Gọi số cần tìm là \[\overline {abc} \] (a ≠ 0; a, b, c ∈ ℕ; 0 ≤ a, b, c ≤ 9).

Theo đề, ta có nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số gấp 26 lần số ban đầu.

Nghĩa là, \[\overline {9abc} = \overline {abc} \times 26\].

\( \Rightarrow 9 \times 1000 + \overline {abc} = \overline {abc} \times 26\).

\( \Rightarrow 9000 = \overline {abc} \times 25\).

\[ \Rightarrow \overline {abc} = 9000:25 = 360\].

Vậy số cần tìm là 360.

Gọi số cần tìm là \[\overline {abc} \] (a ≠ 0; a, b, c ∈ ℕ; 0 ≤ a, b, c ≤ 9).

Theo đề, ta có nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được số mới gấp 25 lần số cũ.

Nghĩa là, \[\overline {9abc} = \overline {abc} \times 25\].

\( \Rightarrow 9 \times 1000 + \overline {abc} = \overline {abc} \times 25\).

\( \Rightarrow 9000 = \overline {abc} \times 24\).

\[ \Rightarrow \overline {abc} = 9000:24 = 375\].

Vậy số cần tìm là 375.

Khi đó, số thập phân biểu diễn phân số \(\frac{x}{{100}}\) là: \(\frac{x}{{100}} = \frac{{375}}{{100}} = 3,75\).

Ta có 3x² + 3y² = 10xy.

⇔ 3x² – 10xy + 3y² = 0.

⇔ 3x² – 9xy – xy + 3y² = 0.

⇔ 3x(x – 3y) – y(x – 3y) = 0.

⇔ (x – 3y)(3x – y) = 0.

⇔ x = 3y hoặc 3x = y.

So với điều kiện x > y > 0, ta nhận x = 3y.

Thế x = 3y vào P ta được: \(P = \frac{{x - y}}{{x + y}} = \frac{{3y - y}}{{3y + y}} = \frac{{2y}}{{4y}} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(P = \frac{1}{2}\).

Trục hoành: y = 0.

Suy ra giao điểm của parabol cần tìm và trục hoành là điểm A(–1; 0).

Ta có parabol đi qua điểm A(–1; 0).

Suy ra 0 = a – b + c    (1)

Ta có parabol có đỉnh I(3; 4).

Suy ra \( - \frac{b}{{2a}} = 3\).

Do đó 6a + b = 0     (2)

Ta có parabol đi qua điểm I(3; 4).

Suy ra 4 = 9a + 3b + c    (3)

Từ (1), (2), (3), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + c = 0\\6a + b = 0\\9a + 3b + c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{7}{4}\end{array} \right.\).

Vậy \(a = - \frac{1}{4};\,\,b = \frac{3}{2};\,\,c = \frac{7}{4}\).

a) Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Trục Ox: y = 0.

Với y = 0, ta có: \[ - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\].

Suy ra tọa độ \(A\left( {\frac{3}{4};0} \right)\).

Trục Oy: x = 0.

Với x = 0, ta có: y = –4.0 + 3 = 3.

Suy ra tọa độ B(0; 3).

Vậy \(A\left( {\frac{3}{4};0} \right)\), B(0; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng d.

Ta có \(OA = \frac{3}{4},\,\,OB = 3\).

Tam giác OAB vuông tại O có OH là đường cao:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{{17}}{9}\).

Suy ra \(O{H^2} = \frac{9}{{17}}\).

Do đó \(OH = \frac{3}{{\sqrt {17} }}\).

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến d bằng \(\frac{3}{{\sqrt {17} }}\).

d) Ta có \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.3 = \frac{9}{8}\).

Vậy diện tích tam giác OAB là \(\frac{9}{8}\).

Ta có: 300 – (–200) – (–120) + 18.

= (300 + 200) + (120 + 18).

= 500 + 138.

= 638.

Ta có \(A = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} + \sqrt {4{x^2} - 12x + 9} \).

\( = \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \).

= |2x – 1| + |2x – 3|.

= |2x – 1| + |3 – 2x|.

Áp dụng công thức |A| + |B| ≥ |A + B|, ta có:

|2x – 1| + |3 – 2x| ≥ |2x – 1 + 3 – 2x| = |2| = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2.

Tuổi mẹ là 6 phần, tuổi con là 1 phần.

Hiệu số phần bằng nhau là:

6 – 1 = 5 (phần).

Giá trị của một phần là:

30 : 5 = 6 (tuổi).

Tuổi con là:

6 × 1 = 6 (tuổi).

Tuổi mẹ là:

6 × 6 = 36 (tuổi).

Đáp số: Tuổi mẹ: 36 tuổi;

             Tuổi con: 6 tuổi.

Ta có 6x² + 5y² = 74.

⇔ 6(x² – 4) = 5(10 – y²)      (1)

Từ (1), ta suy ra 6(x² – 4) ⋮ 5 và (6; 5) = 1.

⇒ x² – 4 ⋮ 5.

⇒ x² = 5k + 4 (k ∈ ℕ).

Thay x² – 4 = 5k vào (1) ta được: 30k = 5(10 – y²).

⇒ 6k = 10 – y².

⇒ y² = 10 – 6k.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5k + 4 > 0\\10 - 6k > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow - \frac{4}{5} < k < \frac{5}{3}\).

Mà k ∈ ℕ.

Do đó ta nhận k ∈ {0; 1}.

Với k = 0, ta có y² = 10. Suy ra \(y = \pm \sqrt {10} \) (loại vì y nguyên dương).

Với k = 1, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 5k + 4 = 5.1 + 4 = 9\\{y^2} = 10 - 6k = 10 - 6.1 = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = \pm 2\end{array} \right.\)

Vì x, y nguyên dương nên ta nhận x = 3, y = 2.

Vậy (x, y) ∈ {(3; 2)} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có x + y + z = xyz.

\( \Leftrightarrow x = \frac{{x + y + z}}{{yz}}\).

\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{x^2} + xy + xz}}{{yz}}\).

\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{yz}}\).

\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} \).

Chứng minh tương tự, ta có \(\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{xz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} \); \(\frac{1}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} \).

Cộng theo từng vế ba đẳng thức trên và áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

\(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\)

\( = \sqrt {\frac{{yz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{xz}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{xy}}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} \)

\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{x + y}} + \frac{z}{{x + z}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + y}} + \frac{z}{{y + z}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{x + y}} + \frac{z}{{x + z}} + \frac{x}{{x + y}} + \frac{z}{{y + z}} + \frac{x}{{x + z}} + \frac{y}{{y + z}}} \right)\)

\( = \frac{3}{2}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt 3 \).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng \(\frac{3}{2}\) khi và chỉ khi \(x = y = z = \sqrt 3 \).

a) Hàm số đã cho đồng biến ⇔ 5 – 3a > 0.

\[ \Leftrightarrow a < \frac{5}{3}\].

Hàm số đã cho nghịch biến ⇔ 5 – 3a < 0.

\[ \Leftrightarrow a > \frac{5}{3}\].

Vậy \[a < \frac{5}{3}\] thì hàm số đã cho đồng biến; \[a > \frac{5}{3}\] thì hàm số đã cho nghịch biến.

b) Ta có f(–2) = 10.

⇔ (5 – 3a).(–2) + a + 6 = 10.

⇔ –10 + 6a + a + 6 = 10.

⇔ 7a = 14.

⇔ a = 2.

Khi đó ta có hàm số y = f(x) = –x + 8.

Vậy f(2) = –2 + 8 = 6.

c) Với f(3) = 5, ta có: (5 – 3a).3 + a + 6 = 5.

⇔ 15 – 9a + a + 6 = 5.

⇔ 8a = 16.

⇔ a = 2.

Vì \[a = 2 > \frac{5}{3}\] nên hàm số đã cho nghịch biến khi f(3) = 5.

Đáp án đúng là: B

Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và tam giác SAB.

Gọi M là trung điểm của AB và O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có JM ⊥ AB và IM ⊥ AB.

Mà (SAB) ⊥ (ABCD).

Do đó IM ⊥ JM     (1)

Ta có O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Suy ra OI ⊥ (ABCD).

Do đó OI ⊥ IM      (2)

Ta có O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Suy ra OJ ⊥ (SAB).

Do đó OJ ⊥ JM     (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra bốn điểm O, J, M, I đồng phẳng và tứ giác OJMI là hình chữ nhật (do có 3 góc ở đỉnh là góc vuông).

Gọi R, R_b lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Áp dụng định lí Pytago, ta được: \(I{A^2} = \frac{{A{C^2}}}{4} = \frac{{B{D^2}}}{4} = \frac{{A{B^2} + A{D^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + 3{a^2}}}{4} = {a^2}\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác SAB, ta được: \({R_b} = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {ASB}}} = \frac{a}{{2.\sin 60^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có \(R = SO = \sqrt {S{J^2} + O{J^2}} = \sqrt {R_b^2 + I{M^2}} = \sqrt {R_b^2 + I{A^2} - A{M^2}} \).

\( = \sqrt {R_b^2 + I{A^2} - \frac{{A{B^2}}}{4}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).

Vậy diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{{13\pi {a^2}}}{3}\).

Do đó ta chọn phương án B.

Ta xét mẫu của phân số thứ nhất:

6x² – ax – 2a² = 6x² + 3ax – 4ax – 2a²

= 3x(2x + a) – 2a(2x + a)

= (2x + a)(3x – 2a).

Ta xét mẫu của phân số thứ hai:

4a² – 4ax – 3x² = 4a² + 2ax – 6ax – 3x²

= 2a(2a + x) – 3x(2a + x)

= (2a + x)(2a – 3x).

Khi đó ta có \(\frac{{a - x}}{{6{x^2} - ax - 2{a^2}}} - \frac{{a + x}}{{4{a^2} - 4ax - 3{x^2}}}\).

\( = \frac{{a - x}}{{\left( {2x + a} \right)\left( {3x - 2a} \right)}} - \frac{{a + x}}{{\left( {2a + x} \right)\left( {2a - 3x} \right)}}\).

\( = \frac{{a - x}}{{\left( {2x + a} \right)\left( {3x - 2a} \right)}} + \frac{{a + x}}{{\left( {2a + x} \right)\left( {3x - 2a} \right)}}\).

\[ = \frac{{\left( {a - x} \right)\left( {2a + x} \right) + \left( {a + x} \right)\left( {2x + a} \right)}}{{\left( {2x + a} \right)\left( {3x - 2a} \right)\left( {2a + x} \right)}}\].

\[ = \frac{{2{a^2} - ax - {x^2} + 3ax + {a^2} + 2{x^2}}}{{\left( {2x + a} \right)\left( {3x - 2a} \right)\left( {2a + x} \right)}}\].

\[ = \frac{{3{a^2} + 2ax + {x^2}}}{{\left( {2x + a} \right)\left( {3x - 2a} \right)\left( {2a + x} \right)}}\].

Vậy \(\frac{{a - x}}{{6{x^2} - ax - 2{a^2}}} - \frac{{a + x}}{{4{a^2} - 4ax - 3{x^2}}} = \frac{{3{a^2} + 2ax + {x^2}}}{{\left( {2x + a} \right)\left( {3x - 2a} \right)\left( {2a + x} \right)}}\).

– Vẽ \[\widehat {xOy} = 50^\circ \].

– Lấy điểm M thuộc Ox sao cho OM = 6 cm.

– Lấy điểm N là trung điểm của đoạn ON, tức là ON = 3 cm.

– Vẽ đường thẳng d đi qua N là vuông góc với OM.

Khi đó d là đường trung trực của đoạn thẳng OM.

Ta được hình vẽ sau:

Ta có A = (x – 3)² – (x + 1)³ + 12x(x – 1).

= x² – 6x + 9 – (x³ + 1 + 3x² + 3x) + 12x² – 12x.

= –x³ + 10x² – 21x + 8.

Thế \(x = - \frac{1}{2}\) vào A, ta được: \(A = - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} + 10.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - 21.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 8 = \frac{{169}}{8}\).

Vậy \(A = \frac{{169}}{8}\) khi \(x = - \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Ta phân tích các vectơ \(\overrightarrow {MB} ,\,\,\overrightarrow {MN} \) theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

⦁ \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).

⦁ \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\).

\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \).

Khi đó \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\left( {3\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{4}\left( {3A{B^2} + 8\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - 3A{D^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left( {{{3.2}^2} + 8.0 - {{3.2}^2}} \right) = 0\).

Vậy ta chọn phương án B.

⦁ Ta có \({\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\).

\( \Rightarrow \sin a = \pm \frac{3}{5}\).

Vì 0° < a < 90° nên sina > 0.

Do đó \(\sin a = \frac{3}{5}\).

⦁ Ta có \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{3}{5}:\frac{4}{5} = \frac{3}{4}\).

⦁ Ta có \(\cot a = \frac{1}{{\tan a}} = \frac{4}{3}\).

Vậy \(\sin a = \frac{3}{5}\); \(\tan a = \frac{3}{4}\) và \(\cot a = \frac{4}{3}\).

Chọn 2 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ và có sắp xếp thứ tự thì có \(A_5^2\) cách.

Chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số chẵn thì có \(C_5^3\) cách.

Chọn 3 chữ số chẵn từ 5 chữ số chẵn, trong đó có mặt chữ số 0 thì có \(C_4^2\) cách.

Coi 2 chữ số lẻ là 1 chữ số, kết hợp với 3 chữ số chẵn ta được 4 “chữ số”, sau đó sắp xếp thứ tự chúng thì có 4! cách.

Trường hợp chữ số 0 đứng đầu thì có 3! cách.

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(A_5^2.\left( {C_5^3.4! - C_4^2.3!} \right) = 4080\) (số).

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục Ox là: x² – 2x + 3 – m = 0   (1)

∆’ = 1 – 3 + m = m – 2.

Ta có parabol (P) cắt trục Ox tại hai điểm A, B phân biệt.

⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

⇔ ∆’ > 0.

⇔ m > 2   (*)

Hai nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l}{x_A} = 1 + \sqrt {m - 2} \\{x_B} = 1 - \sqrt {m - 2} \end{array} \right.\)

Khi đó ta có tọa độ giao điểm \[A\left( {1 + \sqrt {m - 2} ;0} \right),\,\,B\left( {1 - \sqrt {m - 2} ;0} \right)\].

Theo đề, ta có \(AB = 2\sqrt {m - 2} = 2\).

\( \Leftrightarrow \sqrt {m - 2} = 1\).

⇔ m – 2 = 1.

⇔ m = 3.

So với (*), nhận m = 3.

Vậy m₀ = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có \(C_{2021}^1 + C_{2021}^2 + C_{2021}^3 = \frac{{2021!}}{{1!.2020!}} + \frac{{2021!}}{{2!.2019!}} + \frac{{2021!}}{{3!.2018!}}\).

\( = 2021!.\left( {\frac{1}{{2020.2019.2018!}} + \frac{1}{{2.2019.2018!}} + \frac{1}{{6.2018!}}} \right)\).

\( = \frac{{2021.2020.2019.2018!}}{{2018!}}.\left( {\frac{1}{{2020.2019}} + \frac{1}{{2.2019}} + \frac{1}{6}} \right)\).

\( = 2021.2020.2019.\left[ {\frac{1}{{2019}}\left( {\frac{1}{{2020}} + \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{6}} \right]\).

\[ = 2021.2020.2019.\left( {\frac{1}{{2019}}.\frac{{1011}}{{2020}} + \frac{1}{6}} \right)\].

\[ = 2021.1011 + \frac{{2021.1010.2.3.673}}{6}\].

= 2021.1011 + 2021.1010.673.

= 2021.(1011 + 679 730).

= 2021.680 741.

= 1 375 777 561.

Gọi \(\overline {abcd} \) là số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 3, 6, 9.

Ta có:

⦁ a có 4 cách chọn (a ≠ 0).

⦁ b có 4 cách chọn.

⦁ c có 3 cách chọn.

⦁ d có 2 cách chọn.

Suy ra ta có tất cả 4.4.3.2 = 96 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

Ta thấy các số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 được lập từ các số 0, 3, 6, 9.

Gọi \(\overline {mnpq} \) là số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 được lập từ các số 0, 3, 6, 9.

Khi đó:

⦁ m có 3 cách chọn (m ≠ 0).

⦁ n có 3 cách chọn.

⦁ p có 2 cách chọn.

⦁ q có 1 cách chọn.

Suy ra ta có tất cả 3.3.2.1 = 18 số tự nhiên 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 được lập từ các số 0, 1, 3, 6, 9.

Vậy ta có tất cả 96 – 18 = 78 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x > –1.

Ta có 3x² – 6x + ln(x + 1)³ + 1 = 0.

⇔ 3x² – 6x + 3ln(x + 1) + 1 = 0.

Đặt f(x) = 3x² – 6x + 3ln(x + 1) + 1.

Suy ra \(f'\left( x \right) = 6x - 6 + \frac{3}{{x + 1}}\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 + \frac{3}{{x + 1}} = 0\).

⇔ 6(x – 1)(x + 1) + 3 = 0.

⇔ 2x² – 1 = 0.

\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = 0 tại 3 điểm phân biệt.

Do đó phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy ta chọn phương án C.

Ta có \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EB} \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AE} \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AE} \) (đúng).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Điều kiện: m ≠ 1.

Trục Ox: y = 0.

Trục Oy: x = 0.

Với y = 0, ta có: \(0 = \left( {m - 1} \right)x + 4 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 4}}{{m - 1}}\).

Suy ra tọa độ \(A\left( {\frac{{ - 4}}{{m - 1}};0} \right)\).

Với x = 0, ta có: y = (m – 1).0 + 4 = 0.

Suy ra tọa độ B(0; 4).

Ta có \(OA = \left| {\frac{{ - 4}}{{m - 1}}} \right| = \frac{4}{{\left| {m - 1} \right|}}\), OB = 4.

Khi đó \({S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{4}{{\left| {m - 1} \right|}}.4 = \frac{8}{{\left| {m - 1} \right|}}\).

Theo đề, ta có diện tích tam giác AOB bằng 24.

\( \Leftrightarrow \frac{8}{{\left| {m - 1} \right|}} = 24\).\( \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = \frac{1}{3}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = \frac{1}{3}\\m - 1 = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{4}{3}\\m = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

So với điều kiện m ≠ 1, ta nhận \(\left[ \begin{array}{l}m = \frac{4}{3}\\m = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m = \frac{4}{3}\\m = \frac{2}{3}\end{array} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {1 - {x_D};1 - {y_D}} \right)\).

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_D} = - 3\\1 - {y_D} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4\\{y_D} = 0\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ D(4; 0) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {DB} = \left( { - 1 - {x_D};4 - {y_D}} \right)\).

Vì ACBD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DB} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - {x_D} = - 1\\4 - {y_D} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 6\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ D(0; 6) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, N là trung điểm của AC.

Suy ra ba điểm B, G, N thẳng hàng.

Dựng hình bình hành ABCD.

Khi đó trung điểm N của AC cũng là trung điểm của đoạn BD.

Ta có \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = 3MG + 3\left| {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( = 3MG + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right|\)

= 3(MG + MD) ≥ 3GD (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra ⇔ M là giao điểm của GD và AC hay M là trung điểm của AC.

Khi đó M trùng N.

Vì tam giác ABC đều nên đường trung tuyến BN cũng là đường cao của tam giác ABC.

Tam giác ABN vuông tại N: \(BN = \sqrt {A{B^2} - A{N^2}} = \sqrt {A{B^2} - \frac{{A{C^2}}}{4}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Khi đó \(GN = \frac{1}{3}BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) và \(ND = BN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì vậy \(3GD = 3\left( {GN + ND} \right) = 3\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6} + \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2a\sqrt 3 \).

Vậy \({T_{\min }} = 2a\sqrt 3 \) khi M là trung điểm của AC.

Ta có D = (3x + 5)(2x – 1) + (4x – 1)(3x + 2)

= 6x² – 3x + 10x – 5 + 12x² + 8x – 3x – 2

= 18x² + 12x – 7.

Theo đề, ta có \(\left| x \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\)

Thay x = 2 vào D, ta được: D = 18.2² + 12.2 – 7 = 89.

Thay x = –2 vào D, ta được: D = 18.(–2)² + 12.(–2) – 7 = 41.

Vậy D = 89 hoặc D = 41 khi |x| = 2.

a) Thế x = 5 vào hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{12}}{x}\), ta được: \(f\left( 5 \right) = \frac{{12}}{5}\).

Thế x = –3 vào hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{12}}{x}\), ta được: \(f\left( { - 3} \right) = \frac{{12}}{{ - 3}} = - 4\).

Vậy \(f\left( 5 \right) = \frac{{12}}{5}\) và f(–3) = –4.

b) Thực hiện tương tự câu a với các giá trị của x trong bảng, ta thu được bảng sau:

Vì a, b, c không âm và a + b + c = 2 nên 0 ≤ a, b, c ≤ 2.

Khi đó ta có:

⦁ a ≤ 12a;

⦁ 2b² = 2b.b ≤ 4b ≤ 12b;

⦁ 3c³ = 3c².c ≤ 3.2².c = 12c.

Suy ra P = a + 2b² + 3c³ ≤ 12(a + b + c) = 12.2 = 24.

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = 0\\c = 2\end{array} \right.\).

Vậy P_max = 24 khi (a; b; c) = (0; 0; 2).

Số thứ ba là: 13,68 – 5,79 = 7,89.

Số thứ hai là: 12,45 – 7,89 = 4,56.

Số thứ nhất là: 5,79 – 4,56 = 1,23.

Đáp số: Số thứ nhất: 1,23;

          Số thứ hai: 4,56;

          Số thứ ba: 7,89.

Ta có x² + x – 1 = 0.

∆ = 1² – 4.1.(–1) = 5 > 0.

Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Hai nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right\}\).

Ta có x : 0,25 + x × 11 = 24

x × 4 + x × 11 = 24

x × (4 + 11) = 24

x × 15 = 24

x = 24 : 15

x = 1,6

Vậy x = 1,6.

Ta có \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} - 2\left( {\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{bc}} + \frac{1}{{ca}}} \right)\)

\( = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} - 2.\frac{{c + a + b}}{{abc}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2} - 2.\frac{0}{{abc}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)^2}\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đáp án đúng là: B

Trong vườn có tổng số cây là:

12 + 28 = 40 (cây)

Tỉ số phần trăm của cây cam so với tổng số cây trong vườn là:       

12 : 40 = 0,3 = 30%

Đáp số: 30%.

a) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 9\\x \ne 4\\x \ge 0\end{array} \right.\)             (*)

\(P = \left( {\frac{{x - 3\sqrt x }}{{x - 9}} - 1} \right):\left( {\frac{{9 - x}}{{x + \sqrt x - 6}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right)\)

\[ = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - 1} \right]:\left[ {\frac{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right]\]

\[ = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - 1} \right):\left( {\frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right)\]

\[ = \frac{{\sqrt x - \sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}:\left( {\frac{{3 - \sqrt x + \sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right)\]

\[ = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}:\left( { - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}} \right)\]

\[ = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x + 3}}{{2 - \sqrt x }}\]

\[ = \frac{3}{{\sqrt x - 2}}\].

b) Ta có \(P < 1 \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x - 2}} < 1\).

\( \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} < 0\).

\( \Leftrightarrow \frac{{5 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} < 0\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - \sqrt x < 0\\\sqrt x - 2 > 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}5 - \sqrt x > 0\\\sqrt x - 2 < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x > 5\\\sqrt x > 2\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x < 5\\\sqrt x < 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x > 5\) hoặc \(\sqrt x < 2\).

⇔ x > 25 hoặc x < 4.

So với điều kiện (*), ta nhận x > 25 hoặc 0 ≤ x < 4.

Vậy x > 25 hoặc 0 ≤ x < 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có 256⁵ = (2⁸)⁵ =2^8.5 = (2⁵)⁸ = 32⁸.

Vì 31 < 32 nên 31⁸ < 32⁸.

Vậy 31⁸ < 256⁵.

Vì (d) // (d₁) nên phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = –2x + b (b ≠ 5).

Ta có (d) đi qua điểm A(–2; 1). Suy ra 1 = –2.(–2) + b.

Khi đó b = –3 (nhận).

Vậy phương trình (d): y = –2x – 3.