IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 10 Toán Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án

  • 538 lượt thi

  • 15 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 5; 12; 13.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi của tam giác là: \(p = \frac{{5 + 12 + 13}}{2} = 15\)

Diện tích của tam giác là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - 5} \right)\left( {p - 12} \right)\left( {p - 13} \right)} = \sqrt {15\left( {15 - 5} \right)\left( {15 - 12} \right)\left( {15 - 13} \right)} = 30\).


Câu 2:

Tam giác ABC có \(AC = 3\sqrt 3 \), AB = 3, BC = 6. Tính số đo góc B

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABC có AC = 3 căn bậc hai 3, AB = 3, BC = 6. Tính số đo góc B (ảnh 1)

Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có: \[\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\]

\[ \Leftrightarrow \cos B = \frac{{B{C^2} + A{B^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{{{6^2} + {3^2} - {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.6.3}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat B = 60^\circ \].


Câu 3:

Tam giác ABC có các góc \(\widehat A = 75^\circ ,\widehat B = 45^\circ \). Tính tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}}\).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC có các góc A = 75 độ, góc B = 45 độ. Tính ti số AB/AC (ảnh 1)

Ta có: \[\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b} = \frac{{\sin C}}{{\sin B}} = \frac{{\sin (180^\circ - 75^\circ - 45^\circ )}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\].


Câu 4:

Tam giác ABC có các góc \(\widehat B = 30^\circ ,\widehat C = 45^\circ \), AB = 3. Tính cạnh AC.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC có các góc B = 30 độ, góc C = 45 độ, AB = 3. Tính cạnh AC (ảnh 1)

Ta có: \[\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow AC = b = \frac{{c.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{3.\sin {{30}^0}}}{{\sin {{45}^0}}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].


Câu 5:

Tam giác ABC có tổng hai góc BC bằng 135° và độ dài cạnh BC bằng a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có góc A = 180° – 135° = 45°

\[\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{a}{{2\sin 45^\circ }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].


Câu 6:

Tam giác ABC A = 120° khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Côsin tại đỉnh A ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

\[ \Rightarrow \]a2 = b2 + c2 – 2bc.cos120° = b2 + c2 + bc


Câu 7:

Trong tam giác ABC, hệ thức nào sau đây sai?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm số sin ta có: \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = \frac{c}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }} = 2R\]

Suy ra:

+ \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} \Rightarrow a = \frac{{b.\sin A}}{{\sin B}}\]. Do đó đáp án A đúng.

+ \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }} \Rightarrow \sin C = \frac{{c.\sin A}}{a}\]. Do đó đáp án B đúng.

+ \[\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R.\sin A\].Do đó đáp án C đúng.

+ \[\frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = 2R \Rightarrow \frac{b}{2} = R\sin B \Rightarrow \frac{b}{{2{\mathop{\rm cosB}\nolimits} }} = R\tan B\]. Do đó đáp án D sai.


Câu 8:

Tính diện tích tam giác ABC biết A = 60°; b = 10; c = 20.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức : \[S = \frac{1}{2}.bc.\sin A\]\[ = \frac{1}{2}.10.20.\sin 60^\circ \]\[ = 50\sqrt 3 \].


Câu 9:

Cho tam giác ABC a = 2, \[b = \sqrt 6 \], \[c = \sqrt 3 + 1\]. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có : \[\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\sqrt 6 }^2} + {{(\sqrt 3 + 1)}^2} - {2^2}}}{{2.\sqrt 6 .(\sqrt 3 + 1)}}\]\[ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Rightarrow \]\(\widehat A\) = 45°.

Do đó : \[R = \frac{a}{{2\sin A}}\]\[ = \frac{2}{{2.\sin 45^\circ }}\]\[ = \sqrt 2 \].


Câu 10:

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm; BC = 10 cm. Đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính r bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = 8\)(cm).

Diện tích tam giác ABC là:\(S = \frac{1}{2}AB.AC = 24\left( {c{m^2}} \right)\)

Nửa chu vi \(p = \frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12\) (cm)

Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{24}}{{12}} = 2\)(cm).


Câu 11:

Hình bình hành ABCD có AB = a; \(BC = a\sqrt 2 \)\(\widehat {BAD} = 45^\circ \). Khi đó hình bình hành có diện tích bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành ABCD có AB = a; BC = a căn bậc hai 2 và góc BAD = 45 độ (ảnh 1)

Gọi BH là đường cao của hình bình hành ABCD.

Tam giác BAH vuông tại H, góc \(\widehat {BAH} = \widehat {BAD} = 45^\circ \),

Ta có BH = AB.sin45° = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Diện tích hình bình hành ABCD là: \(S = BH.AD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = {a^2}\)(đvdt).


Câu 12:

Tính góc C của tam giác ABC biết a ≠ b và a(a2 – c2) = b(b2 – c2).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: a(a2 – c2) = b(b2 – c2)

a3 – b3 – c2(a – b) = 0

(a – b)(a2 + ab + b2) – c2(a – b) = 0

(a – b)(a2 + ab + b2 – c2) = 0

a2 + ab + b2 – c2 = 0 (Vì a ≠ b nên a – b ≠ 0)

a2 + b2 – c2 = – ab

Ta có \[\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{ - ab}}{{2ab}}\]\[ = - \frac{1}{2}\].

Do đó: \(\widehat C\) = 120°.


Câu 13:

Tam giác ABC có các cạnh a; b; c thỏa mãn điều kiện:

(a + b + c)(a + b – c) = 3ab. Khi đó số đo của góc C là.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác ABC ta luôn có: c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Hệ thức (a + b + c)(a + b – c) = 3ab

(a + b)2 – c2 = 3ab

c2 = a2 + b2 – ab

Suy ra: – 2.cosC = – 1 \( \Rightarrow \cos C = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat C = 60^\circ \).


Câu 14:

Tam giác ABCAB = 7; AC = 5 và \(\cos \left( {B + C} \right) = - \frac{1}{5}\). Tính BC

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\)

\( \Rightarrow \cos \left( {B + C} \right) = \cos \left( {180^\circ - A} \right) = - cosA = - \frac{1}{5}\)

\( \Rightarrow \cos A = \frac{1}{5}\)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác, ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\mathop{\rm cosA}\nolimits} } = \sqrt {{7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{1}{5}} = 2\sqrt {15} \).


Câu 15:

Hình bình hành có hai cạnh là 35, một đường chéo bằng 5. Tìm độ dài đường chéo còn lại.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Hình bình hành có hai cạnh là 3 và 5, một đường chéo bằng 5. (ảnh 1)

Gọi hình bình hành là ABCD, AD = 3, AB = 5

Gọi α là góc đối diện với đường chéo có độ dài 5

Ta có: \(\cos \alpha = \frac{{{3^2} + {5^2} - {5^2}}}{{2.3.5}} = \frac{3}{{10}}\)

α là góc nhọn

\(\alpha = \widehat {ADC}\)

AC = 5

\(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} - 2.AD.AB.\cos \widehat {BAD} = A{D^2} + A{B^2} + 2.AD.AB.\cos \widehat {ADC}\)

(vì \(\widehat {BAD}\)\(\widehat {ADC}\) bù nhau\( \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = - \cos \widehat {ADC}\))

BD2 = 32 + 52 + 2.3.5.\(\frac{3}{{10}}\) = 43

BD = \(\sqrt {43} \).


Bắt đầu thi ngay