17 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 (có đáp án): Hệ phương trình có cấu trúc đặc biệt

Câu 1:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x - y = 9 \\ x . y = 90 \end{matrix}$ có nghiệm là:

A. $(15; 6), (6; 15)$

B. $(- 15; - 6), (- 6; - 15)$

C. $(15; 6), (- 6; - 15)$

D. $(15; 6), (6; 15), (- 15; - 6), (- 6; - 15)$

Xem đáp án

- Từ phương trình đầu suy ra y=x−9

- Thay vào phương trình dưới ta được:

$x (x - 9) = 90 \Leftrightarrow x^{2} - 9 x - 90 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 15 \Rightarrow y = 6 \\ x = - 6 \Rightarrow y = - 15 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Để hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y = S \\ x . y = P \end{matrix}$ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

A. $S^{2} - P < 0$

B. $S^{2} - P \geq 0$

C. $S^{2} - 4 P < 0$

D. $S^{2} - P \geq 0$

Xem đáp án

- Ta có: x, y là nghiệm phương trình $X^{2} - S X + P = 0$

- Hệ phương trình có nghiệm khi $∆ = S^{2} - 4 P \geq 0$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x . y + x + y = 11 \\ x^{2} y + x y^{2} = 30 \end{matrix}$

A. Có 2 nghiệm (2; 3) và (1; 5)

B. Có 2 nghiệm (2; 1) và (3; 5)

C. Có 1 nghiệm là (5; 6)

D. Có 4 nghiệm (2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1).

Xem đáp án

Hệ phương trình tương đương $\{\begin{matrix} S + P = 11 \\ S P = 30 \end{matrix} \Rightarrow S (11 - S) = 30$

Khi S=5 thì P=6 nên x, y là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y = 5 \\ x y = 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 2; y = 3 \\ x = 3; y = 2 \end{matrix}$ suy ra hệ có nghiệm (2; 3), (3; 2)

Khi S=6 thì P=5 nên x, y là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y = 6 \\ x y = 5 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 1; y = 5 \\ x = 5; y = 1 \end{matrix}$ suy ra hệ có nghiệm (1; 5), (5; 1).

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1 \\ y = x + m \end{matrix}$ có đúng một nghiệm khi và chỉ khi:

A. $m = \sqrt{2}$

B. $m = - \sqrt{2}$

C. $m = \sqrt{2}$ hoặc $m = - \sqrt{2}$

D. m tùy ý

Xem đáp án

Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi phương trình (∗) có đúng 1 nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

Hệ phương trình: $\{\begin{matrix} |x + 1| + y = 0 \\ 2 x - y = 5 \end{matrix}$ có nghiệm là:

A. x = −3; y = 2.

B. x = 2; y = −1.

C. x = 4; y = −3.

D. x = −4; y = 3.

Xem đáp án

Ta có: $2 x - y = 5 \Rightarrow y = 2 x - 5$

Thay $y = 2 x - 5$ vào phương trình dưới ta được: $|x - 1| + 2 x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 5 - 2 x \geq 0 \\ [\begin{matrix} x - 1 = 5 - 2 x \\ x - 1 = - 5 + 2 x \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \leq \frac{5}{2} \\ [\begin{matrix} 3 x = 6 \\ - x = - 4 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \leq \frac{5}{2} \\ [\begin{matrix} x = 2 \\ x = 4 \end{matrix} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = - 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y + x y = 5 \\ x^{2} + y^{2} = 5 \end{matrix}$ có nghiệm là:

A. $(2; 1)$

B. $(1; 2)$

C. $(2; 1), (1; 2)$

D. Vô nghiệm

Xem đáp án

Khi đó: x, y là nghiệm của phương trình $X^{2} - 3 X + 2 = 0 \Leftrightarrow X = 1; X = 2$

Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y + x y = 11 \\ x^{2} + y^{2} + 3 (x + y) = 28 \end{matrix}$ có nghiệm là:

A. (3; 2), (2; 3).

B. (−3; −7), (−7; −3).

C. (3; 2); (−3; −7).

D. (3; 2), (2; 3), (−3; −7), (−7; −3).

Xem đáp án

Khi S = 5 ⇒ P = 6 thì x, y là nghiệm của phương trình

Khi S = −10 ⇒ P = 21 thì x, y là nghiệm của phương trình

Vậy hệ có nghiệm (3; 2), (2; 3), (−3; −7), (−7; −3).

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x^{3} = 3 x + 8 y \\ y^{3} = 3 y + 8 x \end{matrix}$ có nghiệm là (x; y) với $x \neq 0$ và $y \neq 0$ là:

A. $(- \sqrt{11}; - \sqrt{11}); (\sqrt{11}; \sqrt{11})$

B. $(0; \sqrt{11}); (\sqrt{11}; 0)$

C. $(- \sqrt{11}, 0)$

D. $(\sqrt{11}, 0)$

Xem đáp án

Khi $x = y$ thì $x^{3} = 11 x = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = \pm \sqrt{11}$

Khi $x^{2} + x y + y^{2} + 5 = 0$ $\Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2} y)}^{2} + \frac{3}{4} y^{2} + 5 = 0$ (phương trình vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm $(- \sqrt{11}; - \sqrt{11}); (\sqrt{11}; \sqrt{11})$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x^{2} + y = 6 \\ y^{2} + x = 6 \end{matrix}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 6

B. 4

C. 2

D. 0

Xem đáp án

- Khi $x = y$ thì $x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 3; x = 2$

- Khi $y = 1 - x$ thì $x^{2} + 1 - x - 6 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - x - 5 = 0$ $\Leftrightarrow x_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (−3; −3), (2; 2), $(\frac{1 + \sqrt{21}}{2}; \frac{1 - \sqrt{21}}{2})$ và $(\frac{1 - \sqrt{21}}{2}; \frac{1 + \sqrt{21}}{2})$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10:

Cho hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y = 4 \\ x^{2} + y^{2} = m^{2} \end{matrix}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hệ phương trình có nghiệm với mọi m.

B. Hệ phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow |m| \geq 8$

C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow |m| \geq 2$

D. Hệ phương trình luôn vô nghiệm

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{matrix} x + y = 4 \\ x^{2} + y^{2} = m^{2} \end{matrix}$ $\Rightarrow 4^{2} - 2 P = m^{2} \Leftrightarrow P = \frac{16 - m^{2}}{2}$

$\Rightarrow S^{2} - 4 P = 16 - 2 (16 - m^{2}) = 2 m^{2} - 16 \geq 0 \Leftrightarrow |m| \geq \sqrt{8}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

Các cặp nghiệm $(x; y)$ của hệ phương trình: $\{\begin{matrix} |x| + 2 |y| = 3 \\ 7 x + 5 y = 2 \end{matrix}$ là:

A. $(1; 1) h a y (\frac{11}{19}; \frac{23}{19})$

B. $(- 1; - 1) h a y (- \frac{11}{19}; \frac{23}{19})$

C. $(1; - 1) h a y (- \frac{11}{19}; \frac{23}{19})$

D. $(- 1; 1) h a y (\frac{11}{19}; \frac{23}{19})$

Xem đáp án

Khi $x, y \geq 0$ thì hệ trở thành $\{\begin{matrix} x + 2 y = 3 \\ 7 x + 5 y = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow x = - \frac{11}{9}; y = \frac{19}{9} (l o ạ i)$

Khi $x, y < 0$ thì hệ trở thành $\{\begin{matrix} - x - 2 y = 3 \\ 7 x + 5 y = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow x = \frac{19}{9}; y = \frac{- 23}{9} (l o ạ i)$

Khi $x \geq 0, y < 0$ thì hệ trở thành $\{\begin{matrix} x - 2 y = 3 \\ 7 x + 5 y = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow x = 1; y = - 1 (n h ậ n)$

Khi $x < 0, y \geq 0$ thì hệ trở thành $\{\begin{matrix} - x + 2 y = 3 \\ 7 x + 5 y = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow x = - \frac{11}{9}; y = \frac{23}{9} (n h ậ n)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x^{3} - 3 x = y^{3} - 3 y \\ x^{6} + y^{6} = 27 \end{matrix}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Khi x = y thì $x^{6} + x^{6} = 27 \Leftrightarrow x^{6} = \frac{27}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}}$

Do đó hệ có nghiệm $(\pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}}; \pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}})$

$\Leftrightarrow 3 {(x y)}^{3} + 27 x y = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x y = 0 \\ {(x y)}^{2} = - 9 \end{matrix} (v ô l ý)$

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} 2 x + \sqrt{y - 1} = 1 \\ 2 y + \sqrt{x - 1} = 1 \end{matrix}$ có bao nhiêu nghiệm ?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Điều kiện: $x, y \geq 1$

Ta có: $\{\begin{matrix} 2 x + \sqrt{y - 1} = 1 \\ 2 y + \sqrt{x - 1} = 1 \end{matrix}$ $\Rightarrow 2 x - 2 y + \sqrt{y - 1} - \sqrt{x - 1} = 0$

$\Rightarrow 2 (x - y) + \frac{y - x}{\sqrt{y - 1} + \sqrt{x - 1}} = 0$ $\Rightarrow (x - y) (2 - \frac{1}{\sqrt{y - 1} + \sqrt{x - 1}}) = 0$

Khi $x = y$ thì $2 x + \sqrt{x + 1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 1 - 2 x$ (vô nghiệm do $x \geq 1$ thì $V T \geq 0, V P < 0$ )

Khi $\sqrt{y - 1} + \sqrt{x - 1} = \frac{1}{2}$ thì $2 x + 2 y + \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow x + y = \frac{3}{4}$ (vô nghiệm vì $x, y \geq 1$ )

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

Cho hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y = m + 1 \\ x^{2} y + y^{2} x = 2 m^{2} - m - 3 \end{matrix}$ và các mệnh đề :

(I) Hệ có vô số nghiệm khi $m = - 1$

(II) Hệ có nghiệm khi $m > \frac{3}{2}$

(III) Hệ có nghiệm với mọi m .

Các mệnh đề nào đúng ?

A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).

C. Chỉ (III)

D. Chỉ (I) và (III).

Xem đáp án

Khi $m = - 1$ thì hệ trở thành $\{\begin{matrix} x + y = 0 \\ x^{2} y + y^{2} x = 0 \end{matrix} \Rightarrow$ Hệ có vô số nghiệm => (I) đúng

Ta có: $\{\begin{matrix} x + y = m + 1 \\ x^{2} y + y^{2} x = 2 m^{2} - m - 3 \end{matrix} \Rightarrow x y (m + 1) = 2 m^{2} - m - 3$

$\Rightarrow x y = 2 m - 3$

$\Rightarrow S^{2} - 4 P = {(m + 1)}^{2} - 4 (2 m - 3) = m^{2} - 6 m + 13 > 0, \forall m$ đúng

Đáp án cần chọn là: D

Câu 15:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} 2 x y + y^{2} - 4 x - 3 y + 2 = 0 \\ x y + 3 y^{2} - 2 x - 14 y + 16 = 0 \end{matrix}$ có nghiệm là:

A. $x \in R, y = 2; x = - 1, y = 3$

B. $x = 3, y = - 1; x = 2, y = - \frac{1}{2}$

C. $x = 5, y = 2; x = 1, y = 3; x = \frac{1}{2}, y = 2$

D. $x \in R, y = 2; x = 1, y = 3$

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{matrix} 2 x y + y^{2} - 4 x - 3 y + 2 = 0 \\ x y + 3 y^{2} - 2 x - 14 y + 16 = 0 \end{matrix}$ $\Rightarrow \{\begin{matrix} 2 x y + y^{2} - 4 x - 3 y + 2 = 0 \\ 2 x y + 6 y^{2} - 4 x - 28 y + 32 = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow 5 y^{2} - 25 y + 30 = 0 \Rightarrow y = 3; y = 2$

Khi $y = 3$ thì phương trình đầu trở thành $6 x + 9 - 4 x - 9 + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$

Khi $y = 2$ thì phương trình đầu trở thành $4 x + 4 - 4 x - 6 + 2 = 0$

$\Leftrightarrow 0 x = 0 \Leftrightarrow x \in R$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 16:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} 2 x^{2} + x y - y^{2} = 0 \\ x^{2} - x y - y^{2} + 3 x + 7 y + 3 = 0 \end{matrix}$ . Các cặp nghiệm (x; y) sao cho x, y đều là các số nguyên là:

A. (2; −2), (3; −3).

B. (−2; 2), (−3; 3).

C. (1; −1), (3; −3).

D. (−1; 1), (−4; 4).

Xem đáp án

Phương trình $(1) \Leftrightarrow (x + y) (2 x - y) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - y \\ 2 x = y \end{matrix}$

Trường hợp 1: $x = - y$ thay vào (2) ta được $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \end{matrix}$

Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là (1; −1), (3; −3).

Trường hợp 2: $2 x = y$ thay vào (2) ta được $- 5 x^{2} + 17 x + 3 = 0$ phương trình này không có nghiệm nguyên.

Vậy các cặp nghiệm (x; y) sao cho x, y đều là các số nguyên là (1; −1) và (3; −3).

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17:

Nếu $(x; y)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix} x^{2} - 4 x y + y^{2} = 1 \\ y - 4 x y = 2 \end{matrix}$ thì xy bằng:

A. 4

B. -4

C. 1

D. Không tồn tại giá trị của xy

Xem đáp án

Trừ vế cho vế phương trình (1) cho (2) ta được:

$x^{2} + y^{2} - y = - 1 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - y + 1 = 0$

Ta có:

$\{\begin{matrix} x^{2} \geq 0, \forall x \\ y^{2} - y + 1 = {(y - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0, \forall y \end{matrix}$ $\Rightarrow x^{2} + y^{2} - y + 1 > 0, \forall x, y$

Do đó phương trình $x^{2} + y^{2} - y + 1 = 0$ vô nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị của xy

Đáp án cần chọn là: D

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Toán 10 (có đáp án): Hệ phương trình có cấu trúc đặc biệt

Trắc nghiệm Toán 10 (có đáp án): Hệ phương trình có cấu trúc đặc biệt

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm