Đáp án đúng là: D

Ta có trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 số hạng

Trong khai triển (a + 2)^{2n + 1} (n $\in$ ℕ) có tất cả 6 số hạng nên ta có 2n + 1 = 5

Vậy n = 2.

Đáp án đúng là: A

Ta có tổng số mũ của a, b trong mỗi hạng tử khi khai triển (a + b)ⁿ luôn bằng n

Vậy tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + b)⁴ bằng 4

Đáp án đúng là: D

Vì trong khai tiển (a + b)ⁿ thì trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b luôn bằng n Do đó, thay a = 5x, b = - 6y² thì tổng số mũ của a và b bằng 5. Đáp án D đúng

Đáp án đúng là: C

Ta có trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 hạng tử

Vậy trong khai triển (2x + y)⁴ có 5 hạng tử

Đáp án đúng là: C

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 3, b = –2x vào trong công thức ta có $C_5^k$3^{5 – k} .(– 2x)^k = (– 2)^k $C_5^k$3^{5 – k} .(x)^k

Vì tìm hệ số của x³ nên ta có x^k = x³ $\Rightarrow$ k = 3

Hệ số của x⁷ trong khai triển là (– 2)³$C_5^3$.3² = – 720.

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = x vào trong công thức ta có $C_5^k$1^{5 – k} .(x)^k = $C_5^k$1^{5 – k} .(x)^k

Vì tìm hệ số của x³ nên ta có x^k = x³ $\Rightarrow$ k = 3

Hệ số của x⁵ trong khai triển (1 + x)⁵ là $C_5^3$.1² = 10.

Hệ số của x⁵ trong khai triển là: 10 + 3 = 13

Đáp án đúng là: C

Ta có hệ số của x³ có khai triển (1 + x)⁵ là

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = x vào trong công thức ta có $C_5^k$1^{5 – k} .(x)^k = $C_5^k$1^{5 – k} .(x)^k

Vì tìm hệ số của x³ nên ta có x^k = x³ $\Rightarrow$ k = 3

Hệ số của x³ trong khai triển (1 + x)⁵ là $C_5^3$.1³ = 10.

Ta có hệ số của y³ có khai triển (1 + y)⁶ là

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = y vào trong công thức ta có $C_5^k$1^{5 – k} .(y)^k = $C_5^k$1^{5 – k} .(y)^k

Vì tìm hệ số của y³ nên ta có y^k = y³ $\Rightarrow$ k = 3

Hệ số của y³ trong khai triển (1 + y)⁵ là $C_5^3$.1³ = 10

Hệ số của x³y³ trong khai triển nhị thức (1 + x)⁵(1 + y)⁵ là: 10.10 = 100

Đáp án đúng là: B

Khai triển nhị thức

(2x + y)⁵ = $C_5^0$(2x)⁵(y)⁰ – $C_5^1$(2x)⁴(y)¹ + $C_5^2$(2x)³(y)² – $C_5^3$(2x)²(y)³ + $C_5^4$(2x)(y)⁴ – $C_5^5$(2x)⁰(y)⁵ = 32x⁵ – 80x⁴y + 80x³y² – 40x²y³ + 10xy⁴ – y⁵ .

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x, b = – 2y vào trong công thức ta có

$C_2^k$(x)^{4 – k} .(– 2y)^k = (– 2)^k$C_2^k$ (x)^{4 – k} .(y)^k

Số hạng cần tìm chứa x²y² nên ta có x^{4 – k}y^k = x²y²

Vậy k = 2 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (– 2)²$C_4^2$ = 24.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\left( {x + \frac{8}{{{x^2}}}} \right)^5}$

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x, b = $\frac{8}{{{x^2}}}$  vào trong công thức ta có

$C_5^k$(x)^{5 – k} ${\left( {\frac{8}{{{x^2}}}} \right)^k}$= 8^k$C_5^k$(x)^{5 – k} ${\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}$= 8^k$C_5^k$ x^{5 - 3k}

Số hạng cần tìm chứa x²  nên ta có 5 – 3k = 2

Do đó k = 1 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (8)¹$C_5^1$ = 40.

Vậy số hạn cần tìm là 40x².

Đáp án đúng là: D

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x², b = – 2x vào trong công thức ta có

$C_5^k$(x²)^{5 – k} .(– 2x)^k = (– 2)^k$C_5^k$ (x)^{10 – k}

Số hạng cần tìm chứa x⁶ nên ta có 10 – k = 6

Do đó k = 4 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (– 2)⁴$C_5^4$ = 80.

Đáp án đúng là: B

Khai triển nhị thức

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 2x², b = $\frac{1}{x}$  vào trong công thức ta có

$C_n^k$(2x²)^{n – k} ${\left( {\frac{1}{x}} \right)^k}$= (2)^n-k$C_n^k$(x)^{2n –3k}

Vì hệ số của số hạng chứa x³ là ${2^2}C_n^1$ nên ta có k = 1

Số hạng cần tìm chứa x³ nên ta có 2n – 3.1 = 3

Vậy n = 3 thoả mãn bài toán

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = – 3x vào trong công thức ta có

$C_n^k$(1)^{n – k} .(– 3x)^k = (– 3)^k(1)^n-k$C_n^k$(x)^k

Số hạng cần tìm chứa x³ nên ta có k = 3

Vậy k = 3 thoả mãn bài toán

Vì hệ số chứa x³ bằng – 270 nên

(– 3)³(1)^n-3$C_n^3$ = – 270 $\Leftrightarrow$ $C_n^3 = 10$

$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!(n - 3)!}} = \frac{{n(n - 1)(n - 2)\left( {n - 3} \right)...1}}{{6(n - 3)\left( {n - 4} \right)...1}} = 10$

$\Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 10$ $\Leftrightarrow$ n³ – 3n² + 2n – 60 = 0 $\Leftrightarrow$ (n – 5)(n² + 2n + 12) = 0$\Leftrightarrow n = 5$

Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn bài toán

Đáp án đúng là: B

Ta có: $A_n^2 - C_n^2 = 10$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10$

$\Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)...1}}{{(n - 2)...1}} - \frac{{n(n - 1)(n - 2)...1}}{{2.(n - 2)...1}} = 10$

$\Leftrightarrow$ n(n – 1) – $\frac{1}{2}$ n(n – 1) = 10

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2}$n(n – 1) = 10 $\Leftrightarrow$ n² – n – 20 = 0$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4\,\end{array} \right.$.

Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn

Nhị thức ${\left( {{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^n}$

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x², b = $- \frac{1}{x}$ vào trong công thức ta có

$C_5^k$(x²)^{5 – k} .${\left( { - \frac{1}{x}} \right)^k}$ = ( –1)^k$C_5^k$(x)^{10 – 3k}

Số hạng cần tìm chứa x⁴  nên ta có 10 – 3k = 4

Vậy k = 2 thoả mãn bài toán

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: ( –1)²$C_5^2$ = 10

Đáp án đúng là: D

Ta có $C_n^1 + C_n^2 = 10$

$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} + \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10$

$\Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)...1}}{{(n - 1)...1}} + \frac{{n(n - 1)(n - 2)...1}}{{2(n - 2)...1}} = 10$

$\Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10$

$\Leftrightarrow$n² + n – 20 = 0$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n = - 5\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện n = 4 thoả mãn bài toán.

Nhị thức ${\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}$

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a =x³, b = $\frac{2}{{{x^2}}}$ vào trong công thức ta có

$C_4^k$(x³)^{4 – k} .${\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k}$  = (2)^k$C_4^k$ (x)^{12 – 5k}

Số hạng cần tìm hệ số chứa x²  nên ta có 12 – 5k = 2

Do đó k = 2 thoả mãn bài toán

Vậy hệ số của số hạng chứa x² trong khai triển là: (2)²$C_4^2$ = 24.