Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° có đáp án
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức lượng giác có đáp án
-
1436 lượt thi
-
12 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng
sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Cách 1. Ta có \({\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1 - 2{\sin ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha \)
Do đó: sin4 α − cos4 α = sin4 α – (1 – 2sin2 α + sin4 α) = 2 sin2 α − 1.
Vậy ta được điều phải chứng minh.
Cách 2. Ta có sin4 α − sin4 α = (sin2 α + cos2 α)( sin2 α − cos2 α)
= 1. [sin2 α – (1 − sin2 α)] = 2 sin2 α − 1.
Vậy sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.
Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương
sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1
⇔ sin4 α − 2 sin2 α + 1 − cos4 α = 0
⇔ (1 − sin2 α)2 − cos4 α = 0
⇔ cos4 α − cos4 α = 0 (luôn đúng).
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Câu 2:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có \(\widehat A\)+ \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) = 180°.
Suy ra: 180° −\(\widehat A\)= \(\widehat B\)+ \(\widehat C\).
Do đó: cos(180° – A) = cos(B + C).
Lại có: cos(180° – A) = – cosA (quan hệ giữa hai góc bù nhau).
Khi đó ta có: – cosA = cos(B + C) ⇔ cosA = – cos(B + C).
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Câu 3:
Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 α + sin2 α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180°?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Từ hệ thức cos2 α + sin2 α = 1, ta suy ra được:
\[{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\]; \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{3} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = 1\]; \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{4} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{4} = 1\]; \[{\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1\].
Suy ra: \[5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.1 = 5\].
Câu 4:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Tam giác ABC có: \(\widehat A\)+ \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) = 180° (định lí tổng ba góc trong tam giác).
Suy ra: 180° −\(\widehat A\)= \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) và
Do đó sin A = sin (180° − A) = sin (B + C), suy ra khẳng định A đúng.
Lại có \(\frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 90^\circ \)
Do đó:\(\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{{B + C}}{2}\) (hai góc phụ nhau), suy ra khẳng định C đúng.
Mặt khác tan A = − tan (180° −\(\widehat A\)) = − tan (B + C), suy ra khẳng định D đúng và B sai.
Câu 5:
Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức đúng là?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do 0° < x < 90° nên tanx > 0 và cotx > 0.
Ta có tanx . cotx = 1, suy ra cotx = \(\frac{1}{{tanx}}\).
Khi đó: \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}}\) = \(\frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 - \frac{1}{{\tan x}}}} = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x - 1}}{{\tan x}}}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\).
Vậy \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}\).
Câu 6:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Với 0° ≤ x ≤ 180°, ta có
(sin x + cos x)2 = sin2 x + 2sin x. cos x + cos2 x = 1 + 2sin x. cos x.
Câu 7:
Cho 0° ≤ x ≤ 180°. Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức dưới đây?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Với 0° ≤ x ≤ 180°, ta có
sin4 x + cos4 x
= (sin2 x)2 + (cos2 x)2
= [(sin2 x)2 + 2 sin2 x. cos2 x + (cos2 x)2] – 2 sin2 x. cos2 x
= (sin2 x + cos2 x)2 – 2 sin2 x. cos2 x
= 1 – 2 sin2 x. cos2 x.
Vậy sin4 x + cos4 x = 1 – 2 sin2 x. cos2 x.
Câu 8:
Cho 0° ≤ x ≤ 180°. Giá trị của biểu thức (sin2 x + cos2 x)2 + (sin2 x − cos2 x)2
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
(sin2 x + cos2 x)2 + (sin2 x − cos2 x)2
= sin2 x + 2sin x. cos x + cos2 x + sin2 x − 2sin x. cos x + cos2 x
= 2(sin2 x + cos2 x) = 2 . 1 = 2.
Vậy giá trị của biểu thức (sin2 x + cos2 x)2 + (sin2 x − cos2 x)2 không phụ thuộc vào biến x và có kết quả bằng 2.
Câu 9:
Biểu thức 1 − (sin6 x + cos6 x) bằng biểu thức nào sau đây:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Vì sin2 x + cos2 x = 1, suy ra (sin2 x + cos2 x)3 = 13 = 1.
Do đó ta có
1 − (sin6 x + cos6 x)
= \({\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - \left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)\)
\( = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right){\sin ^2}x.{\cos ^2}x - {\sin ^6}x - {\cos ^6}x\)
\( = 3.1.{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\).
Vậy 1 − (sin6 x + cos6 x) = 3sin2 x . cos 2 x.
Câu 10:
Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau đây:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Áp dụng quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau ta có:
sin 20° = sin(180° − 160°) = sin 160°;
cos 20° = cos(180° − 160°) = − cos 160°;
tan 20° = tan(180° − 160°) = − tan 160°;
cot 20° = cot(180° − 160°) = − cot 160°.
Vậy đáp án A đúng, B, C, D sai.
Câu 11:
Biểu thức \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\) bằng biểu thức nào sau đây?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có: \({\sin ^4}x + 4{\cos ^2}x = {\sin ^4}x + 4.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = {\left( {{{\sin }^2}x - 2} \right)^2}\)
Và \({\cos ^4}x + 4{\sin ^2}x = {\cos ^4}x + 4\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = {\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)^2}\)
Do đó
\(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\)
\( = \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)}^2}} + {\tan ^2}x\)
\( = \left| {{{\sin }^2}x - 2} \right| + \left| {{{\cos }^2}x - 2} \right| + {\tan ^2}x\) (do \(0 \le {\cos ^2}x;{\sin ^2}x \le 1\))
\( = 2 - {\sin ^2}x + 2 - {\cos ^2}x + {\tan ^2}x\)
\( = 4 - \left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) + {\tan ^2}x\)
\( = 4 - 1 + {\tan ^2}x = 3 + {\tan ^2}x\).
Vậy \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\) = 3 + tan2x.
Câu 12:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải.
Đáp án đúng là: B.
Với 0° < α < 90°, ta có
sin (α + 90°)
= sin (180° − ( α + 90° )) (hai góc bù nhau)
= sin (90°− α )
= cos α (hai góc phụ nhau).
Vậy sin (α + 90°) = cos α.