a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$= (−1; 3), $\overrightarrow{DC}$ = (−1; 3) ⇒ $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}$.

⇒ ABCD là hình bình hành.

Lại có: $\overrightarrow{AD}$ = (3; 1) ⇒ $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}$= −1. 3 + 3. 1 = 0

⇒ $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ hay AB ⊥ AD

⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = $\left|\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$

          AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{(-1)}^2+3^2}=\sqrt{10}$

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông.

Vậy ABCD là hình vuông.

b) Tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm của AC 

⇒ $I\left(\frac{2+4}{2};\frac{1+5}{2}\right)$ ⇒ I = (3; 3).

Vậy tâm của hình vuông ABCD là I(3; 3).

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c). 

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

⇒ K là trung điểm của AB ⇒ $K\left(\frac{a+b}{2};0\right)$.

     H là trung điểm của CD ⇒ $H\left(0;\frac{c+d}{2}\right)$

⇒ $I\left(\frac{a+b}{2};\frac{c+d}{2}\right)$

Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left(a-\frac{a+b}{2};-\frac{c+d}{2}\right)$⇒ IA = $\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$ .

           $\overrightarrow{IC}=\left(-\frac{a+b}{2};c-\frac{c+d}{2}\right)$ ⇒ IC = $\left|\overrightarrow{IC}\right|=\sqrt{{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$.

Vì IA = IC (= R) ⇒ $\sqrt{{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{c+d}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-\frac{a+b}{2}\right)}^2+{\left(c-\frac{c+d}{2}\right)}^2}$

⇔ (a − b)² + (c + d)² = (a + b)² + (c − d)²

⇔ a² − 2ab + b² + c² + 2cd + d² = a² + 2ab + b² + c² − 2cd + d²

⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)

Ta có: $\overrightarrow{EF}$= (−a; −c}, $\overrightarrow{BD}$= (−b; d)

⇒ $\overrightarrow{EF}. \overrightarrow{BD}$= (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))

⇒ $\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{BD}$ hay EF ⊥ BD.

Vậy EF ⊥ BD.

a) Đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; −1) và  $\overrightarrow{n_2}$= (1; 1).

Ta có: $\overrightarrow{n_1}. \overrightarrow{n_2}$= 1.1 + (−1). 1 = 0 nên  $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ vuông góc 

⇒ d₁ ⊥ d₂ ⇒ (d₁, d₂) = 90°.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x–y+2=0 \\ x+y+4=0\end{array}\right.$.

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}x–y+2=0 \\ x+y+4=0\end{array}\right.$ta được $\left\{\begin{array}{l}x=-3 \\ y=-1\end{array}\right.$⇒ M(−3; −1).

Vậy d₁ và d₂ vuông góc và cắt nhau tại M(−3; −1).

b) Ta có: $\overrightarrow{u_1}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương của d₁ ⇒ $\overrightarrow{n_1}$= (2; −1) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Phương trình tổng quát của d₁ đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\overrightarrow{n_1}$= (2; −1) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 1) − (y − 3) = 0 ⇔ 2x – y + 1 = 0.

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; −3)

Ta có: $\frac{2}{1}\ne \frac{-1}{-3}$ ⇒ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ không cùng phương.

⇒ d₁ và d₂ cắt nhau.

Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Tọa độ giao điểm M của d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2x–y+1=0\\ x-3y+2=0\end{array}\right.$ .

Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}2x–y+1=0\\ x-3y+2=0\end{array}\right.$  ta được $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{5}\\ y=\frac{3}{5}\end{array}\right.\Rightarrow M\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right)$ .

Ta có: $\overrightarrow{n_1}. \overrightarrow{n_2}$ = 2.1 + (−1).(−3) = 5; $\left|\overrightarrow{n_1}\right|=\sqrt{2^2+{(-1)}^2}=\sqrt{5}$; $\left|\overrightarrow{n_2}\right|=\sqrt{1^2+{(-3)}^2}=\sqrt{10}$

Khi đó: cos(d₁, d₂) = $\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{5}{\sqrt{5}.\sqrt{10}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$.

⇒ (d₁, d₂) = 45°.

Vậy d₁ cắt d₂ tại điểm $M\left(-\frac{1}{5};\frac{3}{5}\right)$  và (d₁, d₂) = 45°.

Vì đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 nên R = d(M; d)

Ta có: d(M; d) = $\frac{\left|14.(-2)-5.3+60\right|}{\sqrt{{14}^2+{(-5)}^2}}=\frac{\sqrt{221}}{13}$

⇒ R = d(M; d) = $\frac{\sqrt{221}}{13}$

Vậy bán kính của đường tròn tâm M(−2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 là $\frac{\sqrt{221}}{13}$ .

Ta có Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ =(6 ; 8) và $\overrightarrow{n_2}$= (3 ; 4).

Khi đó: $\frac{6}{3}=\frac{8}{4}(=2)$ ⇒ Δ và Δ′ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $A\left(0;\frac{13}{8}\right)$ ∈ Δ.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình Δ′ ta được : 3.0 + 4. $\frac{13}{8}$– 27 =$\frac{41}{2}$ ≠ 0.

Suy ra Δ // Δ′.

Khi đó d(Δ, Δ′) = d(A; Δ′) = $\frac{\left|3.0+4.\frac{13}{8}-27\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{41}{10}$ = 4,1.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng: Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0 là 4,1.

a) Phương trình đường tròn (x − 2)² + (y − 7)² = 64 có dạng (x − a)² + (y − b)² = R².

⇒ Đường tròn có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

Vậy đường tròn (x − 2)² + (y − 7)² = 64 có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

b) Phương trình đường tròn (x + 3)² + (y + 2)² = 8 có dạng (x − a)² + (y − b)² = R².

⇒ Đường tròn có tâm I(−3; −2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$

Vậy đường tròn (x + 3)² + (y + 2)² = 8 có tâm I(−3; −2) và bán kính R = $2\sqrt{2}$.

c) Phương trình x² + y² − 4x − 6y – 12 = 0 có dạng x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 với a = 2, b = 3, c = −12

Ta có: a² + b² − c = 2² + 3² + 12 = 25 ⇒ bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2-c }=\sqrt{25}$ = 5.

Vậy đường tròn x² + y² − 4x − 6y – 12 = 0 có tâm I(2; 3) và bán kính R = 5.

a) Phương trình đường tròn có tâm I(−2; 4) và bán kính R = 9 là: (x + 2)² + (y − 4)² = 81.

b) Ta có $\overrightarrow{IA}$ = (3; 3) ⇒ IA = $\left|\overrightarrow{IA}\right|=\sqrt{3^2+3^2}= 3\sqrt{2}$ .

Vì đường tròn đi qua điểm A nên  ta có: R = IA = $3\sqrt{2}$

Vậy phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = $3\sqrt{2}$ là: (x − 1)² + (y − 2)² = 18.

c) Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng: x² + y² − 2ax − 2by + c = 0.

Vì I(a; b) thuộc đường thẳng 4x + y − 16 = 0 và các điểm A(4; 1), B(6; 5) thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:

 $\left\{\begin{array}{l}4a+b-16=0\\ 4^2+1^2-8a-2b+c=0\\ 6^2+5^2-12a-10b+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4a+b-16=0\\ -8a-2b+c=-17\\ -12a-10b+c=-61\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=4\\ c=15\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường tròn là: x² + y² − 6x − 8y + 15 = 0.

d) Phương trình đường tròn (C) tâm I(m; n) có dạng: x² + y² – 2mx – 2ny + c = 0.

Vì O(0; 0) ∈ (C) nên thay tọa độ O(0; 0) vào (C) ta được c = 0

Vì (C) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (a; 0) và cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; b) nên ta có:  

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2-2ma=0\\ b^2-2nba=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\frac{a}{2}\\ n=\frac{b}{2}\end{array}\right.$⇔  (vì a ≠ 0, b ≠ 0).

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x² + y² – ax – by = 0.

Đường tròn (C): (x − 5)² + (y − 3)² = 100 có tâm I(5; 3).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(11; 11) là:

(5 − 11)(x − 11) + (3 − 11)(y − 11) = 0

⇔ −6x − 8y + 154 = 0

⇔ 3x + 4y – 77 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 5)² + (y − 3)² = 100 tại điểm M(11; 11) là : 3x + 4y – 77 = 0.

a) Elip có đỉnh (5; 0), (0; 4) ⇒ a = 5; b = 4.

⇒ Phương trình elip (E) là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Vậy elip thỏa mãn điều kiện đỉnh (5; 0), (0; 4) là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

b) Elip có đỉnh (5; 0) ⇒ a = 5; tiêu điểm (3; 0) ⇒ c = 3

⇒ b = $\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{5^2-3^2}$= 4

Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .

c) Vì độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12 nên ta có: 2a = 16; 2b = 12 

⇒ a = 8; b = 6

⇒ Phương trình elip (E) là:$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$ .

Vậy phương trình elip cần tìm là:  $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$.

d) Vì độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12 nên ta có: 2a = 20; 2c = 12 

⇒ a = 10; c = 6 

⇒ b = $\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}$ = 8.

⇒ Phương trình elip (E) là: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

Vậy phương trình elip cần tìm là:  $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

a) Với parabol y² = 12x :                       

Phương trình parabol có dạng: y² = 2px ⇒ 2p = 12 ⇒ p = 6 ⇒ $\frac{p}{2}$ = 3.

b) Với parabol y² = x:

Phương trình parabol có dạng: y² = 2px ⇒ 2p = 1 ⇒ p = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{p}{2}=\frac{1}{4}$ .

Vậy tọa độ tiêu điểm là $\left(\frac{1}{4};0\right)$ và phương trình đường chuẩn là x + $\frac{1}{4}$  = 0.

a) Parabol (P) có tiêu điểm (4; 0) ⇒ $\frac{p}{2}$ = 4 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y² = 16x.

b. Parabol (P) có đường chuẩn là  x = $-\frac{1}{6}$ ⇒ p = $\frac{1}{3}$

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = 2. $\frac{1}{3}$ x = $\frac{2}{3}$ x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y² = $\frac{2}{3}$ x.

c)  Parabol (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình : y² = 2px, ta được: 4²  = 2p. 1 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y² = 16x.

c)  Parabol (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình : y² = 2px, ta được: 4²  = 2p. 1 ⇒ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y² = 16x.

d) Parabol (P) tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ , phương trình đường chuẩn ∆ : x +  = 0.

Vì parabol (P) có khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8 nên:

d(F, Δ) = 8 ⇔ $\frac{\left|\frac{p}{2}+\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$= 8 ⇔ p = 8.

⇒ Phương trình parabol (P) là: y² = 2.8x = 16x.

Vậy phương trình parabol (P) là: y² = 16x.

Vì parabol (P) có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm ⇒ Tiêu điểm có tọa độ (5; 0) ⇒ p = 10

⇒ Phương trình parabol (P): y² = 20x.

Ta có điểm A(45; y_A) ∈ (P) nên thay tọa độ A vào phương trình (P), ta được:

y_A² = 20. 45 ⇒ y_A = 30

⇒ AB = 2. 30 = 60 (cm).

Vậy khoảng cách AB là 60cm.

a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Phương trình parabol (P) có dạng: y² = 2px.

Ta có: A(1; 3) ∈ (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:

3² = 2p. 1 ⇒ p = $\frac{9}{2}$.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y² = 9x.

b) Vì đường ống nằm ở tiêu điểm của (P) nên khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol bằng: $\frac{p}{2}$ = 2,25 (m).

Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol khoảng 2,25 mét.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:

Gọi phương trình parabol là y² = 2px.

Gọi chiều cao của cổng là OH = h.

Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 192 ⇒ AH = 96 ⇒ Điểm A có tọa độ (h; 96).

Ta có: AC = 0,5; DH = MC = 2 ⇒ Điểm M có tọa độ (h − 2; 95,5).

Vì A và M thuộc parabol (P) nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}{96}^2=2ph\\ 95,5^2=2p(h-2)\end{array}\right.\Rightarrow \frac{{96}^2}{95,5^2}=\frac{h}{h-2}$⇒ h = $\frac{{2.96}^2}{{96}^2-95,5^2}$≈ 192,5 (m)

Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5 m.