Học sinh tự giải

Học sinh tự giải

a) y′ = 3x2 + 2(m + 3)x + m

y′ = 0 ⇔ 3x2 + 2(m + 3)x + m = 0

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

y′(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = −3

Khi đó,

y′ = 3x2 – 3;

y′′ = 6x;

y′′(1) = 6 > 0;

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3.

b) y′ = −(m2 + 6m)x2 − 4mx + 3

y′(−1) = −m2 − 6m + 4m + 3 = (−m2 − 2m – 1) + 4 = −(m + 1)2 + 4

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

y′(−1) = −(m + 1)2 + 4 = 0 ⇔ (m + 1)2 = 4

⇔ 

Với m = -3 ta có y’ = 9x2 + 12x + 3

⇒ y′′ = 18x + 12

⇒ y′′(−1) = −18 + 12 = −6 < 0

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

y′ = −7x2 − 4x + 3

⇒ y′′ = −14x − 4

⇒ y′′(−1) = 10 > 0

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.

y' = 4(m - 1)x3 - 2mx = 2x[2(m - 1)x2 - m]

Hàm số có đúng một cực trị khi y' = 0 có đúng một nghiệm, tức là

2x[2(m - 1)x2 - m] = 0 chỉ có nghiệm x = 0

Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc 

⇒ 0 ≤ m ≤ 1.

Vậy với 0 ≤ m ≤ 1 hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.

a) Tập xác định: D = R;

y′= 0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–∞; 0), (4; +∞).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 5. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, yCT = -3.

Đồ thị đi qua A(-2; -3); B(6;5).

b) x3 – 6x2 + m = 0

⇔ x3 – 6x2 = –m (1)

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị (C)

và đường thẳng 

Suy ra (1) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:

a)

b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị (C1) của hàm số.

y = f(x) = −(x + 1)3 + 3(x + 1) + 1 hay f(x) = −(x + 1)3 + 3x + 4 (C1)

Lấy đối xứng (C1) qua trục Ox, ta được đồ thị (C’) của hàm số y = g(x) = (x + 1)3 − 3x – 4

c) Ta có: (x + 1)3 = 3x + m (1)

⇔ (x + 1)3 − 3x – 4 = m – 4

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường :

y = g(x) = (x + 1)3 − 3x – 4 (C’) và y = m – 4 (d1)

Từ đồ thị, ta suy ra:

    +) m > 5 hoặc m < 1: phương trình (1) có một nghiệm.

    +) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.

    +) 1 < m < 5 , phương trình (1) có ba nghiệm.

d) Vì (d) vuông góc với đường thẳng:

nên ta có hệ số góc bằng 9.

Ta có: g′(x) = 3(x + 1)2 – 3

g′(x) = 9 ⇔ 

Có hai tiếp tuyến phải tìm là:

y – 1 = 9(x – 1) ⇔ y = 9x – 8;

y + 3 = 9(x + 3) ⇔ y = 9x + 24.

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2(x − k) = (x − 1)2 hoặc 2(x − k) = -(x − 1)2

Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: y = −x2 + 4x – 1 và y = x2 + 1

Từ đồ thị ta suy ra:

    • 2k > 3 : phương trình có hai nghiệm;

    • 2k = 3 : phương trình có ba nghiệm;

    • 2 < 2k < 3 : phương trình có bốn nghiệm;

    • 2k = 2 : phương trình có ba nghiệm;

    • 1 < 2k < 2 : phương trình có bốn nghiệm ;

    • 2k = 1 : phương trình có ba nghiệm ;

    • 2k < 1 : phương trình có hai nghiệm.

(1) : phương trình có bốn nghiệm;

(2): phương trình có ba nghiệm ;

(3): phương trình có hai nghiệm.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = (x + 1)2.(2 − x).

y = −x3 + 3x + 2 ⇒ y′ = −3x2 + 3

y′=0 ⇔ 

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Từ đồ thị hàm số ta suy ra:

    • k > 4 hoặc k < 0: phương trình có một nghiệm;

    • k = 4 hoặc k = 0 : phương trình có hai nghiệm;

    • 0 < k < 4: phương trình có ba nghiệm.

a) y = x3 − (m + 4)x2 − 4x + m

⇔ (x2 − 1)m + y − x3 + 4x2 + 4x = 0

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

Giải hệ, ta được hai nghiệm:

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).

b) y′ = 3x2 − 2(m + 4)x – 4

Δ′ = (m + 4)2 + 12

Vì Δ’ > 0 với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

c) Học sinh tự giải.

d) Với m = 0 ta có: y = x3 – 4x2 – 4x.

Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 – 4x2 – 4x = kx.

Hay phương trình x2 – 4x – (4 + k) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:

a) Tập xác định: D = R

y′=0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; −1); (0; 1)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 hoặc x = -1; yCT = −2

Đồ thị có hai điểm uốn:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại:

b) Ta có: x2|x2 − 2| = m

⇔ 2x2 |x2 − 2| = 2m

⇔|2x2(x2 − 2)| = 2m

⇔|2x4 − 4x2| = 2m

Từ đồ thị hàm số y = 2x4 – 4x2 có thể suy ra đồ thị của hàm số y = |2x4 − 4x2| như sau:

Phương trình: |2x4 − 4x2| = 2m có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m có 6 nghiệm phân biệt với đồ thị (H)

⇔ 0 < 2m < 2

⇔ 0 < m < 1

a) Học sinh tự giải

b) 

⇔ x4 − 8x2 − 9 = 0

⇔ (x2 + 1)(x2 − 9) = 0

⇔ 

(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3

Ta có: y′ = x3 − 4x

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3 và x = -3 lần lượt là:

y = y′(3)(x – 3) và y = y′(−3)(x + 3)

Hay y = 15(x – 3) và y = −15(x + 3)

c) 

Từ đó, ta có:

k = −9/4: (C) và (P) có một điểm chung là (0; −9/4)

k > −9/4: (C) và (P) có hai giao điểm.

k < −9/4: (C) và (P) không cắt nhau.

a) Học sinh tự làm.

b) 

Ta có: y(1) = -3 , y(3) = 7

Từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến phải tìm là:

y + 3 = −5(x – 1) ⇔ y = −5x + 2

y – 7 = −5(x – 3) ⇔ y = −5x + 22

Xét hàm số:

a) TXĐ: R \ {−3m/2}

+) Nếu m < −8/3, y′ > 0 suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng 

+) Nếu m > −8/3, y′ < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng

    +) Nếu m = −8/3 thì y = −1/2 khi x ≠ 4

b) Ta có:

nên với mọi m, đường thẳng y = -$\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang và đi qua 

c) Số giao điểm của (Cm) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình:

Ta có:

⇔ 2x2 + (3m + 1)x – 4 = 0 ⇔ 2x2 + (3m + 1) x – 4 = 0 với x ≠ −3m/2

    +) Thay x = −3m/2 vào (*), ta có:

Như vậy, để x = −3m/2 không là nghiệm của phương trình (*) ta phải có m ≠ −8/3.

Ta có: Δ = (3m + 1)2 + 32 > 0, ∀ m. Từ đó suy ra với m ≠−8/3 đường thẳng y = x luôn cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt.

d) Ta có:

Trước hết, ta vẽ đồ thị (C) của hàm số

TXĐ: D = R \ {−3/2}.

Vì 

với mọi nên hàm số nghịch biến trên các khoảng

Bảng biến thiên:

Tiệm cận đứng x = −$\frac{3}{2}$

Tiệm cận ngang y = −$\frac{1}{2}$

Đồ thị (C) đi qua các điểm (−2;−6),(−1;5),(0;4/3),(4;0)

Để vẽ đồ thị (C’) của hàm số , ta giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Đáp án: C.

y' = 3x2 + 2(m + 3)x + m

y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = -3

Với m = -3, y' = 3x2 - 3 ⇒ y''(x) = 6x.

Vì y''(1) = 6 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu khi m = -3.

Đáp án: A.

Hàm số y = x4 + (m2 - 4)x2 + 5 có 3 cực trị khi y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt, tức là

y' = 4x3 + 2(m2 - 4) = 2x(2x2 + m2 - 4) = 0 có ba nghiệm phân biệt

⇔ 2x2 + m2 - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.

⇔ 4 - m2 > 0 ⇔ -2 < m < 2.

Đáp án: C.

Đáp án: D.

y' = 3x2 - 6(m - 1)x - 3(m + 1)

y' = 0 ⇔ x2 - 2(m - 1)x - m - 1 = 0

Δ' = (m - 1)2 + m + 1 = m2 - m + 2 ≥ 0

Tam thức m2 - m + 2 luôn dương với mọi m ∈ R vì δ = 1 - 8 < 0 và a = 1 > 0 cho nên phương y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị m ∈ R.

Đáp án: C.

y' = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1). Ta có

y - y(-2) = y'(-2)(x + 2) ⇔ y - 8 = -24(x + 2) ⇔ y = -24x - 40.

Đáp án: A.

y' = 4x3 - 4x.

Tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm có hoành độ thỏa mãn

4x3 - 4x = 24 ⇔ x3 - x - 6 = 0 ⇔ (x - 2)(x2 + 2x + 3) = 0 ⇔ x = 2.

Do đó phương trình tiếp tuyến phải tìm là

y - y(2) = 24(x - 2) ⇔ y = 24x - 43.

Đáp án: A.

Gợi ý: Thử trực tiếp vào phương trình