a) m(x – 2) = 3x + 1

⇔ mx – 2m = 3x + 1

⇔ mx – 3x = 1 + 2m

⇔ (m – 3).x = 1 + 2m (1)

     + Xét m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, phương trình (1) có nghiệm duy nhất 

     + Xét m – 3 = 0 ⇔ m = 3, pt (1) ⇔ 0x = 7. Phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ với m = 3, phương trình vô nghiệm

+ với m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất 

b)  m² x+ 6 = 4x + 3m

⇔  m² x– 4x = 3m – 6

⇔ ( m² – 4).x = 3m – 6 (2)

+ Xét  m² – 4 = 0 ⇔ m = ±2

     ● Với m = 2, pt (2) ⇔ 0x = 0 , phương trình có vô số nghiệm

     ● Với m = –2, pt (2) ⇔ 0x = –12, phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

     + m = 2, phương trình có vô số nghiệm

     + m = –2, phương trình vô nghiệm

     + m ≠ ±2, phương trình có nghiệm duy nhất 

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2

⇔ (2m + 1)x – 3x = 2m – 2

⇔ (2m + 1 – 3).x = 2m – 2

⇔ (2m – 2).x = 2m – 2 (3)

     + Xét 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, pt (3) có nghiệm duy nhất 

     + Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, pt (3) ⇔ 0.x = 0, phương trình có vô số nghiệm.

Kết luận :

+ Với m = 1, phương trình có vô số nghiệm

+ Với m ≠ 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Gọi số quýt ban đầu ở mỗi rổ là x (quả)

Muốn lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở mỗi rổ lúc đầu phải nhiều hơn 30 quả hay x > 30.

Khi đó rổ thứ nhất còn x – 30 quả; rổ thứ hai có x + 30 quả.

Vì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất nên ta có phương trình:

Giải phương trình (1):

Vì x > 30 nên x = 45 thỏa mãn.

Vậy ban đầu mỗi rổ có 45 quả cam.

a) $2x^4-7x^2$ + 5 = 0 (1)

Tập xác định: D = R.

Đặt t = $x^2$, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó phương trình (1) trở thành:

2$t^2$ – 7t + 5 = 0

⇔ (2t – 5) (t – 1) = 0

b) $3x^4+2x^2$ – 1 = 0 (2)

Tập xác định : D = R.

Đặt t = $x^2$, điều kiện t ≥ 0

Khi đó phương trình (2) trở thành :

3$t^2$ + 2t – 1 = 0 ⇔ (3t – 1)(t + 1) = 0

Hướng dẫn cách giải câu a): Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím

màn hình hiện ra x1 = 3.137458609

Ấn tiếp  màn hình hiện ra x2 = –0.637458608

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là x1 ≈ 3.137 và x2 ≈ –0.637.

Lời giải: Sử dụng máy tính CASIO fx–500 MS

* Nếu sử dụng các loại máy tính CASIO fx – 570, để vào chương trình giải phương trình bậc 2 các bạn ấn như sau:

rồi sau đó nhập các hệ số và đưa ra kết quả như CASIO fx–500 MS trên.

* Nếu sử dụng các loại máy tính VINACAL, để vào chương trình giải phương trình bậc 2 các bạn ấn như sau:

rồi sau đó nhập các hệ số và đưa ra kết quả như trên.

* Các loại máy tính CASIO fx–570, VINACAL trên khi giải phương trình vô tỷ sẽ cho nghiệm chính xác dưới dạng căn thức, để nghiệm hiển thị dưới dạng số thập phân, các bạn ấn nút 

Ví dụ để giải phương trình trên máy tính CASIO fx–570 VN, các bạn ấn như sau:

a) |3x – 2| = 2x + 3 (1)

Tập xác định: D = R.

+ Nếu  thì phương trình (1) trở thành 3x – 2 = 2x + 3. Từ đó x = 5.

Giá trị x = 5 thỏa mãn điều kiện nên x = 5 là một nghiệm của phương trình (3).

+ Nếu  thì phương trình (1) trở thành 2 – 3x = 2x + 3. Từ đó 

Giá trị  là một nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 và 

b) |2x - 1| = |-5x - 2| (2)

Tập xác định D = R.

Ta có:

Vậy phương trình có hai nghiệm  và x = –1.

+ Xét x > –1, khi đó x + 1 > 0 nên |x + 1| = x + 1.

Khi đó pt (3)

+ Xét x < –1, khi đó x + 1 < 0 nên |x + 1| = –x – 1.

Khi đó pt (3)

(không thỏa mãn điều kiện x < –1).

Vậy phương trình có hai nghiệm là 

d) |2x + 5| =  $x^2$ + 5x + 1 (4)

Tập xác định: D = R.

+ Xét 2x + 5 ≥ 0 ⇔  , khi đó |2x + 5| = 2x + 5

Khi đó pt (4) ⇔ 2x + 5 =$x^2$ + 5x + 1

⇔ $x^2$ + 3x – 4 = 0

⇔ (x + 4)(x – 1) = 0

⇔ x = –4 (không thỏa mãn) hoặc x = 1 (thỏa mãn)

+ Xét 2x + 5 < 0 ⇔  , khi đó |2x + 5| = –2x – 5.

Khi đó pt (4) ⇔ –2x – 5 = $x^2$ + 5x + 1

⇔ $x^2$ + 7x + 6 = 0

⇔ (x + 1)(x + 6) = 0

⇔ x = –1 (không thỏa mãn) hoặc x = –6 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 hoặc x = –6.

a)  (1)

Điều kiện xác định: 5x + 6 ≥ 0 ⇔ $x\ge \frac{-6}{5}$

Từ (1) ⇒ 5x + 6 = ${(x-6)}^2$

⇔ 5x + 6 =$x^2$ – 12x + 36

⇔ $x^2$ – 17x + 30 = 0

⇔ (x – 15)(x – 2) = 0

⇔ x = 15 (thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc x = 2 (thỏa mãn đkxđ).

Thử lại x = 15 là nghiệm của (1), x = 2 không phải nghiệm của (1)

Vậy phương trình có nghiệm x = 15.

b)  (2)

Điều kiện xác định: -2 ≤ x ≤ 3

Ta có (2)

Thử lại thấy x = 2 không phải nghiệm của (2)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –1

c)  (3)

Tập xác định: D = R.

Từ pt (3)

$$\begin{gathered} \iff 2x^2+5={(x+2)}^2 \\ \iff 2x^2+5=x^2+4x+4 \\ \iff x^2-4x+1 \end{gathered}$$

Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều là nghiệm của (3)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 + √3; x = 2 - √3.

d)  (4)

Ta có  với mọi x.

Do đó phương trình có tập xác định D = R.

Từ (4) ⇒ $4x^2$+ 2x + 10 =  ${(3x+1)}^2$

⇔ $4x^2$ + 2x + 10 = 9x2 + 6x + 1

⇔ $5x^2$ + 4x – 9 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = –9/5

Thử lại thấy chỉ có x = 1 là nghiệm của (4)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

 Ta có : 3$x^2$ – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

(1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0

⇔ ${(m+1)}^2$ – 3.(3m – 5) > 0

⇔ $m^2$ + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

⇔$m^2$ – 7m + 16 > 0

⇔ ${(m-\raisebox{1ex}{$7$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.)}^2$ + 15/4 > 0

Điều này luôn đúng với mọi m ∈ R hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt., gọi hai nghiệm đó là x1; x2

Khi đó theo định lý Vi–et ta có  (I)

Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x2 = 3.x1, khi thay vào (I) suy ra :

* TH1 : m = 3, pt (1) trở thành 3x2 – 8m + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

* TH2 : m = 7, pt (1) trở thành 3x2 – 16m + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

Kết luận : m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2.

m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.