Đề thi Học kì 1 Toán 10 - Bộ sách KNTT - Đề 01
-
1182 lượt thi
-
38 câu hỏi
-
45 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào không phải là mệnh đề?
Đáp án đúng là: B
+ “2 là số nguyên âm” là một mệnh đề vì đây là một khẳng định sai.
+ “Bạn có thích học môn Toán không?” không là một mệnh đề vì đây là câu nghi vấn, không phải là một khẳng định có tính đúng sai.
+ “13 là số nguyên tố” là một mệnh đề vì đây là một khẳng định đúng.
+ “Số 15 chia hết cho 2” là một mệnh đề vì đây là một khẳng định sai.
Câu 2:
Đáp án đúng là: C
Quan sát các tập hợp ở các đáp án đã cho, ta thấy chỉ có tập A3 = {4; 5} là tập con của tập A, do các phần tử của A3 đều là phần tử của A.
Câu 3:
Cho các tập hợp A = {x ∈ ℝ| – 5 ≤ x < 1} và B = {x ∈ ℝ| – 3 < x ≤ 3}. Tìm tập hợp A ∪ B.
Đáp án đúng là: B
Ta có: A = {x ∈ ℝ| – 5 ≤ x < 1} = [– 5; 1)
B = {x ∈ ℝ| – 3 < x ≤ 3} = (– 3; 3]
A ∪ B = {x ∈ A hoặc x ∈ B} = [– 5; 1) ∪ (– 3; 3] = [– 5; 3].
Câu 4:
Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2 \le 0}\\{2x - 3y + 2 > 0}\end{array}} \right.\].
Đáp án đúng là: C
Lần lượt thay các cặp số vào các bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho, cặp số nào không thỏa mãn hệ thì cặp số đó không là nghiệm của hệ đã cho.
+) Với cặp số (0; 0), thay vào hệ bất phương trình ta được \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 + 0 - 2 \le 0}\\{2.0 - 3.0 + 2 > 0}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \le 0\\2 > 0\end{array} \right.\) (luôn đúng). Vậy (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Với cặp số (1; 1), thay vào hệ bất phương trình ta được \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 1 - 2 \le 0}\\{2.1 - 3.1 + 2 > 0}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le 0\\1 > 0\end{array} \right.\] (luôn đúng). Vậy (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Với cặp số (– 1; 1), thay vào hệ bất phương trình ta được \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( { - 1} \right) + 1 - 2 \le 0}\\{2.\left( { - 1} \right) - 3.1 + 2 > 0}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \le 0\\ - 3 > 0\end{array} \right.\) (vô lý). Vậy (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+) Với cặp số (– 1; – 1), thay vào hệ bất phương trình ta được \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) - 2 \le 0}\\{2.\left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 1} \right) + 2 > 0}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 \le 0\\3 > 0\end{array} \right.\] (luôn đúng). Vậy (– 1; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Câu 5:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: B
Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.
Do đó, trong các đẳng thức đã cho, đẳng thức đúng là: cos (180° – α) = – cos α.
Câu 6:
Tam giác ABC có BC = 1, AC = 3, \(\widehat C = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh AB.
Đáp án đúng là: D
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
AB2 = AC2 + BC2 – 2 . AC. BC . cos C = 32 + 12 – 2 . 3 . 1 . cos 60° = 7.
Suy ra, AB = \(\sqrt 7 \).
Câu 7:
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình vẽ bên. Vectơ \(\overrightarrow {OB} \) cùng phương với vectơ nào sau đây?
Đáp án đúng là: C
Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Ta có, giá của vectơ \(\overrightarrow {OB} \) là đường thẳng OB hay chính là đường thẳng BE.
Giá của vectơ \(\overrightarrow {OC} \) là đường thẳng OC hay chính là đường thẳng FC.
Giá của vectơ \(\overrightarrow {BC} \) là đường thẳng BC.
Giá của vectơ \(\overrightarrow {BE} \) là đường thẳng BE.
Giá của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là đường thẳng OA hay chính là đường thẳng AD.
Do đó, từ hình vẽ ta thấy giá của vectơ \(\overrightarrow {OB} \) và giá của vectơ \(\overrightarrow {BE} \) trùng nhau, vậy hai vectơ \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương.
Câu 8:
Mệnh đề nào sau đây sai:
Đáp án đúng là: C
+) Theo quy tắc ba điểm, với ba điểm M, N, P ta có: \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} \). Do đó đáp án A đúng.
+) Theo quy tắc hiệu, với ba điểm M, N, P ta có: \(\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} \). Do đó đáp án B đúng.
+) Ta có: \(\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow {MN} \) (tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm). Do đó đáp án D đúng.
Vậy đáp án C sai.
Câu 9:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 cm, AD = 3 cm. Tính \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right|\).
Đáp án đúng là: A
Suy ra, \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).
Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông ABD, ta có:
BD2 = AB2 + AD2 = 42 + 32 = 25, suy ra BD = 5 (cm).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\)= 5 cm.
Câu 10:
Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M bất kỳ. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: C
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Với điểm M bất kỳ, theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)\)
\( = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {MG} \).
Vậy \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).
Câu 11:
Cho ba điểm A, B, C như hình vẽ:
Đẳng thức nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: D
Từ hình vẽ ta thấy, MB = 3MA, MB = \(\frac{3}{4}\)AB, AB = 4MA.
Vì điểm M thuộc đường thẳng AB và M nằm giữa A và B nên ta có:
+ Vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MB} \) ngược hướng.
+ Vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng.
+ Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {MA} \) ngược hướng.
Từ đó ta có: \(\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA} \); \(\overrightarrow {MB} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AB} = - 4\overrightarrow {MA} \). Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 12:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j = - 2\left( {1;\,\,0} \right) + \left( {0;\,\,1} \right) = \left( { - 2.1 + 0; - 2.0 + 1} \right) = \left( { - 2;1} \right)\).
Vậy \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1} \right)\).
Câu 13:
Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
Đáp án đúng là: C
+ Ta có vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;0} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {0;1} \right)\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox và Oy nên hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó chúng không cùng phương.
+ Ta có: \(\frac{3}{6} \ne \frac{{ - 2}}{4}\), do đó hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {6;4} \right)\) không cùng phương.
+ Ta có: \(\frac{2}{{ - 6}} = \frac{3}{{ - 9}}\left( { = \frac{{ - 1}}{3}} \right)\), do đó hai vectơ \(\overrightarrow i = \left( {2;3} \right)\) và \(\overrightarrow j = \left( { - 6; - 9} \right)\) cùng phương.
+ Ta có: \(\frac{2}{{ - 6}} \ne \frac{3}{9}\), do đó hai vectơ \(\overrightarrow c = \left( {2;3} \right)\) và \(\overrightarrow d = \left( { - 6;9} \right)\) không cùng phương.
Câu 14:
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vectơ-không. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng là: B
Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không bằng tích độ dài hai vectơ với côsin góc giữa hai vectơ đó.
Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Câu 15:
Miền nghiệm của bất phương trình 2x – y + 6 ≤ 0 được biểu diễn là miền màu xanh trong hình ảnh nào sau đây ?
Đáp án đúng là: A
– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: 2x – y + 6 = 0 đi qua hai điểm A(1; 8) và B(0; 6).
– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 2.0 – 0 + 6 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ Δ (kể cả bờ), không chứa gốc tọa độ O (miền màu xanh trong hình ảnh).
Câu 16:
Cho tam giác ABC cân tại A có \[\widehat A = 120^\circ \]. Khi đó sin B bằng:
Đáp án đúng là: A
Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \).
Do đó \(\sin B = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).
Câu 17:
Cho góc α với 0° < α < 180°. Tính giá trị của cosα, biết \(\tan \alpha = - 2\sqrt 2 \) .
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)
\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{{{{\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 1}} = \frac{1}{9}\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{3}\).
Vì 0° < α < 180° ⇒ sinα > 0 mà \(\tan \alpha = - 2\sqrt 2 \)< 0 nên cosα < 0.
Do đó \(\cos \alpha = - \frac{1}{3}\).
Câu 18:
Cho hình thoi ABCD. Vectơ – không có điểm đầu là A thì nó có điểm cuối là:
Đáp án đúng là: A
Cho hình thoi ABCD. Vectơ – không có điểm đầu là A thì nó có điểm cuối là điểm A.
Ta có: \(\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \).
Câu 19:
Cho tam giác ABC đều. Tính góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác ABC đều có: \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60^\circ \).
Câu 20:
Cho tam giác ABC có: AB = 3, BC = 4, AC = 5. Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \).
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác ABC có:
AB2 + BC2 = 32 + 42 = 25
AC2 = 52 = 25
Do đó, AC2 = AB2 + BC2
Vậy tam giác ABC vuông tại B (theo định lí Pythagore đảo).
⇒ BA ⊥ BC
\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 0\).Câu 21:
Đáp án đúng là: A
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.2.cos30^\circ = \sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 1\).
Câu 22:
Một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn \(60\sqrt 3 \) N tác động vào điểm M làm vật di chuyển theo phương nằm ngang từ M đến điểm N cách M một khoảng 10 m. Biết góc giữa \(\overrightarrow F \) và phương thẳng đứng là 30°. Tính công sinh bởi lực F.
Đáp án đúng là: D
Góc giữa lực \(\overrightarrow F \) là hướng dịch chuyển của vật là: \(\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {MN} } \right) = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Công sinh bởi lực F là: \[A = \left| {\overrightarrow F } \right|.MN.cos60^\circ = 60\sqrt 3 .10.\frac{1}{2} = 300\sqrt 3 \] (J).
Câu 23:
Cho giá trị gần đúng của \(\sqrt 3 \) là 1,73. Sai số tuyệt đối của số gần đúng 1,73 là:
Đáp án đúng là: C
Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được: \(\sqrt 3 = 1,732050808....\)
Ta có: ∆1,73 = |1,73 – \(\sqrt 3 \)| < |1,73 – 1,732| = 0,002.
Do đó sai số tuyệt đối của số gần đúng 1,73 không vượt quá 0,002.
Câu 24:
Viết số quy tròn của số gần đúng b biết \(\overline b \) = 12 409,12 ± 0,5.
Đáp án đúng là: D
Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,5 là hàng phần mười nên ta quy tròn b đến hàng đơn vị.
Vậy số quy tròn của b là 12 409.
Câu 25:
Tính số trung bình của mẫu số liệu sau:
2; 5; 8; 7; 10; 20; 11.
Đáp án đúng là: B
Ta có cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là n = 7.
Số trung bình của mẫu số liệu là:
\(\overline x = \frac{{2 + 5 + 8 + 7 + 10 + 20 + 11}}{7} = 9\).
Câu 26:
Tìm trung vị của mẫu số liệu sau:
0; 1; 2; 3; 5; 9; 10.
Đáp án đúng là: A
Vì cỡ mẫu là n = 7 nên trung vị của mẫu số liệu trên là số liệu thứ 4. Tức là
Me = 3.
Câu 27:
Số lượng học sinh đăng kí thi môn cầu lông các lớp từ lớp 6 đến lớp 9 được thống kê trong bảng dưới đây:
Lớp |
6 |
7 |
8 |
9 |
Số lượng |
20 |
25 |
22 |
15 |
Tìm mốt trong mẫu số liệu trên.
Đáp án đúng là: B
Ta thấy số lượng học sinh đăng kí thi môn cầu lông của lớp 7 lớn hơn số lượng học sinh đăng kí thi môn cầu lông ở các lớp 6, 8, 9.
Vậy M0 = 7.
Câu 28:
Cho mẫu số liệu sau:
5; 2; 9; 10; 15; 5; 20.
Tứ phân vị Q1, Q2, Q3 của mẫu số liệu trên lần lượt là:
Đáp án đúng là: B
Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:
2; 5; 5; 9; 10; 15; 20.
+ Vì cỡ mẫu là n = 7 nên giá trị tứ phân vị thứ hai là số liệu thứ 4 nên Q2 = 9.
+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 5; 5.
Do đó Q1 = 5.
+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 15; 20.
Do đó Q3 = 15.
Vậy tứ phân vị Q1, Q2, Q3 của mẫu số liệu trên lần lượt là 5; 9; 15.
Câu 29:
Cho mẫu số liệu sau:
12; 5; 8; 11; 6; 20; 22.
Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.
Đáp án đúng là: B
Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:
5; 6; 8; 11; 12; 20; 22.
+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu trên là 5.
+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu trên là 22.
Ta có: R = 22 – 5 = 17.
Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 17.
Câu 31:
Cho mẫu số liệu sau:
5; 6; 12; 2; 5; 17; 23; 15; 10.
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
Đáp án đúng là: D
Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:
2; 5; 5; 6; 10; 12; 15; 17; 23.
+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 5; 5; 6.
Do đó Q1 = \(\frac{{5 + 5}}{2} = 5\).
+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 12; 15; 17; 23.
Do đó Q3 = \(\frac{{15 + 17}}{2} = 16\).
Ta có: ∆Q = Q3 – Q1 = 16 – 5 = 11
Do đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 11.
Câu 32:
Cho mẫu số liệu sau:
10; 3; 6; 9; 15.
Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án đúng là: B
Số trung bình của mẫu số liệu trên là:
\(\overline x = \frac{{10 + 3 + 6 + 9 + 15}}{5} = 8,6\).
Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:
S2 = \(\frac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]\)
Thay số ta có:
S2 = \[\frac{1}{5}\][(10 – 8,6)2 + (3 – 8,6)2 + (6 – 8,6)2 + (9 – 8,6)2 + (15 – 8,6)2 ] = 16,24.
Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 16,24.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S = \(\sqrt {{S^2}} \)= \(\sqrt {16,24} \) ≈ 4,03.
Câu 33:
Cho tam giác đều ABC cạnh 4. Vectơ \( - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \) có độ dài là.
Đáp án đúng là: A
Do tam giác ABC đều cạnh 4 nên: AB = AC = BC = 4
⇒ \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC\)= 4
Ta có: \(\left| { - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right| = \left| { - \frac{1}{2}} \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \frac{1}{2}.4 = 2\).
Câu 34:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN. Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {AN} \) qua các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: CD = 2CN và N nằm trên cạnh CD nên \(\overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} \).
Mà ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CD} \).
Do đó, \(\overrightarrow {CN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
Câu 35:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 1), B(1; 10) và điểm C(m; 2m – 17). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB vuông góc với OC là
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;\,\,9} \right)\), \(\overrightarrow {OC} = \left( {m;\,\,2m - 17} \right)\).
AB ⊥ OC \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \, \bot \,\overrightarrow {OC} \, \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} = 0\)
⇔ (– 1) . m + 9(2m – 17) = 0
⇔ 17m – 153 = 0
⇔ m = 9.
Vậy với m = 9 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 36:
Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30'. Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Gọi CH là chiều cao của ngọn núi.
Theo đề ta có: \(AB = 70\,\,m,\,\widehat {CAH} = 30^\circ ,\,\widehat {ABC} = 90^\circ + 15^\circ 30' = 105,5^\circ \).
Suy ra \(\widehat {BAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \);
\(\widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {ABC} - \widehat {BAC} = 180^\circ - 105,5^\circ - 60^\circ = 14,5^\circ \).
Theo định lý sin trong tam giác ABC, ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}} \Leftrightarrow AC = \frac{{AB.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{70.\sin 105,5^\circ }}{{\sin 14,5^\circ }} \approx 269,41\,m\).
∆ACH vuông tại H nên ta có:
\(CH = {\rm{A}}C.\,\sin \widehat {CAH} = 269,41.\sin 30^\circ \approx 134,71\,m\).
Vậy ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất xấp xỉ bằng 134,71 m.
Câu 37:
Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm N, M, P sao cho \(BN = \frac{a}{3},CM = \frac{{2a}}{3},AP = x\left( {0 < x < a} \right)\). Tìm giá trị của x theo a để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.
Do BN = \(\frac{a}{3}\) và BC = a nên BN = \(\frac{1}{3}\)BC.
Mà N thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Do đó, \(\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).
Ta có \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Lại có: CM = \(\frac{{2a}}{3}\), mà AC = a và M thuộc cạnh AC nên AM = \(a - \frac{{2a}}{3} = \frac{a}{3} = \frac{1}{3}AC\).
Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Và AP = x (0 < x < a), AB = a, P thuộc cạnh AB nên AP = \(\frac{x}{a}AB\).
Suy ra \(\overrightarrow {AP} = \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} \).
Do đó, ta có: \(\overrightarrow {PM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} \).
Khi đó, \(AN \bot PM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} \cdot \overrightarrow {PM} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{x}{a}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{2x}}{{3a}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{x}{{3a}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right)\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{{2x}}{{3a}}.{a^2} + \frac{1}{9}.{a^2} = 0\) (do AB = AC = a)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right) \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{9} - \frac{x}{{3a}}} \right) \cdot a \cdot a \cdot cos60^\circ - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2a - 3x}}{{9a}} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{2xa}}{3} + \frac{{{a^2}}}{9} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2a - 3x} \right)a}}{{18}} - \frac{{12xa}}{{18}} + \frac{{2{a^2}}}{{18}} = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2{a^2} - 3xa - 12xa + 2{a^2}}}{{18}} = 0\)
⇔ 4a2 – 15xa = 0
⇔ a(4a – 15x) = 0
⇔ 4a – 15x = 0 (do a > 0).
⇔ \(x = \frac{{4a}}{{15}}\).
Vậy \(x = \frac{{4a}}{{15}}\) thì đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng PM.
Câu 38:
Một cảnh sát giao thông ghi lại tốc độ (đơn vị: km/h) của 25 xe qua trạm như sau:
20 |
41 |
41 |
80 |
40 |
52 |
52 |
52 |
60 |
55 |
60 |
60 |
62 |
60 |
55 |
60 |
55 |
90 |
70 |
35 |
40 |
30 |
30 |
80 |
25 |
|
Tìm các số liệu bất thường (nếu có) trong mẫu số liệu trên.
Sắp xếp các số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:
20 25 30 30 35 40 40 41 41 52 52 52 55 55 55 60 60 60 60 60 62 70 80 80 90
Mẫu số liệu có n = 25, do đó trung vị là số liệu thứ 13 trong dãy nên Me = 55.
Từ đó suy ra tứ phân vị thứ hai là Q2 = 55.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu gồm 12 số liệu sau:
20 25 30 30 35 40 40 41 41 52 52 52
Do đó, Q1 = (40 + 40) : 2 = 40.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu gồm 12 số liệu sau:
55 55 60 60 60 60 60 62 70 80 80 90
Do đó, Q3 = (60 + 60) : 2 = 60.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ∆Q = Q3 – Q1 = 60 – 40 = 20.
Ta có: Q1 – 1,5 . ∆Q = 40 – 1,5 . 20 = 10; Q3 + 1,5 . ∆Q = 60 + 1,5 . 20 = 90.
Trong mẫu số liệu đã cho không có giá trị nào bé hơn 10 và lớn hơn 90 nên mẫu số liệu không có giá trị bất thường.