Phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là phương trình đường tròn tâm I(30; 40), bán kính R = 50 là: (x − 30)² + (y − 40)² = 50².

Ta có: $\overrightarrow{IM}$  = (x – a; y – b)

Khi đó IM = $\left|\overrightarrow{IM}\right|=\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng Oxy là IM = $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4 là: (x – 0)² + (y – 0)² = 4² hay x² + y² = 16.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4 là: x² + y² = 16.

b) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; − 2), bán kính R = 8 là: (x − 2)² + (y + 2)² = 8² hay (x − 2)² + (y + 2)² = 64.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; − 2), bán kính R = 8 là: (x − 2)² + (y + 2)² = 64.

c) Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C). Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 (a² + b² – c > 0).

Vì (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3) nên ta có hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}{1}^2+4^2-2a-8b+c=0\\ 0^2+1^2-2b+c=0\\ 4^2+3^2-8a-6b+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-2a-8b+c=-17\\ -2b+c=-1\\ -8a-6b+c=-25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=2\\ c=3\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3) là: x² + y² − 4x − 4y + 3 = 0.

a) Phương trình đã cho có dạng: x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 1; b = 2; c = −20.

Ta có: a² + b² − c = 1² + 2² + 20 = 25 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R =  $\sqrt{25}$ = 5.

b) Phương trình có dạng (x − a)² + (y − b)² = R² với a = −5; b = −1; R = 11.

c) Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 2; b = 4; c = 5.

Ta có: a² + b² − c  = 2² + 4² – 5 = 15 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = $\sqrt{15}$

d) Ta có: 2x² + 2y² + 6x + 8y – 2 = 0 ⇔ x² + y² + 3x + 4y – 1 = 0.

Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a =  $-\frac{3}{2}$; b = −2; c = −1.

Ta có: a² + b² − c  = $( -\frac{3}{2})$ + (−2)² + 1 =  $\frac{29}{4}$ > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I\left(-\frac{3}{2};-2\right)$  và bán kính R =  $\frac{\sqrt{29}}{2}$.

Phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là phương trình đường tròn tâm I(30; 40), bán kính R = 50 là:

(x − 30)² + (y − 40)² = 50² hay (x − 30)² + (y − 40)² = 2 500

Vậy phương trình biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi có thể phun tới là (x − 30)² + (y − 40)² = 2 500.

a) Đường tròn (C): (x – 13)² + (y − 4)² = 16 có tâm I(13; 4) và bán kính R = $\sqrt{16}$ = 4.

Vậy đường tròn (C) có tâm I(13; 4) và bán kính R = $\sqrt{16}$ = 4.

b) Thay tọa độ điểm A(11; 4) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

 (11 − 13)² + (4 − 4)² = 4 < 16 

⇒ Diễn viên A đứng trong vùng sáng bên trong đường tròn (C).

Do vậy diễn viên A đang được đèn chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm B(8; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được:

 (8 − 13)² + (5 − 4)² = 26 >16 

⇒ Diễn viên B đứng ngoài vùng sáng bên trong đường tròn (C).

⇒ Diễn viên B không được chiếu sáng.

Thay tọa độ điểm C(15; 5) vào phương trình đường tròn (C), ta được: 

(15 − 13)² + (5 − 4)² = 5 < 16 ⇒ Diễn viên C đứng trong vùng sáng bên trong đường tròn (C).

⇒ Diễn viên C đang được chiếu sáng.

Vậy diễn viên A và C đang được đèn chiếu sáng, diễn viên B không được chiếu sáng.

a) Ta có : $\overrightarrow{M_{0}M}$  = (x – x₀; y – y₀);  $\overrightarrow{M_{0}I}$  = (a – x₀; b – y₀)

b) Ta có: .$\overrightarrow{M_{0}M}.\overrightarrow{M_{0}I}$ = (x – x₀).(a – x₀) + (y – y₀).(b – y₀)

c) Phương trình  $\overrightarrow{M_{0}M}. \overrightarrow{M_{0}I}$ = 0 tức là

(x – x₀).(a – x₀) + (y – y₀).(b – y₀) = 0 ⇔ (a – x₀).(x – x₀) + (b – y₀).(y – y₀) = 0 (1)

Mặt khác:

Vì Δ là tiếp tuyến với (C) tại M₀ nên M₀I ⊥ Δ

⇒ Đường thẳng Δ nhận $\overrightarrow{M_{0}I}$  = (a – x₀; b – y₀) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó, đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{M_{0}I}$ = (a – x₀; b – y₀) có phương trình là: (a – x₀).(x – x₀) + (b – y₀).(y – y₀) = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{M_{0}M}. \overrightarrow{M_{0}I}$ = 0 là phương trình đường thẳng Δ.

Vậy phương trình $\overrightarrow{M_{0}M}. \overrightarrow{M_{0}I}$ = 0 là phương trình của đường thẳng Δ.

Phương trình đường tròn (C): x² + y² − 2x − 4y − 20 = 0 có dạng: x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 1; b = 2; c = −20.

Ta có: a² + b² − c = 1² + 2² + 20 = 25.

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(4; 6) là:

(1 − 4)(x − 4) + (2 − 6)(y − 6) = 0 ⇔ −3x − 4y + 36 = 0 ⇔ 3x + 4y – 36 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x² + y² − 2x − 4y − 20 = 0 tại điểm A(4; 6) là 3x + 4y – 36 = 0.

Đường tròn (C): (x − 1)² + (y − 1)² = $\frac{169}{144}$ có tâm I(1; 1).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là:

(1 − $\frac{17}{12}$  )(x − $\frac{17}{12}$ ) + (1 − 2)(y − 2) = 0 ⇔ $\frac{5}{12}$ x + y − $\frac{373}{144}$  = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M là $\frac{5}{12}$ x + y − $\frac{373}{144}$  = 0.

a)  Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 3, b = 4, c = 21

Ta có: a² + b² − c = 3² + 4² – 21 = 4 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và có bán kính R = $\sqrt{4}$ = 2.

b) Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 1, b = −2, c = 2.

Ta có: a² + b² − c = 1² + (−2)² – 2 = 3 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; −2) và có bán kính R = $\sqrt{3}$

c) Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = $\frac{3}{2}$ , b = −1, c = 7.

Ta có: a² + b² − c = ${( \frac{3}{2})}^2$ + (−1)²  −7 = −3,75 < 0.

Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

d) Ta có: 2x² + 2y² + x + y – 1 = 0 ⇔ x² + y² + $\frac{1}{2}$ x + $\frac{1}{2}$ y −$\frac{1}{2}$  = 0.

Phương trình có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = $-\frac{1}{4}$, b = $-\frac{1}{4}$, c = $-\frac{1}{2}$

Ta có: a² + b² − c = ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+ {\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+ \frac{1}{2}=\frac{5}{8}$ > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I\left(-\frac{1}{4};-\frac{1}{4}\right)$  và bán kính R = $\frac{\sqrt{10}}{4}$ .

a) Phương trình đường tròn (C) tâm I(1; 5) và bán kính r = 4 là: (x − 1)² + (y − 5)² = 16.

b) Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của MN ⇒ $I\left(\frac{3+9}{2};\frac{-1+3}{2}\right)$  ⇒ I(6; 1)

Ta có: $\overrightarrow{MI}$  = (6−3; 1+1) = (3; 2)

R = MI = $\left|\overrightarrow{MI}\right|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}.$

Phương trình đường tròn (C) tâm I(6; 1) và bán kính R = $\sqrt{13}$ là: (x − 6)² + (y − 1)² = 13.

c) Gọi ∆ là đường thẳng 5x − 12y + 11= 0.

Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 5x − 12y + 11 = 0 nên bán kính R = d(I, ∆)

d(I, ∆) = $\frac{|5.2-12.1+11|}{\sqrt{5^2+{(-12)}^2}}$  = $\frac{9}{13}$ .

⇒ R = d(I, ∆) = $\frac{9}{13}$  .

Phương tròn đường tròn (C) tâm I(2; 1) và bán kính R = $\frac{9}{13}$ là: (x − 2)² + (y − 1)² =  $\frac{81}{169}$

d) Ta có $\overrightarrow{AB}$  = (4−1; −5+2) = (3; −3) ⇒ AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{3^2+{(-3)}^2}=3\sqrt{2}$.

Vì (C) có tâm A(1; −2) và đi qua điểm B(4; −5) nên bán kính R = AB = $3\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn (C) tâm A(1; −2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$ là: (x − 1)² + (y + 2)² = 18.

a) Phương trình đường tròn có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0.

Thay tọa độ các đỉnh M(2; 5), N(1; 2), P(5, 4) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:  

$\left\{\begin{array}{c}{2}^2+5^2-4a-10b+c=0\\ 1^2+2^2-2a-4b+c=0\\ 5^2+4^2-10a-8b+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-4a-10b+c=-29\\ -2a-4b+c=-5\\ -10a-8b+c=-41\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=3\\ b=3\\ c=13\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là: x² + y² − 6x − 6y + 13 = 0.

b) Phương trình đường tròn có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0.

Thay tọa độ các đỉnh A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}{6}^2-12b+c=0\\ 7^2+7^2-14a-14b+c=0\\ 8^2-16a+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-12b+c=-36\\ -14a-14b+c=-98\\ -16a+c=-64\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=4\\ b=3\\ c=0\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:  x² + y² − 8x − 6y = 0.

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Ta có: R = d(I; Ox) = d(I; Oy) ⇒ R = a = b ⇒ (C) có tâm I(a; a) và bán kính R = a.

⇒ Phương trình đường tròn (C) là: (x − a)² + (y − a)² = a².

Ta có A(4; 2) ∈ (C) nên (4 − a)² + (2 − a)² = a²

⇔ 16 − 8a + a² + 4 − 4a + a² = a²

⇔ a² − 12a + 20 = 0 ⇔ a = 10 hoặc a = 2

Với a = 10 thì ta có phương trình đường tròn (C): (x − 10)² + (y − 10)² = 100.

Với a = 2 thì ta có phương trình đường tròn (C): (x − 2)² + (y − 2)² = 4.

Vậy (C): (x − 10)² + (y − 10)² = 100 hoặc (C): (x − 2)² + (y − 2)² = 4.

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn (C), ta có: 

4² + 6² − 2.4 − 4.6 – 20 = 0

⇒ M ∈ (C).

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b) Đường tròn (C) x² + y² − 2x − 4y – 20 = 0 có a = 1; b = 2; c = −20.

Khi đó R = $\sqrt{1^2+2^2+20}$  = 5 và tâm I(1; 2).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là: 

(1 − 4)(x − 4) + (2 − 6)(y − 6) = 0 ⇔ −3x − 4y + 36 = 0 ⇔ 3x + 4y – 36 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6) là 3x + 4y – 36 = 0.

c) Tiếp tuyến Δ của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng

Δ: 4x + 3y + c = 0 (với c ≠ 2022)

Ta có: d(I; Δ) $\frac{\left|4.1+3.2+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}$ = R ⇔  5 ⇔ $\frac{\left|10+c\right|}{5}$ = 5 ⇔ |10 + c| = 25 ⇔ c = 15 hoặc c = −35.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 là: Δ: 4x + 3y + 15 = 0 hoặc Δ: 4x + 3y – 35 = 0.

a) Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Ta có phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 8,4 : 2 = 4,2 là: 

x² + y² = 17,64.

Vậy phương trình mô phỏng cái cổng là: x² + y² = 17,64 (y ≥ 0)

b) Chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m tương ứng với x = 2,2 và chiều cao của cổng tại x = 2,2 phải lớn hơn 2,6 thì xe tải mới đi qua được.

Thay x = 2,2 vào phương trình đường tròn, ta được 2,2² + y² = 17,64

⇒ y² = 17,64 – 2,2² = 12,8

Vì y > 0 nên y = $\sqrt{12,8}$ ≈ 3,6 > 2,6.

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.