 1)

Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, đường cao và bán kính đáy của hình nón.

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB vuông cân tại S có cạnh huyền $A B = a \sqrt{2}$ .

Nên $S A^{2} + S B^{2} = A B^{2} \Leftrightarrow 2 S A^{2} = 2 a^{2} \Leftrightarrow S A = a = l$ .

Ta có: $R = A O = \frac{1}{2} A B = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vậy diện tích xung quanh của hình nón: $S = π R l = π a . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 29:

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D', biết tổng diện tích các mặt của hình lập phương bằng 150.

A. V = 25

B. V = 75

C. V = 125

D. V = 100

Xem đáp án

Chọn C

Tính thể tích v của khối lập phương abcd.a'b'c'd' , biết tổng diện tích các (ảnh 1)

Đặt cạnh lập phương là a.

Tổng diện tích các mặt lập phương là: $S = 6 a^{2}$ .

Theo bài ta có: $S = 6 a^{2} = 150 \Leftrightarrow a = 5$ .

Vậy thể tích khối lập phương là : $V = a^{3} = 125$ .

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, CD = 2a; AD = a;

S A ⊥ (A B C D)

và SA = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng.

A. $a^{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $6 a^{3}$

D. $4 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, CD = 2a; AD = a; SA vuông góc (ABCD) (ảnh 1)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: $S_{A B C D} = A D . C D = 2 a^{2}$ .

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A$ là đường cao của chóp S.ABCD.

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .3 a .2 a^{2} = 2 a^{3}

Câu 31:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y = 2 x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + 6 m x

có hai điểm cực trị A và B, sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng

y = x + 2

.

A. m = 0 và m = 2

B. m = 0, m = -1 và m = -2

C. m = 0 và m = -1

D. m = 0, m = 1 và m = 2

Xem đáp án

Lời giải

Chọn A

Ta có $y^{'} = 6 x^{2} - 6 (m + 1) x + 6 m$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 6 x^{2} - 6 (m + 1) x + 6 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = m \end{array}$

Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow m \neq 1$ .

Khi đó hai điểm cực trị là $A (1; 3 m - 1)$ , $B (m; - m^{3} + 3 m^{2})$

$\Rightarrow \vec{A B} = (m - 1; - m^{3} + 3 m^{2} - 3 m + 1)$ .

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $y = x + 2$ là $\vec{u_{d}} = (1; 1)$ .

Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng $y = x + 2 \Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{u_{d}} = 0$

$\Leftrightarrow m - 1 - m^{3} + 3 m^{2} - 3 m + 1 = 0 \Leftrightarrow m^{3} - 3 m^{2} + 2 m = 0 \Leftrightarrow m (m - 1) (m - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (t m) \\ m = 2 (t m) \\ m = 1 (l) \end{array}$

Vậy m = 0 hoặc m = 2

Câu 32:

Phương trình

\log_{4} {(x + 1)}^{2} + 2 = \log_{\sqrt{2}} \sqrt{4 - x} + \log_{8} {(4 + x)}^{3}

có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

, khi đó

|x_{1} - x_{2}|

bằng bao nhiêu?

A. $8 + 2 \sqrt{6}$

B. 8

C. $2 \sqrt{6}$

D. $4 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện: $\{\begin{cases} x + 1 \neq 0 \\ 4 - x > 0 \\ 4 + x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \in (- 4; 4) \ \{- 1\}$ .

Khi đó, $P T \Leftrightarrow \log_{2^{2}} {(x + 1)}^{2} + 2 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + \log_{2^{2}} {(4 + x)}^{3}$

$\Leftrightarrow \log_{2} |x + 1| + \log_{2} 4 = \log_{2} (4 - x) + \log_{2} (x + 4) \Leftrightarrow \log_{2} 4 |x + 1| = \log_{2} (16 - x^{2}) \Leftrightarrow 4 |x + 1| = 16 - x^{2} (*)$

* TH1: $x + 1 > 0 \Rightarrow - 1 < x < 4$ : Ta có $(*) \Leftrightarrow 4 x + 4 = 16 - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 12 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 (t m) \\ x = - 6 (l) \end{array} \Rightarrow x_{1} = 2$ .

* TH2: $x + 1 < 0 \Rightarrow - 4 < x < - 1$ : $(*) \Leftrightarrow - 4 x - 4 = 16 - x^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 20 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 + 2 \sqrt{6} (l) \\ x = 2 - 2 \sqrt{6} (t m) \end{array} \Rightarrow x_{2} = 2 - 2 \sqrt{6}$ .

Vậy $|x_{1} - x_{2}| = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 33:

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

y = \frac{\tan x + m}{m \tan x + 1}

nghịch biến trên khoảng

(0; \frac{π}{4})

.

A. $(1; + \infty)$

B. $(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$

C. $(- \infty; 0] \cup (1; + \infty)$

D. $[0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $y^{'} = {(\frac{\tan x + m}{m \tan x + 1})}^{'} = \frac{1 - m^{2}}{\cos^{2} x {(m \tan x + 1)}^{2}}$ .

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$ khi y' < 0, $\forall x \in (0; \frac{π}{4}) \Rightarrow 1 - m^{2} < 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m < - 1 \\ m > 1 \end{matrix}$ .

Đồng thời $m \tan x + 1 \neq 0, \forall x \in (0; \frac{π}{4}) \Leftrightarrow m \neq - \frac{1}{\tan x}, \forall x \in (0; \frac{π}{4})$ .

Ta có $x \in (0; \frac{π}{4}) \Rightarrow \tan x \in (0; 1) \Rightarrow - \frac{1}{\tan x} \in (- \infty; - 1) \Rightarrow m \notin (- \infty; - 1)$

Vậy $m \in (1; + \infty)$ .

Câu 34:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích V và một điểm M di động trong tam giác A'B'C'. Khi đó thể tích khối chóp M.ABC tính theo V bằng.

A. V

B. $\frac{V}{3}$

C. $\frac{V}{6}$

D. $\frac{V}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích V và một điểm M di động trong tam giác A'B'C' (ảnh 1)

Gọi h là chiều cao của lăng trụ, $S = S_{A B C}$ . Khi đó chóp M.ABC có chiều cao là h.

Thể tích lăng trụ V = hS.

Thể tích tứ diện M.ABC là $V_{M . A B C} = \frac{1}{3} h . S = \frac{V}{3}$ .

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 45^o. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SC và SD. Thể tích của khối chóp S.AHK là.

A. $\frac{a^{3}}{24}$

B. $\frac{a^{3}}{12}$

C. $\frac{a^{3}}{6}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc (ảnh 1)

Ta có: (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D) \Rightarrow S A ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow ((S C D), (A B C D)) = \hat{S D A} = 45^{0} \Rightarrow S A = A D = a V_{S . A C D} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ S C D} = \frac{1}{3} a . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{6} \frac{V_{S . A H K}}{V_{S . A C D}} = \frac{S H}{S C} . \frac{S K}{S D} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S . A H K} = \frac{1}{4} V_{S . A C D} = \frac{a^{3}}{24}$

Câu 36:

Cho hàm số

f (x) = \frac{4^{x}}{4^{x} + 2}

. Tính tổng

S = f (\frac{1}{2015}) + f (\frac{2}{2015}) + f (\frac{3}{2015}) + ... + f (\frac{2013}{2015}) + f (\frac{2014}{2015})

A. S = 2014

B. S = 2015

C. S = 1008

D. S = 1007

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $f (x) + f (1 - x) = \frac{4^{x}}{4^{x} + 2} + \frac{4^{1 - x}}{4^{1 - x} + 2} = \frac{4^{x}}{4^{x} + 2} + \frac{2}{4^{x} + 2} = 1$ .

Suy ra

$S = f (\frac{1}{2015}) + f (\frac{2014}{2015}) + f (\frac{2}{2015}) + f (\frac{2013}{2015}) + ... + f (\frac{1007}{2015}) + f (\frac{1008}{2015}) = 1007$ .

Câu 37:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

m + e^{\frac{x}{2}} = \sqrt[4]{e^{2 x} + 1}

có nghiệm thực.

A. 0 < m < 1

B. $0 < m \leq \frac{2}{e}$

C. $\frac{1}{e} \leq m < 1$

D. -1 < m < 0

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $t = e^{2 x}$ , $t > 0$ . Ta có $t = e^{2 x} = {(e^{\frac{x}{2}})}^{4} \Rightarrow e^{\frac{x}{2}} = \sqrt[4]{t}$ .

Khi đó phương trình $m + e^{\frac{x}{2}} = \sqrt[4]{e^{2 x} + 1}$ trở thành $m = \sqrt[4]{t - 1} - \sqrt[4]{t} (*)$

Xét hàm số $f (t) = \sqrt[4]{t - 1} - \sqrt[4]{t}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ , có $f^{'} (t) = \frac{1}{4} (\frac{1}{\sqrt[4]{{(t + 1)}^{3}}} - \frac{1}{\sqrt[4]{t^{3}}}) < 0; \forall t > 0$ .