Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có đáp án
Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có đáp án
-
474 lượt thi
-
15 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
\[{d_1}\]: x – 2y + 2 = 0 và \[{d_2}\]: – 3x + 6y – 10 = 0
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 2 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\ - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \] \[\left\{ \begin{array}{l}3x - 6y + 6 = 0\\ - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \]–4 = 0 (vô lý)
Vậy suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm
\[ \Rightarrow \]Hai đường thẳng song song.Câu 2:
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:
\[{d_1}\]: 3x – 2y – 3 = 0 và \[{d_2}\]: 6x – 2y – 8 = 0
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[{d_1}\]: 3x – 2y – 3 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} \) = (3; – 2) và \[{d_2}\]: 6x – 2y – 8 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} \) = (6; – 2).
Ta có: \(\frac{3}{6} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 2}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương.
Do đó đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.
Ta lại có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.6 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) = 22 \ne 0\) nên d1 và d2 không vuông góc với nhau.
Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.
Câu 3:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình \[{d_1}\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_1} = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{4}} \right)\]
Phương trình \[{d_2}\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_2} = \left( {3;4} \right)\]
Ta có: \(\frac{{\frac{1}{3}}}{3} \ne \frac{{ - \frac{1}{4}}}{4}\)\[{\vec n_1};{\vec n_2}\] không cùng phương và \[{\vec n_1} \cdot {\vec n_2}\] = \[\frac{1}{3}\].3 + \[\left( { - \frac{1}{4}} \right)\].4 = 0. Như vậy hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng vuông góc với nhau, suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Câu 4:
Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau:
\[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + mt\\y = - 2 - 2t\end{array} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 8 + \left( {4 + m} \right)t'\end{array} \right.\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + mt\\y = - 2 - 2t\end{array} \right.\]có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {m; - 2} \right)\);
Đường thẳng \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 8 + \left( {4 + m} \right)t'\end{array} \right.\] có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;4 + m} \right)\).
Để hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau thì \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương và \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 2}}{{4 + m}}\\m.\left( { - 2} \right) + 2.\left( {4 + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m - 4 \ne 0\\ - 2m + 8 + 2m = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2 + 2\sqrt 2 ,m \ne - 2 - 2\sqrt 2 \\8 = 0\end{array} \right.\)
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\]có VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (4; – 4) = 4.(1; – 1). Suy ra VTCP của đường thẳng d cũng là vectơ có tọa độ (1; – 1).
Với t = 1 thì \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4.1 = 1\\y = 2 - 4.1 = - 2\end{array} \right.\]. Do đó đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1; – 2).
Vì vậy đường thẳng d trùng với đường thẳng \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = - 2 - t'\end{array} \right.\].
Câu 6:
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng: \[{d_1}\]: 2x – y – 3 = 0 và \[{d_2}\]: x – 3y + 8 = 0
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x - y - 3 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {2; - 1} \right)\\{d_2}:x - 3y + 8 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {1; - 3} \right)\end{array} \right.\] với \[{\vec n_1}\]; \[{\vec n_2}\] lần lượt là các vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[{d_1}\]; \[{d_2}\].
Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng, ta có:
\[\cos \varphi = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]\[ \Rightarrow \varphi = {45^ \circ }.\]
Câu 7:
Tìm giá trị âm của m để góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \[{d_1}\]: 7x – 3y + 2 = 0 và \[{d_2}\]: 2x + 5my +1 = 0 bằng 45°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:7x - 3y + 2 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {7; - 3} \right)\\{d_2}:2x + 5my + 1 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {2;5m} \right)\end{array} \right.\] với \({\vec n_1}\); \({\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\); \({d_2}\).
Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:
\(\cos 45^\circ = \frac{{\left| {7.2 + \left( { - 3} \right).5m} \right|}}{{\sqrt {49 + 9} .\sqrt {4 + 25{m^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {14 - 15m} \right|}}{{\sqrt {58} .\sqrt {4 + 25{m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {14 - 15m} \right| = \sqrt {58} .\sqrt {4 + 25{m^2}} \)
⇔ 2(196 – 420m + 225m2) = 58(4 + 25m2)
⇔ 392 – 840m + 450m2 = 232 + 1450m2
⇔ 1000m2 + 840m – 160 = 0
⇔ m = \(\frac{4}{{25}}\) hoặc m = – 1
Vậy giá trị âm của m thỏa mãn điều kiện bài toán là m = – 1.
Câu 8:
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng:
\[{d_1}:2x + 2\sqrt 3 y + 4 = 0\]và \({d_2}\): y – 4 = 0
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x + 2\sqrt 3 y + 4 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\\{d_2}:y - 4 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\]với \({\vec n_1}\); \({\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\); \({d_2}\).
Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có:
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {1 + 3} .\sqrt {0 + 1} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi = {30^ \circ }.\)
Câu 9:
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng: \[{d_1}:x + \sqrt 3 y + 6 = 0\] và \({d_2}\): x + 1 = 0
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x + \sqrt 3 y + 6 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_1} = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\\{d_2}:x + 1 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_2} = \left( {1;0} \right)\end{array} \right.\]với \({\vec n_1}\); \({\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\); \({d_2}\).
Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có:
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {1 + 0} \right|}}{{\sqrt {1 + 3} .\sqrt {1 + 0} }} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \varphi = {60^ \circ }.\)
Câu 10:
Góc tạo bởi hai đường thẳng nào dưới đây bằng 90°
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Đường thẳng \({d_1}\): 6x – 5y + 4 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6; - 5} \right)\)
Đường thẳng\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;5} \right)\) nên VTCP là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;6} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 5.6 + 6.\left( { - 5} \right) = 0\). Do đó d1 ⊥ d2 hay góc giữa hai đường thẳng bằng 90°.
+) Đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 6t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 6;5} \right)\)
Đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;5} \right)\)
Ta có: \(\frac{{ - 6}}{5} = \frac{{ - 6}}{5}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương. Do đó hai đường thẳng d1 song song hoặc trùng d2. Do đó góc giữa hai đường thẳng bằng 0°.
+) Đường thẳng d1: x – 2y + 4 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\)
Đường thẳng d2: y + 1 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;1} \right)\)
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta được:
\[{\rm{cos}}\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.0 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\]
⇒ (d1 ; d2) ≈ 26°34’.
+) Đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 3;2} \right)\) nên VTCP là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3} \right)\)
Đường thẳng d2: 3x + 2y – 4 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;2} \right)\)
Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta được:
\[{\rm{cos}}\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}\]
⇒ (d1 ; d2) ≈ 22°37’.
Câu 11:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta \): ax + by + c = 0. Khoảng cách từ điểm M đến \(\Delta \) được tính bằng công thức:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\]
Câu 12:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:
\[d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.( - 1) - 4.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \frac{{10}}{5} = \]2.
Câu 13:
Khoảng cách từ giao điểm của đường thẳng x – 3y + 4 = 0 và 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng \[\Delta \]: 3x + y + 3 = 0 bằng:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+) Giao điểm của hai đường thẳng:
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\], vậy điểm A (–1; 1) là giao điểm của hai đường thẳng
+) Khoảng cách từ A đến \[\Delta \]: 3x + y + 3 = 0 :
\[d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.( - 1) + 1.1 + 3} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\]
Câu 14:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2); B(0; 3) và C(4; 0). Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
+) Viết phương trình đường thẳng qua B, C
Ta có: B (0; 3); C (4; 0) ⇒ \[\overrightarrow {BC} \]= (4; – 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.
Ta chọn \[\overrightarrow n \](3; 4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC (\[\overrightarrow n \bot \overrightarrow {BC} \]), suy ra phương trình đường thẳng BC có phương trình: 3.(x – 0) + 4(y – 3) = 0 hay 3x + 4y – 12 = 0
+) Độ dài đường cao kẻ từ A
Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:
\[{h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.2 - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \frac{1}{5}.\]
Câu 15:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3; 1). Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Viết phương trình đường thẳng BC; độ dài BC
- Ta có: B(1; 5); C(3; 1) ⇒ \[\overrightarrow {BC} \]= (2; – 4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC
Ta chọn \[\overrightarrow n \]= (2; 1) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC (\[\overrightarrow n \bot \overrightarrow {BC} \]), ta viết được phương trình đường thẳng qua BC như sau: 2.(x – 1) + 1.(y – 5) = 0 hay
2x + y – 7 = 0
- Độ dài BC: BC = \[\sqrt {{{(3 - 1)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {20} \]\[ = 2\sqrt 5 \]
+) Tính độ dài đường cao kẻ từ A:
Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ A đến phương trình đường thẳng qua BC, ta có:
\[{h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.( - 4) - 7} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{5}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \]
+) Diện tích tam giác ABC:
\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.{h_A}.BC\] = \[\frac{1}{2}.\sqrt 5 .2\sqrt 5 \] = 5.