- Hai phương trình có cùng tập nghiệm thì tương đương nhau.

- Ví dụ hai phương trình:

   $x^2$ - 3x + 2 = 0 và (x - 1)(x - 2)(x2 + x + 1) = 0

là hai phương trình tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là {1, 2}.

– Phương trình (a) có tập nghiệm là S₁

Phương trình (b) có tập nghiệm là S₂

Nếu S₁ ⊂ S₂ thì ta nói (b) là phương trình hệ quả của phương trình (a), kí hiệu: (a) ⇒ (b)

– Ví dụ : Phương trình x + 1 = 0 có tập nghiệm là S₁ = {–1}

phương trình x² – x – 2 = 0 có tập nghiệm là S₂ = {–1; 2}

Ta có: S₁ ⊂ S₂ nên phương trình x² – x – 2 = 0 là phương trình hệ quả của phương trình x + 1 = 0, kí hiệu:

x + 1 = 0 ⇒ x² – x – 2 = 0.

a) Điều kiện: x - 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5

⇔ x = 6 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = 6

b) Điều kiện xác định:

Xét x = 1: VT (2) = 1; VP (2) = 2.

Vậy x = 1 không phải nghiệm của (2) nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c)

Điều kiện xác định: x – 2 > 0 ⇔ x > 2.

Khi đó (3) ⇔ $x^2$ = 8 ⇔ x = –2√2 (không t/m đkxđ)

hoặc x = 2√2 (t/m đkxđ)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = 2√2.

d) Điều kiện xác định:

Vậy phương trình vô nghiệm.

Quy đồng và bỏ mẫu chung ta được:

Phương trình (1) ⇔ (3x + 4)(x + 2) – (x – 2) = 4 + 3(x2 – 4)

⇔ 3$x^2$ + 6x + 4x + 8 – x + 2 = 4 + 3$x^2$ – 12

⇔ 9x = –18

⇔ x = –2 (không thỏa mãn đkxđ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Điều kiện xác định: 2x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1/2.

Quy đồng và bỏ mẫu chung ta được:

Phương trình (2) ⇔ 2(3x2 – 2x + 3) = (2x – 1)(3x – 5)

⇔ 6$x^2$ – 4x + 6 = 6$x^2$ – 10x – 3x + 5

⇔ 9x = –1

⇔ x = –1/9 (thỏa mãn đkxđ)

Vậy phương trình có nghiệm là x = –1/9.

Điều kiện xác định x2 - 4 ≥ 0

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

(3) ⇒ $x^2$ – 4 = ${(x-1)}^2$

⇔ $x^2$– 4 = $x^2$ – 2x + 1

⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5/2 (thỏa mãn điều kiện xác định).

Thử lại thấy x = 5/2 là nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5/2.

Gọi t1 (giờ) là thời gian người thứ nhất sơn xong bức tường,

t2 (giờ) là thời gian người thứ hai sơn xong bức tường.

(Điều kiện: t1 > 0; t2 > 0)

+ Trong một giờ:

+ Người thứ nhất làm trong 7 giờ và người thứ hai làm trong 4 giờ thì họ sơn được 5/9 bức tường nên ta có: 

+ Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa, nghĩa là người thứ nhất làm trong 7 + 4 = 11 giờ và người thứ hai làm trong 4 + 4 = 8 giờ.

Khi đó họ còn 1/18 bức tường chưa sơn nghĩa là họ đã sơn được 17/18 bức tường.

Ta có phương trình 

Ta có hệ phương trình 

 , khi đó hệ phương trình trở thành 

Giải hệ phương trình trên ta được 

Vậy nếu mỗi người làm riêng thì người thứ nhất sơn xong bức tường trong 18 giờ, người thứ hai sơn xong bức tường trong 24 giờ.

a)

Đưa hệ phương trình về hệ dạng tam giác bằng cách khử dần các ẩn.

Nhân phương trình (1) với 2 rồi cộng với phương trình (2) và nhân phương trình (3) với 4 rồi cộng với phương trình (2) ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm 

b)

Đưa hệ phương trình về dạng hệ tam giác bằng cách khử dần các ẩn.

Nhân phương trình (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1) và cộng phương trình (2) với phương trình (3) ta được:

Giải hệ phương trình trên ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm 

Gọi các phân số cần tìm là x, y, z.

Tổng của ba phân số bằng 1 nên:

        x + y + z = 1     (1)

Hiệu của phân số thứ nhất và thứ hai bằng phân số thứ ba nên:

        x - y = z     (2)

Tổng của phân số thứ nhất và thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba nên:

        x + y = 5z     (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ:

Vậy ba phân số cần tìm lần lượt là:

Gọi x (ngày) là số ngày dự định làm xong kế hoạch (x > 0).

Khi đó:

Số sản phẩm dự định làm trong một ngày là: 360/x (sản phẩm)

Thực tế, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm nên năng suất thực tế là: 360/x + 9 (sản phẩm / ngày)

Số ngày làm thực tế là: x – 1 (ngày)

Số sản phẩm làm được trong x – 1 ngày là: 360 + 360.5% = 378 sản phẩm.

Ta có phương trình:

⇔ x = 8 (thỏa mãn) hoặc x = –5 (loại)

Số ngày dự định là 8 ngày, năng suất thực tế là 360:8 + 9 = 54 sản phẩm/ngày

Vậy khi đến hạn, phân xưởng sẽ làm được 54.8 = 432 sản phẩm.

a) $5x^2$– 3x – 7 = 0

Màn hình hiện x1 = 1,520655562

Ấn tiếp , màn hình hiện x2 = –0,9206555616

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là: x1 = 1,52; x2 = –0,92

b) $3x^2$+ 4x + 1 = 0

Màn hình hiện x1 = –0.3333333333

Ấn tiếp , màn hình hiện x2 = –1.

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là: x1 = –0,33; x2 = –1

c) $0,2x^2$ + 1,2x – 1 = 0

Màn hình hiện x1 = 0.7416573868

Ấn tiếp , màn hình hiện x2 = –6.741657387

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là: x1 = 0,74; x2 = –6,74

d) $\sqrt{2}{x}^2$ + 5x + √8 = 0

Màn hình hiện x1 = –0.7071067812

Ấn tiếp , màn hình hiện x2 = –2.828427125

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là: x1 = –0,71 ; x2 = –2,83

* Đối với máy tính CASIO fx–570 các loại

Thay vì ấn  , chúng ta ấn  rồi nhập hệ số như trên, các loại máy tính này sẽ cho kết quả chính xác.

* Đối với máy tính VINACAL

Thay vì ấn  , chúng ta ấn  rồi nhập hệ số như trên. Kết quả cho dưới dạng chính xác như máy tính CASIO fx–570 ở trên.

a) |4x – 9| = 3 – 2x (1)

+ Xét 4x – 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ 9/4, khi đó |4x – 9| = 4x – 9

(1) trở thành 4x – 9 = 3 – 2x ⇔ 6x = 12 ⇔ x = 2 < 9/4 (không thỏa mãn).

+ Xét 4x – 9 < 0 ⇔ x < 9/4, khi đó |4x – 9| = 9 – 4x

(1) trở thành 9 – 4x = 3 – 2x ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 > 9/4 (không thỏa mãn).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) |2x + 1| = |3x + 5|

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x (m), y (m). (điều kiện x > y > 0)

a) Theo đề bài:

Chu vi là 94,4m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 94,4 (1)

Diện tích là 494,55m2 nên ta có phương trình: x.y = 494,55 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Giải hệ phương trình trên:

Cách 1: Dựa vào định lý Vi–et đảo

Từ hệ phương trình suy ra x, y là nghiệm của phương trình:

$X^2$ – 47,2X + 494,55 = 0

Giải phương trình ta được: X1 = 31,5 và X2 = 15,7

Vì x > y nên x = 31.5 và y = 15.7

Cách 2: Phương pháp thế

Từ x + y = 47,2 ⇒ x = 47,2 – y, thay vào phương trình x.y = 494,55 ta được:

(47,2 – y).y = 494,55

⇔ 47,2.y – $y^2$ = 494,55

⇔$Y^2$ – 47,2y + 494,55 = 0

⇔ y = 31.5 hoặc y = 15.7

Nếu y = 31.5 ⇒ x = 15.7 (loại vì x < y)

Nếu y = 15.7 ⇒ x = 31.5 (thỏa mãn).

Vậy hình chữ nhật có chiều dài bằng 31.5m và chiều rộng bằng 15.7m

Hiệu của hai cạnh là 12,1 m nên ta có phương trình: x – y = 12,1 (3)

Diện tích là 1089m2 nên ta có phương trình: x.y = 1089 (4)

Từ (3) và (4) ta có hệ: 

Từ (3) ⇒ x = 12,1 + y, thay vào (4) ta được:

(12,1 + y).y = 1089

⇔ $y^2$+ 12,1.y – 1089 = 0

⇔ y = 27,5 (t/m) hoặc y = –39,6 (loại)

⇒ x = 12,1 + 27,5 = 39,6

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 39,6m và chiều rộng 27,5m

– Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất quét sân một mình (x > 2).

– Khi đó, x – 2 (giờ) là thời gian người thứ hai quét sân một mình.

– Trong 1 giờ:

Người thứ nhất quét được 1/x (sân)

Người thứ hai quét được 1/(x – 2) (sân)

Cả hai người quét được 1/x + 1/(x – 2) (sân).

– Lại theo đề bài: Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút = 4/3 giờ nên trong một giờ, cả hai người quét được 3/4 sân.

Vậy ta có phương trình:

Vậy nếu quét một mình thì người thứ nhất quét hết 4 giờ, người thứ hai hết 2 giờ.

Chọn đáp án (C) .

Giải thích : Các bạn có thể sử dụng máy tính cầm tay, hoặc sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc thế để giải hệ phương trình.

Hệ phương trình có nghiệm 

Vì  nên ta chọn đáp án C.

– Chọn đáp án (D) (–5; –7; –8)

– Giải thích: Các bạn có thể sử dụng máy tính cầm tay để giải ra nghiệm hoặc giải bằng cách đưa về hệ dạng tam giác như sau:

Giải hệ phương trình trên ta được x = –5 ; y = –7 ; z = –8.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y ; z) = (–5 ; –7 ; –8)