Bài tập Bài tập cuối chương 9 có đáp án
-
124 lượt thi
-
29 câu hỏi
-
40 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2).
a) Chứng minh ABCD là hình vuông.
a) Ta có: = (−1; 3), = (−1; 3) ⇒ .
⇒ ABCD là hình bình hành.
Lại có: = (3; 1) ⇒ = −1. 3 + 3. 1 = 0
⇒ hay AB ⊥ AD
⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
Ta có: AD =
AB =
⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông.
Vậy ABCD là hình vuông.
Câu 2:
b) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.
b) Tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm của AC
⇒ ⇒ I = (3; 3).
Vậy tâm của hình vuông ABCD là I(3; 3).
Câu 3:
Cho AB và CD là dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh EF vuông góc với DB.
Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).
Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c).
Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.
⇒ K là trung điểm của AB ⇒ .
H là trung điểm của CD ⇒
⇒
Ta có: ⇒ IA = .
⇒ IC = .
Vì IA = IC (= R) ⇒
⇔ (a − b)2 + (c + d)2 = (a + b)2 + (c − d)2
⇔ a2 − 2ab + b2 + c2 + 2cd + d2 = a2 + 2ab + b2 + c2 − 2cd + d2
⇔ 4ab = 4cd ⇔ ab = cd ⇔ ab − cd = 0 (1)
Ta có: = (−a; −c}, = (−b; d)
⇒ = (−a).(−b) − c.d = ab − cd = 0 (theo (1))
⇒ hay EF ⊥ BD.
Vậy EF ⊥ BD.
Câu 4:
Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong mỗi trường hợp sau:
a) d1: x – y + 2 = 0 và d2: x + y + 4 = 0;
a) Đường thẳng d1 và d2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là = (1; −1) và = (1; 1).
Ta có: = 1.1 + (−1). 1 = 0 nên và là hai vectơ vuông góc
⇒ d1 ⊥ d2 ⇒ (d1, d2) = 90°.
Gọi M là giao điểm của d1 và d2.
Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: .
Giải hệ ta được ⇒ M(−3; −1).
Vậy d1 và d2 vuông góc và cắt nhau tại M(−3; −1).
Câu 5:
b) d1: và d2: x − 3y + 2 = 0;
b) Ta có: = (1; 2) là vectơ chỉ phương của d1 ⇒ = (2; −1) là vectơ pháp tuyến của d1.
Phương trình tổng quát của d1 đi qua điểm A(1; 3) và nhận = (2; −1) làm vectơ pháp tuyến là: 2(x − 1) − (y − 3) = 0 ⇔ 2x – y + 1 = 0.
Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là = (1; −3)
Ta có: ⇒ và là hai vectơ không cùng phương.
⇒ d1 và d2 cắt nhau.
Gọi M là giao điểm của d1 và d2.
Tọa độ giao điểm M của d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình: .
Giải hệ ta được .
Ta có: = 2.1 + (−1).(−3) = 5; ;
Khi đó: cos(d1, d2) = .
⇒ (d1, d2) = 45°.
Vậy d1 cắt d2 tại điểm và (d1, d2) = 45°.
Câu 6:
Tính bán kính của đường tròn tâm M(−2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0.
Vì đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 nên R = d(M; d)
Ta có: d(M; d) =
⇒ R = d(M; d) =
Vậy bán kính của đường tròn tâm M(−2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 14x − 5y + 60 = 0 là .
Câu 7:
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0.
Ta có Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là =(6 ; 8) và = (3 ; 4).
Khi đó: ⇒ Δ và Δ′ song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm ∈ Δ.
Thay tọa độ điểm M vào phương trình Δ′ ta được : 3.0 + 4. – 27 = ≠ 0.
Suy ra Δ // Δ′.
Khi đó d(Δ, Δ′) = d(A; Δ′) = = 4,1.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng: Δ: 6x + 8y – 13 = 0 và Δ′: 3x + 4y – 27 = 0 là 4,1.
Câu 8:
Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:
a) (x − 2)2 + (y − 7)2 = 64;
a) Phương trình đường tròn (x − 2)2 + (y − 7)2 = 64 có dạng (x − a)2 + (y − b)2 = R2.
⇒ Đường tròn có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.
Vậy đường tròn (x − 2)2 + (y − 7)2 = 64 có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.
Câu 9:
b) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 8;
b) Phương trình đường tròn (x + 3)2 + (y + 2)2 = 8 có dạng (x − a)2 + (y − b)2 = R2.
⇒ Đường tròn có tâm I(−3; −2) và bán kính R =
Vậy đường tròn (x + 3)2 + (y + 2)2 = 8 có tâm I(−3; −2) và bán kính R = .
Câu 10:
c) x2 + y2 − 4x − 6y – 12 = 0.
c) Phương trình x2 + y2 − 4x − 6y – 12 = 0 có dạng x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 với a = 2, b = 3, c = −12
Ta có: a2 + b2 − c = 22 + 32 + 12 = 25 ⇒ bán kính R = = 5.
Vậy đường tròn x2 + y2 − 4x − 6y – 12 = 0 có tâm I(2; 3) và bán kính R = 5.
Câu 11:
Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I(−2; 4) và bán kính bằng 9;
a) Phương trình đường tròn có tâm I(−2; 4) và bán kính R = 9 là: (x + 2)2 + (y − 4)2 = 81.
Câu 12:
b) Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);
b) Ta có = (3; 3) ⇒ IA = .
Vì đường tròn đi qua điểm A nên ta có: R = IA =
Vậy phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R = là: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 18.
Câu 13:
c) Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y – 16 = 0;
c) Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0.
Vì I(a; b) thuộc đường thẳng 4x + y − 16 = 0 và các điểm A(4; 1), B(6; 5) thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:
Vậy phương trình đường tròn là: x2 + y2 − 6x − 8y + 15 = 0.
Câu 14:
d) Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.
d) Phương trình đường tròn (C) tâm I(m; n) có dạng: x2 + y2 – 2mx – 2ny + c = 0.
Vì O(0; 0) ∈ (C) nên thay tọa độ O(0; 0) vào (C) ta được c = 0
Vì (C) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (a; 0) và cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; b) nên ta có:
⇔ (vì a ≠ 0, b ≠ 0).
Vậy phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – ax – by = 0.
Câu 15:
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 5)2 + (y − 3)2 = 100 tại điểm M(11; 11).
Đường tròn (C): (x − 5)2 + (y − 3)2 = 100 có tâm I(5; 3).
Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(11; 11) là:
(5 − 11)(x − 11) + (3 − 11)(y − 11) = 0
⇔ −6x − 8y + 154 = 0
⇔ 3x + 4y – 77 = 0.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 5)2 + (y − 3)2 = 100 tại điểm M(11; 11) là : 3x + 4y – 77 = 0.
Câu 16:
Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:
a) Đỉnh (5; 0), (0; 4);
a) Elip có đỉnh (5; 0), (0; 4) ⇒ a = 5; b = 4.
⇒ Phương trình elip (E) là: .
Vậy elip thỏa mãn điều kiện đỉnh (5; 0), (0; 4) là .
Câu 17:
b) Đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0);
b) Elip có đỉnh (5; 0) ⇒ a = 5; tiêu điểm (3; 0) ⇒ c = 3
⇒ b = = 4
Vậy phương trình elip cần tìm là: .
Câu 18:
c) Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12;
c) Vì độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12 nên ta có: 2a = 16; 2b = 12
⇒ a = 8; b = 6
⇒ Phương trình elip (E) là: .
Vậy phương trình elip cần tìm là: .
Câu 19:
d) Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12.
d) Vì độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12 nên ta có: 2a = 20; 2c = 12
⇒ a = 10; c = 6
⇒ b = = 8.
⇒ Phương trình elip (E) là: .
Vậy phương trình elip cần tìm là:
Câu 20:
Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:
a) y2 = 12x;
a) Với parabol y2 = 12x :
Phương trình parabol có dạng: y2 = 2px ⇒ 2p = 12 ⇒ p = 6 ⇒ = 3.
Câu 21:
b) y2 = x.
b) Với parabol y2 = x:
Phương trình parabol có dạng: y2 = 2px ⇒ 2p = 1 ⇒ p = ⇒ .
Vậy tọa độ tiêu điểm là và phương trình đường chuẩn là x + = 0.
Câu 22:
Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) Tiêu điểm (4; 0);
a) Parabol (P) có tiêu điểm (4; 0) ⇒ = 4 ⇒ p = 8.
⇒ Phương trình parabol (P) là: y2 = 2.8x = 16x.
Vậy phương trình parabol (P) là: y2 = 16x.
Câu 23:
b) Đường chuẩn có phương trình x = ;
b. Parabol (P) có đường chuẩn là x = ⇒ p =
⇒ Phương trình parabol (P) là: y2 = 2. x = x.
Vậy phương trình parabol (P) là: y2 = x.
Câu 24:
c) Đi qua điểm (1; 4);
c) Parabol (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình : y2 = 2px, ta được: 42 = 2p. 1 ⇒ p = 8.
⇒ Phương trình parabol (P) là: y2 = 2.8x = 16x.
Vậy phương trình parabol (P) là: y2 = 16x.
Câu 25:
d) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8.
c) Parabol (P) đi qua điểm (1; 4) nên thay tọa độ (1; 4) vào phương trình : y2 = 2px, ta được: 42 = 2p. 1 ⇒ p = 8.
⇒ Phương trình parabol (P) là: y2 = 2.8x = 16x.
Vậy phương trình parabol (P) là: y2 = 16x.
d) Parabol (P) tiêu điểm , phương trình đường chuẩn ∆ : x + = 0.
Vì parabol (P) có khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8 nên:
d(F, Δ) = 8 ⇔ = 8 ⇔ p = 8.
⇒ Phương trình parabol (P) là: y2 = 2.8x = 16x.
Vậy phương trình parabol (P) là: y2 = 16x.
Câu 26:
Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như Hình 1, có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm. Cho biết bề sâu của gương là 45 cm, tính khoảng cách AB.
Vì parabol (P) có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm ⇒ Tiêu điểm có tọa độ (5; 0) ⇒ p = 10
⇒ Phương trình parabol (P): y2 = 20x.
Ta có điểm A(45; yA) ∈ (P) nên thay tọa độ A vào phương trình (P), ta được:
yA2 = 20. 45 ⇒ yA = 30
⇒ AB = 2. 30 = 60 (cm).
Vậy khoảng cách AB là 60cm.
Câu 27:
Một bộ thu năng lượng mặt trời để làm nóng nước được làm bằng một tấm thép không gỉ có mặt cắt hình parabol (Hình 2). Nước sẽ chảy thông qua một dường ống nằm ở tiêu điểm của parabol.
a) Viết phương trình chính tắc của parabol.
a) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:
Phương trình parabol (P) có dạng: y2 = 2px.
Ta có: A(1; 3) ∈ (P) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình (P), ta được:
32 = 2p. 1 ⇒ p = .
Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 9x.
Câu 28:
b) Tính khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol.
b) Vì đường ống nằm ở tiêu điểm của (P) nên khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol bằng: = 2,25 (m).
Vậy khoảng cách từ tâm đường ống đến đỉnh của parabol khoảng 2,25 mét.
Câu 29:
Cổng chào của một thành phố có dạng hình parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 192 m (Hình 3). Từ một điểm M trên thân cổng, người ta đo được khoảng cách đến mặt đất là 2 m và khoảng cách từ chân đường vuông góc vẽ từ M xuống mặt đất đến chân cổng gần nhất là 0,5 m. Tính chiều cao của cổng.
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ:
Gọi phương trình parabol là y2 = 2px.
Gọi chiều cao của cổng là OH = h.
Khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 192 ⇒ AH = 96 ⇒ Điểm A có tọa độ (h; 96).
Ta có: AC = 0,5; DH = MC = 2 ⇒ Điểm M có tọa độ (h − 2; 95,5).
Vì A và M thuộc parabol (P) nên ta có hệ phương trình:
⇒ h = ≈ 192,5 (m)
Vậy chiều cao của cổng khoảng 192,5 m.