a) Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có ba chữ số tức là chọn ngẫu nhiên một số trong các số 100; 101; 102; 103; ...; 997; 998; 999.

Khi đó, các kết quả có thể của phép thử là: {100; 101; 102; 103; ...; 997; 998; 999}.

Do đó, ta có không gian mẫu của phép thử là: Ω = {100; 101; 102; 103; ...; 997; 998; 999}.

Vậy Ω = {100; 101; 102; 103; ...; 997; 998; 999}.

b) Ta có, số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 999 – 100 + 1 = 900.

Gọi B là biến cố “Số được chọn là lập phương của một số nguyên”.

Ta có: 1³ = 1;      2³ = 8;      3³ = 27;   4³ = 64;   5³ = 125;

          6³ = 216;  7³ = 343;  8³ = 512;  9³ = 729; 10³ = 10000.

Suy ra, các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 125; 216; 343; 512; 729. 

⇒ B = {125; 216; 343; 512; 729} 

⇒ n(B) = 5

⇒ Xác suất của B là: P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{5}{900}=\frac{1}{180}$.

Vậy xác suất biến cố “Số được chọn là lập phương của một số nguyên” là $\frac{1}{180}$.

a) Khi gieo một đồng xu cân đối, đồng chất thì có hai kết quả có thể là đồng xu xuất hiện mặt sấp (S) hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa (N).

Khi đó, gieo bốn đồng xu cân đối và đồng chất thì có 2.2.2.2 = 2⁴ = 16 kết quả có thể.

⇒ n(Ω) = 2⁴ = 16.

Gọi A là biến cố “Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp”.

Khi đó A không xảy ra khi xuất hiện nhiều nhất hai mặt sấp, tức là xuất hiện ít nhất hai mặt ngửa.

Do đó biến cố đối của biến cố A là $\overline{A}$: “Xuất hiện ít nhất hai mặt ngửa”.

Ta có các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: NSSS; SNSS; SSNS; SSSN; SSSS

⇒ A = {NSSS; SNSS; SSNS; SSSN; SSSS}

⇒ n(A) = 5

⇒ P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{5}{16}$.

Vậy xác suất của biến cố “Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp” là $\frac{5}{16}$.

b) Gọi B là biến cố “Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa”.

Khi đó B không xảy ra khi không xuất hiện mặt ngửa nào.

⇒ Biến cố đối của biến cố B là $\overline{B}$ “Không xuất hiện mặt ngửa nào”.

⇒ $\overline{B}$ = {SSSS} ⇒ n($\overline{B}$) = 1.

⇒ P($\overline{B}$) =$\frac{n\left(\overline{B}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{16}$.

⇒ P(B) = 1 – P($\overline{B}$) = 1 – $\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.

Vậy tính xác suất của biến cố “Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa” là $\frac{15}{16}$.

Gieo một con xúc xắc thì có 6 kết quả có thể.

Khi gieo ba con xúc xắc thì sẽ có 6.6.6 = 6³ = 216 kết quả có thể.

⇒ n(Ω) = 6³ = 216.

a) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5”.

Vì số chấm nhỏ nhất trên mỗi xúc xắc là 1, nên tổng số chấm xuất hiện sau khi thực hiện phép thử luôn lớn hơn hoặc bằng 3.

Ta có: 3 = 1 + 1 + 1

          4 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1

⇒ A = {(1; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1)} 

⇒ n(A) = 4

⇒ Xác suất của biến cố A là: P(A) =$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{216}=\frac{1}{54}$.

Vậy xác suất của biến cố “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5” là $\frac{1}{54}$.

b) Gọi B là biến cố “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 5”.

⇒ Biến cố đối của biến cố B là : “Tích số chấm xuất hiện không chia hết cho 5”.

Để tích số chấm không chia hết cho 5 thì kết quả của phép thử không được xuất hiện mặt 5 chấm. 

Tức là mỗi con xúc xắc xuất hiện một trong các mặt {1; 2; 3; 4; 6}.

Khi đó, số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là : 5. 5. 5 =5³ = 125.

⇒ n($\overline{B}$) = 5³ = 125.

⇒ P($\overline{B}$) =$\frac{n\left(\overline{B}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{125}{216}$.

⇒ Xác suất của biến cố B là P(B) =  1 – P($\overline{B}$) = 1 – $\frac{125}{216}=\frac{91}{216}$.

Vậy xác suất “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 5” là $\frac{91}{216}$.

Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ nên có tổng số viên bi là: 4 + 3 = 7.

Hộp thứ hai chứa 5 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ nên có tổng số viên bi là: 5 + 2 = 7.

Lấy ra ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất 2 viên bi, ta có: $C_7^2$ cách chọn.

Lấy ra ngẫu nhiên từ hộp thứ hai 2 viên bi, ta có: $C_7^2$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, số cách để lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi là $C_7^2. C_7^2$= 441.

⇒ Số kết quả có thể xảy ra của phép thử trên là: n(Ω) = $C_7^2. C_7^2$= 441.

a) Gọi A là biến cố “Bốn viên bi lấy ra có cùng màu”.

Khi đó hoặc là 4 viên bi lấy ra đều là màu xanh, hoặc 4 viên bi lấy ra đều là màu đỏ.

- Nếu 4 viên bi lấy ra đều là màu xanh thì:

+ Lấy được 2 bi xanh trong 4 bi xanh của hộp thứ nhất, có $C_4^2$ cách;

+ Lấy được 2 bi xanh trong 5 bi xanh của hộp thứ 2, có $C_5^2$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có số cách để lấy ra 2 bi xanh trong hộp thứ nhất và 2 bi xanh trong hộp thứ hai là: $C_4^2. C_5^2$ cách.

- Nếu 4 viên bi lấy ra đều là màu đỏ thì:

+ Lấy được 2 bi đỏ trong 3 bi đỏ của hộp thứ nhất, có $C_3^2$ cách;

+ Lấy được 2 bi đỏ trong 2 bi đỏ của hộp thứ 2, có $C_3^2$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có số cách để lấy ra 2 bi đỏ trong hộp thứ nhất và 2 bi đỏ trong hộp thứ hai là: $C_3^2. C_3^2$ cách.

Khi đó, theo quy tắc cộng, số cách để lấy ra 4 viên bi cùng màu là:

 $C_4^2. C_5^2+ C_3^2. C_2^2$ = 63.

⇒ Số các kết quả thuận lợi cho A là 63.

⇒ n(A) = 63.

Xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{63}{441}=\frac{1}{7}$.

Vậy xác suất của biến cố “Bốn viên bi lấy ra có cùng màu” là: $\frac{1}{7}$.

b) Gọi B là biến cố “Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh”.

Ta có các trường hợp sau :

* Trường hợp 1 : 1 viên bi xanh được lấy ra từ hộp 1, còn 3 viên bi còn lại đều màu đỏ.

- Trong hộp thứ nhất:

+ Lấy được 1 viên bi xanh trong 4 bi xanh có $C_4^1$ cách.

+ Lấy được 1 viên bi đỏ trong 3 viên bi đỏ ta có: $C_3^1$ cách.

- Hộp thứ hai 2 viên bi lấy ra đều là bi đỏ, ta có $C_4^2$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có $C_4^1. C_3^1.C_2^2$ cách lấy ra 4 viên bi, trong đó có 1 viên bi xanh trong hộp thứ nhất còn lại là 3 viên bi đỏ.

* Trường hợp 2 : 1 viên bi xanh được lấy ra từ hộp 2, còn 3 viên bi còn lại đều màu đỏ.

- Trong hộp thứ nhất: 2 viên bi lấy ra đều là bi đỏ, ta có $C_3^2$ cách.

- Trong hộp thứ hai:

+ Lấy được 1 viên bi xanh trong 5 bi xanh có $C_5^1$ cách.

+ Lấy được 1 viên bi đỏ trong 2 viên bi đỏ ta có: $C_2^1$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có $C_3^2. C_5^1. C_2^1$ cách lấy ra 4 viên bi, trong đó có 1 viên bi xanh trong hộp thứ hai còn lại là 3 viên bi đỏ.

Khi đó, theo quy tắc cộng ta có $C_3^2.C_5^1.C_2^1$ = 42 cách để lấy ra 4 viên bi có đúng 1 viên bi màu xanh.

⇒ Số các kết quả thuận lợi cho B là: n(B) = 42

Xác suất của biến cố B là: P(B)  = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{42}{441}=\frac{2}{21}$.

Vậy xác suất của biến cố “Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh” là: $\frac{2}{21}$.

c) Gọi C là biến cố “Trong bốn viên lấy ra có đủ cả bi xanh và bi đỏ”.

⇒ Biến cố đối của biến cố C là $\overline{C}$: “Bốn viên bi lấy ra có cùng màu”.

Theo phần a, ta tính được P($\overline{C}$) = $\frac{1}{7}$.

⇒ Xác suất của biến cố C là: P(C) = 1 – P($\overline{C}$) = 1 – $\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$.

Vậy xác suất của biến cố “Trong bốn viên lấy ra có đủ cả bi xanh và bi đỏ” là $\frac{6}{7}$.

Có 4 tổ và mỗi tổ có 3 học sinh nên ta có tổng số học sinh là: 4.3 = 12 học sinh.

Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong 12 học sinh nên ta có $C_{12}^4$ cách chọn.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = $C_{12}^4$ = 495

a) Gọi A là biến cố “Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau”.

Khi đó, mỗi tổ ta chọn 1 học sinh trong 3 học sinh được chia vào tổ đó, ta có $C_3^1$ cách chọn.

Do có 4 tổ nên theo quy tắc nhân ta có $C_3^1. C_3^1. C_3^1. C_3^1$ cách chọn bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau.

⇒ n(A) = $C_3^1. C_3^1. C_3^1. C_3^1$ = 81.

Xác suất của biến cố A là: P(A) =$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{81}{495}=\frac{9}{55}$.

Vậy xác suất của mỗi biến cố “Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau” là $\frac{9}{55}$.

Cơ thể có kiểu gen AaBbDdEe giảm phân bình thường cho ta 2⁴ = 16 giao tử như sau:

ABDE; ABDe; ABde; Abde; AbDE; ABdE; AbDe; AbdE; aBDE; aBDe; aBde; abde; abDE; aBdE; abDe; abdE.

Khi đó, ta có không gian mẫu là :

Ω = {ABDE; ABDe; ABde; Abde; AbDE; ABdE; AbDe; AbdE; aBDE; aBDe; aBde; abde; abDE; aBdE; abDe; abdE}.

⇒ n(Ω) = 16.

Gọi A là biến cố “Giao tử được chọn mang đầy đủ các alen trội”.

Khi đó kết quả thuận lợi cho A là ABDE, tức là A = {ABDE}.

⇒ n(A) = 1.

⇒ P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}= \frac{1}{16}$.

Vậy xác suất để giao tử được chọn mang đầy đủ các alen trội là $\frac{1}{16}$.

Sắp xếp 5 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 5 một cách ngẫu nhiên để tạo thành một số tự nhiên a có 5 chữ số ta có 5! = 120 cách xếp.

⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 5! = 120.

a) Gọi A là biến cố “a là số chẵn”.

Vì a là số chẵn nên có hai cách chọn ra chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 4, ta có $C_2^1$ cách chọn;  xếp 4 chỗ còn lại có 4! cách.

Theo quy tắc nhân ta có 2.4! cách chọn để a là số chẵn.

⇒ Số phần tử thuận lợi cho biến cố A: “a là số chẵn” là: n (A) = 2.4! = 48

⇒ Xác suất của biến cố A : “a là số chẵn” là: P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}$.

Vậy xác suất của biến cố “a là số chẵn” là $\frac{2}{5}$.

b) Gọi B là biến cố “a chia hết cho 5”.

Do a chia hết cho 5 nên chữ số hàng đơn vị nhận giá trị 5 nên chỉ có 1 cách xếp hàng đơn vị. 4 chỗ còn lại có 4! cách.

Theo quy tắc nhân ta có 1.4! cách chọn để a chia hết cho 5.

⇒ Số phần tử thuận lợi cho biến cố B: “a là số chia hết cho 5” là: n(B) = 1.4! = 24.

⇒ Xác suất của biến cố B: “a là số chia hết cho 5” là: P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{24}{120}=\frac{1}{5}$.

Vậy xác suất của biến cố “a là số chia hết cho 5” là $\frac{1}{5}$.

c) Gọi C là biến cố “a ≥ 32 000”.

Để a ≥ 32 000 ta có các trường hợp sau :

Trường hợp 1: Chọn chữ số hàng chục nghìn là 4 hoặc 5 có 2 cách chọn, còn 4 vị trí còn lại có 4! cách chọn,

Theo quy tắc nhân, ta có 2. 4! = 48 (cách chọn).

Trường hợp 2: Chọn chữ số hàng chục nghìn là 3 có 1 cách chọn, thì chữ số hàng nghìn có 3 cách chọn {2, 4, 5}, 3 số còn lại có 3! cách xếp .

Theo quy tắc nhân, Có 1.3.3! = 18 cách xếp.

Khi đó, theo quy tắc cộng ta có: 48 + 18 = 66 cách xếp để a ≥ 32 000.

⇒ Số phần tử thuận lợi cho biến cố C: “a ≥ 32 000” là: n(C) = 66.

⇒ Xác suất của biến cố C: “a ≥ 32 000” là: P(C) = $\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{66}{120}=\frac{11}{20}$.

Vậy xác suất của biến cố “a ≥ 32 000” là $\frac{11}{20}$.

d) Gọi D là biến cố: “Trong các chữ số của a không có 2 chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau”.

Số a không có hai chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau có dạng: x2x4x hoặc x4x2x 

Khi đó ta thấy chữ số 2 và 4 có 2 cách xếp, còn 3 vị trí còn lại có 3! cách xếp.

Theo quy tắc nhân, ta có 2.3! cách xếp để trong các chữ số của a không có 2 chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau”.

⇒ Số phần tử thuận lợi cho biến cố D: “Trong các chữ số của a không có 2 chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau” là: n(D)= 2.3! = 12.

⇒ Xác suất của biến cố trên là: P(D) = $\frac{n\left(D\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{12}{120}=\frac{1}{10}$

Vậy xác suất của biến cố “Trong các chữ số của a không có 2 chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau” là  $\frac{1}{10}$.

Trong hộp có 5 bóng xanh, 6 bóng đỏ và 2 bóng vàng nên tổng số bóng là: 5 + 6 + 2 = 13 quả bóng.

- Lấy 2 bóng từ hộp có $C_{13}^2$ cách;

- Sau đó xem màu, trả lại hộp rồi lại lấy tiếp 1 bóng nữa từ hộp có $C_{13}^1$ cách.

Theo quy tắc nhân, ta có $C_{13}^2. C_{13}^1$ = 1 014 cách lấy 2 bóng từ hộp, xem màu, trả lại hộp rồi lại lấy tiếp 1 bóng nữa từ hộp.

⇒ Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là: n(Ω) = $C_{13}^2. C_{13}^1$ = 1 014.

a) Gọi A là biến cố “Ba bóng lấy ra cùng màu”.

- Trường hợp 1: Lấy được 2 quả bóng màu xanh trong 5 quả bóng xanh, sau khi bỏ vào lại lấy được 1 quả bóng xanh trong 5 quả bóng xanh, ta có $C_5^1. C_5^2$ = 50 cách.

- Trường hợp 2: Lấy được 2 quả bóng màu đỏ trong 6 quả bóng đỏ, sau khi bỏ vào lại lấy được 1 quả bóng đỏ trong 6 quả bóng đỏ, ta có $C_6^2. C_6^1$ = 90 cách.

- Trường hợp 3: Lấy được 2 quả bóng màu vàng trong 2 quả bóng vàng, sau khi bỏ vào lại lấy được 1 quả bóng vàng trong 2 quả bóng vàng, ta có $C_2^2. C_2^1$ = 2 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có: 50 + 90 + 2 = 142 cách lấy sao cho ba bóng lấy ra cùng màu.

⇒ Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n(A) = 142.

⇒ Xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{142}{1014}=\frac{71}{507}$.

Vậy xác suất của biến cố  “Ba bóng lấy ra cùng màu” là $\frac{71}{507}$.

b) Gọi B là biến cố “Bóng lấy ra lần 2 là bóng xanh”.

Khi đó 2 quả bóng lấy ra lần 1 là tùy ý nên có $C_{13}^2$ cách lấy, lần 2 là bóng xanh nên ta có $C_5^1$ cách lấy.

Theo quy tắc nhân ta có $C_{13}^2. C_5^1$ cách lấy sao cho bóng lấy ra lần 2 là bóng xanh.

⇒ Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: n(B) = $C_{13}^2. C_5^1$ = 390.

Xác suất của biến cố B là: P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{390}{1014}=\frac{5}{13}$.

Vậy xác suất của biến cố “Bóng lấy ra lần 2 là bóng xanh” là $\frac{5}{13}$.