Hướng dẫn giải

+) Ta có: a² + 2ab + b² = a² . b⁰ + 2 . a¹ . b¹ + b² . a⁰

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ . b⁰ + 3 . a² . b¹ + 3 . a¹ . b² + a⁰ . b³

Quan sát vế phải của các đẳng thức, ta thấy số mũ của a giảm dần từ số mũ của biểu thức vế trái đến 0, còn số mũ của b tăng dần từ 0 đến số mũ của biểu thức ở vế trái.

+) Sau khi học bài Nhị thức Newton này, ta có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển (a + b)ⁿ khi n ∈ {4; 5}.

Hướng dẫn giải

Quan sát sơ đồ, ta thấy tổng các tích nhận được: a.c + a.d + b.c + b.d.

Khai triển của tích (a + b) . (c + d) = a . (c + d) + b . (c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d.

Vậy tổng của các tích nhận được bằng với khai triển của tích (a + b) . (c + d).

Hướng dẫn giải

Theo quy tắc xây dựng sơ đồ hình cây như HĐ1, ta điền được các biểu thức trong sơ đồ hình cây của tích (a + b) . (a + b) . (a + b) như sau:

Quan sát sơ đồ trên ta thấy, có 1 tích bằng a³, có 3 tích bằng a²b, có 3 tích bằng ab² và có 1 tích bằng b³.

Ở lớp 8, ta đã biết, khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Vậy hệ số của khai triển đúng bằng hệ số các tích nhận được.

Hướng dẫn giải

+ Để có đơn thức a⁴ thì phải có 4 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng với a⁴ trong tổng là: \(C_4^0\) = 1, hay có 1 đơn thức a⁴.

+ Để có đơn thức a³b thì phải có 3 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a³b trong tổng là: \(C_4^1\) = 4.

+ Để có đơn thức a²b² thì phải có 2 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a²b² trong tổng là: \(C_4^2\) = 6.

+ Để có đơn thức ab³ thì phải có 1 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với ab³ trong tổng là: \(C_4^3\) = 4.

+ Để có đơn thức b⁴ thì phải có 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với b⁴ trong tổng là: \(C_4^4\) = 1, hay có 1 đơn thức b⁴.

Hướng dẫn giải

Thay a = x và b = – 2 trong công thức khai triển của (a + b)⁴, ta được:

(x – 2)⁴ = x⁴ + 4x³ . (– 2) + 6x² . (–2)² + 4x . (– 2)³ + (– 2)⁴ 

= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

Hướng dẫn giải

+ Để có đơn thức a⁵ thì phải có 5 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng với a⁵ trong tổng là: \(C_5^0\) = 1, hay có 1 đơn thức a⁵.

+ Để có đơn thức a⁴b thì phải có 4 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a⁴b trong tổng là: \(C_5^1\) = 5.

+ Để có đơn thức a³b² thì phải có 3 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a³b² trong tổng là: \(C_5^2\) = 10.

+ Để có đơn thức a²b³ thì phải có 2 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a²b³ trong tổng là: \(C_5^3\) = 10.

+ Để có đơn thức ab⁴ thì phải có 1 nhân tử a, 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với ab⁴ là: \(C_5^4\) = 5.

+ Để có đơn thức b⁵ thì phải có 5 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với b⁵ trong tổng là: \(C_5^5\) = 1.

Hướng dẫn giải

Thay a = 3x và b = – 2 trong công thức khai triển của (a + b)⁵, ta được:

(3x – 2)⁵ 

= (3x)⁵ + 5. (3x)⁴. (–2) + 10 . (3x)³ . (– 2)² + 10 . (3x)² . (– 2)³ + 5 . (3x) . (– 2)⁴ + (– 2)⁵

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32.

Hướng dẫn giải

a) Khai triển: (1 + 0,05)⁴ = 1⁴ + 4 . 1³ . 0,05 + 6 . 1² . 0,05² + 4 . 1 . 0,05³ + 0,05⁴.

1,05⁴ ≈ 1⁴ + 4 . 1³ . 0,05 = 1 + 0,2 = 1,2.

Vậy giá trị gần đúng của khai triển 1,05⁴ là 1,2.

b) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được: 1,05⁴ ≈ 1,21550625

Ta có: ∆ ≈ |1,21550625 – 1,2| = 0,01550625 < 0,02

Sai số tuyệt đối là 0,02.

Hướng dẫn giải

Áp dụng các công thức khai triển của (a + b)⁴  và (a + b)⁵, ta như sau:

a) (x – 3)⁴ = x⁴ + 4 . x³ . (–3) + 6 . x² . (–3)² + 4 . x . (–3)³ + (–3)⁴

= x⁴ –12x³ + 54x² – 108x + 81.

b) (3x – 2y)⁴ = (3x)⁴ + 4 . (3x)³ . (– 2y) + 6 . (3x)² . (– 2y)² + 4 . (3x) . (– 2y)³ + (– 2y)⁴

= 81x⁴ – 216x³y + 216x²y² – 96xy³ + 16y⁴.

c) (x + 5)⁴ + (x – 5)⁴ 

= (x⁴ + 4x³ . 5 + 6x² . 5² + 4x . 5³ + 5⁴) + [x⁴ + 4x³ . (– 5) + 6x² . (– 5)² + 4x . (– 5)³ + (– 5)⁴]

= (x⁴ + x⁴) + (20x³ – 20x³) + (150x² + 150x²) + (500x – 500x) + (625 + 625)

= 2x⁴ + 300x² + 1250.

d) (x – 2y)⁵ = x⁵ + 5x⁴ . (– 2y) + 10x³ . (– 2y)² + 10x² . (– 2y)³ + 5x . (2y)⁴ + (– 2y)⁵

= x⁵ – 10x⁴y + 40x³y² – 80x²y³ + 80xy⁴ – 32y⁵.

Hướng dẫn giải

Số hạng chứa x⁴ là: 5 . (3x)⁴ . (– 1) = – 405x⁴.

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển của (3x – 1)⁵ là: – 405.

Hướng dẫn giải

Ta có: \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} + {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {10.3^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5.3.{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\)

                            \( = {3^5} + {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}.2 + {10.3^2}.2.\sqrt 2 + 5.3.4 + 4\sqrt 2 \)

\({\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} + {5.3^4}.\left( { - \sqrt 2 } \right) + {10.3^3}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + {10.3^2}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + 5.3.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}\)

       \( = {3^5} - {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}.2 - {10.3^2}.2.\sqrt 2 + 5.3.4 - 4\sqrt 2 \)

Suy ra: \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}\)\( = 2\left( {{{5.3}^4}.\sqrt 2 + {{10.3}^2}.2\sqrt 2 + 4\sqrt 2 } \right)\)

\( = 2.589\sqrt 2 = 1178\sqrt 2 \)\( = 0 + 1178\sqrt 2 \).

Vậy biểu diễn \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với a, b là các số nguyên ta được \(0 + 1178\sqrt 2 \).

Hướng dẫn giải

a) Ta có khai triển:

(1 + 0,02)⁵ = 1⁵ + 5 . 1⁴ . (0,02) + 10 . 1³ . (0,02)² + 10 . 1² . (0,02)³ + 5 . 1 . (0,02)⁴ + (0,02)⁵

 Do đó: 1,02⁵ = (1 + 0,02)⁵  ≈ 1⁵ + 5 . 1⁴ . 0,02 = 1,1.

b) Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được: 1,02⁵ ≈ 1,104080803

Ta có: ∆ ≈ |1,104080803 – 1,1| = 0,004080803 < 0,005

Sai số tuyệt đối là 0,005.

Hướng dẫn giải

a) Để tính số dân năm sau, ta lấy số dân năm trước cộng với số dân tăng hằng năm (Số dân tăng hằng năm là r% của số dân năm trước).

Số dân của tỉnh đó sau 1 năm là: 

\({P_1} = 800 + 800.r\% = 800\left( {1 + r\% } \right) = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1}\) (nghìn người).

Số dân của tỉnh đó sau 2 năm là:  

\({P_2} = {P_1} + {P_1}.r\% \)\( = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1} + 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1}.\frac{r}{{100}}\)\( = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1}\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right) = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^2}\) (nghìn người).

Do đó, công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là: \({P_5} = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^5}\) (nghìn người).

b) Với r = 1,5, suy ra \(\frac{r}{{100}} = \frac{{1,5}}{{100}} = 0,015\).

Ta có khai triển:

(1 + 0,015)⁵ = 1⁵ + 5 . 1⁴ . 0,015 + 10 . 1³ . (0,015)² + 10 . 1² . (0,015)³ + 5 . 1 . (0,015)⁴ + (0,015)⁵.

Do đó: (1 + 0,015)⁵ ≈ 1⁵ + 5 . 1⁴ . 0,015 = 1,075.

Số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là:

P₅ = 800 . (1 + 0,015)⁵ ≈ 800 . 1,075 = 860 (nghìn người)

Vậy số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa xấp xỉ khoảng 860 nghìn người.