Ta có độ dài vòng dây là : F₁M + F₂M + F₁F₂  = 2a + 2c

⇒ F₁M + F₂M = (2a + 2c) − F₁F₂  = (2a + 2c) – 2c  = 2a

Vậy F₁M + F₂M = 2a.

a) Ta có: $\overrightarrow{F_{1}M}$  = ( x + c; y) ; $\overrightarrow{F_{2}M}$  = (x – c ; y).

Khi đó F₁M  = $\left|\overrightarrow{F_{1}M}\right|=\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$  ; F₂M  = $\overrightarrow{F_{2}M}=\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ ;

Vậy F₁M = $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$ ; F₂M = $\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ .

b) Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F₁M + F₂M = 2a

⇔  $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$= 2a.

Vậy M(x; y) ∈ (E) ⇔ $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$  = 2a

Ta có: a = 3; b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ .

Ta có: 2a = 10 ⇒ a = 5 và b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

a) Ta có: MF₂ + MA = l ⇒  MA = l – MF₂

Lại có MF₁ + MA = d ⇒ MF₁ + l – MF₂ = d ⇒ MF₁ – MF₂ = d − l = 2a

Vậy MF₁ – MF₂ = 2a.

b) Khi đính một đầu dây vào đầu A của thướcvà đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào F₁, đầu B của thước trùng với F₂ sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh F₂ và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (Hình 6c) thì ta có:  MF₁+ MA = l ⇒  MA = l – MF₁

Lại có MF₂+ MA = d ⇒ MF₂ + l – MF₁ = d ⇒ MF₂ – MF₁ = d − l = 2a

Vậy MF₂ – MF₁ = 2a.

a) Ta có:  $\overrightarrow{F_{1}M}$ = ( x + c; y) ; $\overrightarrow{F_{2}M}$  = (x – c ; y).

Khi đó F₁M  = $\left|\overrightarrow{F_{1}M}\right|=\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$ ; F₂M  = $\overrightarrow{F_{2}M}=\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ ;

Vậy F₁M = $\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}$ ; F₂M = $\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}$ .

b) Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F₁M − F₂M |= 2a

⇔ $\left|\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}\right|$= 2a.

Vậy M(x; y) ∈ (H) ⇔ $\left|\sqrt{{(x+c)}^2+y^2}-\sqrt{{(x-c)}^2+y^2}\right|$= 2a

Ta có tiêu cự bằng 10 nên 2c = 10 ⇒ c = 5; độ dài trục ảo bằng 6 nên 2b = 6 ⇒ b = 3

Ta lại có a² = c² – b² = 5² – 3² = 16 ⇔ a = 4

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\iff \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

Theo bài ra khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy mà tổng hai khoảng cách này bằng 120m nên ta có:

− Khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bằng 40m;

− Khoảng cách từ tâm O đến đáy bằng 80m.

Thay y = 40 vào phương trình (H), ta được: 

 $\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{{40}^2}{{40}^2}=1$ ⇔ x² = 1 107⇔ x = ± $\sqrt{1107}$ ⇔ x ≈ ± 33,3

⇒ Bán kính đường tròn nóc bằng 33,3 m.

Thay y = 80 vào phương trình (H), ta được:  

 $\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{{80}^2}{{40}^2}=1$⇔ x² = 3 645 ⇔ x = ± $\sqrt{3645}$ ⇔ x ≈ ± 60,4

⇒ Bán kính đường tròn đáy bằng 60,4 m.

Vậy bán kính nóc và bán kính đáy của tháp lần lượt là 33,3 (m) và 60,4 (m).

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y² = 2px

(P) có đường chuẩn Δ: x + 1 = 0 ⇒ $\frac{p}{2}$ =1 ⇔ p = 2

Thay p = 2 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y² = 2.2.x = 4x

Vậy (P) có phương trình y² = 4x.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là y² = 2px.

Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m ⇒ C(10; 0)

Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5 m ⇒ AC = 2,5 m ⇒ A(10; 2,5)

Vì A(10; 2,5) ∈ (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được: 2,5² = 2p. 10

⇒ p = $\frac{5}{16}$ ⇒ (P): y² = $\frac{5}{8}$x.

Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được: a² = $\frac{5}{8}$. 2 ⇒ a = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là: 2a = 2. $\frac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$ (m).

a) Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Ta có 2a = 20 ⇒ a = 10;

2b = 16 ⇒ b = 8.

Thay a = 10 và b = 8 vào phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , ta được:

 ⇔ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$\iff \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

b) Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Ta có: 2c = 20 ⇒ c = 10

2a = 12 ⇒ a = 6 

Ta lại có: b² = c² − a² = 10² – 6² = 64 ⇒ b = 8.

Thay a = 6 và b = 8 vào phương trình $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , ta được:

$\frac{x^2}{6^2}-\frac{y^2}{8^2}=1\iff \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

c) Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là y² = 2px

(P) có tiêu điểm F( $\frac{1}{2}$; 0) ⇒ $\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$ ⇒ p = 1.

Thay p = 1 vào phương trình chính tắc của parabol (P) ta được: y² = 2.1.x = 2x

Vậy parabol (P) có phương trình: y² = 2x.

Gắn hệ trục tọa độ cho elip như hình sau:

Ta có: hình elip có trục lớn là 80 cm, trục nhỏ là 40 cm nên 2a = 80 cm và 2b = 40 cm 

⇒ a = 40 cm, b = 20cm

⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{{40}^2-{20}^2}=20\sqrt{3}$ (cm).

⇒ Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều dài của tấm ván là:

F₁A₁  = F₂A₂ = a – c = 40 – $20\sqrt{3}$   ≈ 5,36 (cm).  

Khoảng cách từ mỗi đinh đến mép chiều rộng của tấm ván là F₁D = OB₂ = b = 20 cm.

Vòng dây có độ dài là 2a + 2c = 2.40 + 2. $20\sqrt{3}$ ≈ 74,64 cm.

Vậy, hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván khoảng 5,36 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván là 20 cm và lấy vòng dây có độ dài khoảng 74,64 cm.

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Ta có: b = 8 m và 2a = 20 m ⇒ a = 10 m

Vậy phương trình của elip (E) là:  $\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1$

b) Điểm A cách chân tường 5 m nên A(5; 0). Ta có độ dài AB chính là khoảng cách từ điểm A đến nóc nhà vòm.

Gọi B(5; y). Vì B ∈ (E) nên thay tọa độ B vào phương trình (E), ta được:  $\frac{5^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1$

⇒ y² = 48 ⇒ y = $\sqrt{48}$  ≈ 6,9 ⇒ AB ≈ 6,9.

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm cách chân tường 5m đến nóc nhà vòm khoảng 6,9 mét.