Đáp án cần chọn là: C

Ta có  $\left\{\begin{array}{c}{x}_M=m-1\\ y_M=2m+1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}m=x_M+1\\ m=\frac{y_M-1}{2}\end{array}\right.$

Suy ra  $x_M+1=\frac{y_M-1}{2}\Rightarrow 2x_M-y_M+3=0$

Suy ra quỹ tích điểm M là đường thẳng 2x – y + 3 = 0

Đáp án cần chọn là: B

Hoành độ giao điểm hai đường thẳng (d1) và (d2) là nghiệm của phương trình:

mx + 1 = 2x + 3 ⇔ (m − 2) x = 2 ⇔  $\left\{\begin{array}{c}m\ne 2\\ x=\frac{2}{m-2}\end{array}\right.$

Tọa độ giao điểm là số nguyên khi và chỉ khi $\frac{2}{m-2}$ nhận giá trị nguyên.

Từ đây suy ra (m − 2) ∈ Ư(2) ={±1 ;±2}

Với m – 2 = −1 ⇒ m = 1

Với m – 2 = 1 ⇒ m = 3

Với m – 2 = 2 ⇒ m = 4

Với m – 2 = −2 ⇒ m = 0

Vậy m ∈ {0; 1; 3; 4}.

Đáp án cần chọn là: D

Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng $y=-\frac{2}{3}x+1$ nên hệ số góc $a=-\frac{2}{3}$ 

Suy ra (d) có dạng $y=-\frac{2}{3}x+b$ (b  1)

Điểm M (4; -3) thuộc (d) nên tọa độ điểm M phải thỏa mãn đẳng thức

$-3=-\frac{2}{3}.4+b\Rightarrow b=-\frac{1}{3}$ (tm)

Do đó  $a^2+b^3={\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{11}{27}$

Đáp án cần chọn là: C     

Trước hết nhận xét rằng: 2 > 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên [1; 3].

Với 1 ≤ x₁ < x₂ ≤ 3 ⇒ y(1) ≤ y(x₁) < y(x ₂) ≤ y(3) nên giá trị lớn nhất của hàm số đã cho đạt được tại x = 3

Khi đó y_max = y(3) = 2.3+ m² − 1= 5 + m²

Để y_max = 5 thì 5 + m² = 5 ⇔ m = 0

Đáp án cần chọn là: A

Vì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc 120° nên hệ số góc k của đường thẳng (d) là k = tan120° = − $\sqrt{3}$

Suy ra phương trình đường thẳng (d) có dạng y = −$\sqrt{3}$x + b.

Lại có A ∈ (d) nên có đẳng thức −5 = $\sqrt{3}$(−1) + b ⇔ b= −$\sqrt{3}$ − 5

Với b = −$\sqrt{3}$ − 5 thì d: y = −$\sqrt{3}$x −$\sqrt{3}$− 5

Đáp án cần chọn là: B

Đường thẳng d: y = ax + b đi qua điểm I (2; 3) ⇒ 3 = 2a + b (∗)

Ta có: d ∩ Ox = A(−$\frac{b}{a}$; 0); d ∩ Oy = B (0; b)

Suy ra OA=$\left|-\frac{b}{a}\right|$ = −$\frac{b}{a}$ và OB = |b| = b (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy).

Tam giác OAB vuông tại O. Do đó, ΔOAB vuông cân khi OA = OB

⇒ −$\frac{b}{a}$ = b ⇔  $\left[\begin{array}{c}b=0\\ a=-1\end{array}\right.$

Với b = 0 ⇒ A ≡ B ≡ O (0; 0): không thỏa mãn.

Với a = −1, kết hợp với (∗) ta được hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{c}3=2a+b\\ a=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=-1\\ b=5\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng cần tìm là d: y = −x + 5.

Đáp án cần chọn là: C

Đường thẳng d: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$   đi qua điểm M (−1; 6)⇒$\frac{-1}{a}+\frac{6}{b}=1$ (1)

Ta có d ∩ Ox = A (a; 0); d ∩ Oy = B (0; b).

Suy ra OA = |a| = a và OB = |b| = b (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy).

Tam giác OAB vuông tại O. Do đó, ta có S _$\Delta$ABC = $\frac{1}{2}$ OA.OB = 4 ⇒  $\frac{1}{2}$ ab = 4 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

$\left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{a}+\frac{6}{b}=1\\ \frac{1}{2}ab=4\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}6a-b-ab=0\\ ab=8\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}6a-b-8=0\\ ab=8\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}b=6a-8\\ a(6a-8)-8=0\end{array}\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b=6a-8\\ \left[\begin{array}{c}a=2\\ a=-\frac{2}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.$

Do A thuộc tia Ox ⇒ a = 2. Khi đó, b = 6a – 8 = 4. Suy ra a + 2b = 10

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình đường thẳng AB là  x + y – 1 = 0 hay y = 1 – x.

Hoành độ giao điểm C là nghiệm của phương trình

1 – x = x + m ⇔  $x=\frac{1-m}{2}\Rightarrow x_C=\frac{1-m}{2}$

Suy ra  $y_C=1-\frac{1-m}{2}=\frac{1+m}{2}$

Ta có $y_C=x_C^2\iff \frac{1+m}{2}={\left(\frac{1-m}{2}\right)}^2$

 ⇔ 2 + 2m = m² − 2m + 1

⇔ m² − 4m – 1 = 0

 ⇔ m = 2 ± $\sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Với x = −2 thay vào y = 2x + 5, ta được y = 1.

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng Δ₁ tại điểm có hoành độ bằng −2 nên đi qua điểm A (−2; 1). Do đó ta có 1 = a.(−2) + b             (1) 

 Với y = −2 thay vào y = −3x + 4, ta được x = 2.

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −3x + 4 tại điểm có tung độ bằng −2 nên đi qua điểm B (2; −2).

Do đó ta có −2 = a.2 + b.   (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ  $\left\{\begin{array}{c}1=a.(-2)+b\\ -2=a.2+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-2a+b=1\\ 2a+b=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=-\frac{3}{4}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

Đặt $y=\left|x+1\right|+\left|x-1\right|=\left\{\begin{array}{c}-2x(x<-1)\\ 2(-1\le x\le 1)\\ 2x(x\ge 1)\end{array}\right.$ và có đồ thị chính là phần đường thẳng màu xanh

Đường thẳng d: y = m² − 2 song song với trục hoành.

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 

  $y=\left\{\begin{array}{c}-2x(x<-1)\\ 2(-1\le x\le 1)\\ 2x(x\ge 1)\end{array}\right.$ và đường thẳng d: y = m² − 2.

Nhìn vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = m² − 2 chỉ cắt đồ thị hàm số (đường màu xanh) tại 2 điểm phân biệt khi m² – 2 > 2

Hay phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

 m² – 2 > 2  m² > 4 ⇔$\left[\begin{array}{c}m<-2\\ m>2\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

- Ta có $y=x+\left|x+1\right|=\left\{\begin{array}{c}2x+1khix\ge -1\\ -1khix<-1\end{array}\right.$

- Vẽ đồ thị hàm số $y=\left\{\begin{array}{c}2x+1khix\ge -1\\ -1khix<-1\end{array}\right.$

+ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1 và y = -1 trên cùng một hệ trục tọa độ.

+ Giữ nguyên phần đồ thị y = 2x + 1 bên phải đường thẳng x = -1 và xóa phần bên trái.

+ Giữ nguyên phần đồ thị y = - 1 bên trái đường thẳng x = -1 và xóa phần bên phải.

Khi đó ta có đồ thị sau:

Đáp án cần chọn là: D

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox, Oy

Khi đó,  $A\left(\frac{m-1}{m};0\right),B\left(0,-m+1\right)$

Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng (d) thì OH chính là khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng (d)

Xét tam giác vuông OAB có  $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\iff OH=\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}$

Suy ra  $O{H}_{\min }\iff {\left(\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}\right)}_{\min }$

Ta có $\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+\text{}O{B}^2}}=\frac{\left|\frac{m-1}{m}\right|\left|-m+1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{m-1}{m}\right)}^2+{\left(m-1\right)}^2}}=\frac{{(m-1)}^2}{\sqrt{{(m-1)}^2(1+m^2)}}=\frac{\left|m-1\right|}{\sqrt{1+m^2}}$ 

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì  $\frac{\left|m-1\right|}{\sqrt{1+m^2}}\le \frac{\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{1+m^2}}=\sqrt{2}$

Vậy OH_min =$\sqrt{2}$ và đạt được khi m = -1

Đáp án cần chọn là: D

Đường thẳng d: y = ax + b đi qua điểm $I(1;3)\Rightarrow 3=a+b$ (1)

Ta có  $d\cap \text{Ox = A}\left(-\frac{b}{a};0\right);d\cap Oy=B(0;b)$

Suy ra $OA=\left|-\frac{b}{a}\right|=-\frac{b}{a}$ và $OB=\left|b\right|=b$ (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d

Xét tam giác AOB vuông tại O, có đường cao OH nên ta có

 $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\iff \frac{1}{5}=\frac{a^2}{b^2}+\frac{1}{b^2}\iff b^2=5a^2+5$ (2)

Từ (1) suy ra b = 3 – a. Thay vào (2), ta được (3-a)² = 5a² + 5

$\iff 4a^2+6a-4=0\iff \left[\begin{array}{c}a=-2\\ a=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Với $a=\frac{1}{2},$ suy ra $b=\frac{5}{2}.$ Suy ra $OA=\left|-\frac{b}{a}\right|=-\frac{b}{a}=-5<0:$ Loại

Với a = -2, suy ra b = 5. Vậy đường thẳng cần tìm là d: y = -2x + 5

Đáp án cần chọn là: D

Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng y = 2x và y = −x − 3 là nghiệm của hệ 

 $\left\{\begin{array}{c}y=2x\\ y=-x-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=-1\\ y=-2\end{array}\Rightarrow A\left(-1;-2\right)\right.$

Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng y = mx + 5 đi qua A

⇒ −2 = −1.m + 5 ⇒ m = 7.

Thử lại, với m = 7 thì ba đường thẳng y = 2x;  y = −x – 3; y = 7x + 5 phân biệt và đồng quy.

Đáp án cần chọn là: D

Thấy rằng m ≠ 1 vì nếu m = 1 thì đường thẳng (d) suy biến thành y = –4 có đồ thị song song với trục hoành và không cắt trục hoành.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và trục hoành là:

 2 (m−1) x – m² – 3 = 0 ⇒ $x=\frac{m^2+3}{2(m-1)}$

Do x < 2 nên  $\frac{m^2+3}{2(m-1)}<2\iff \frac{m^2+3}{2(m-1)}-2<0\iff \frac{m^2-4m+7}{m-1}<0$

 ⇔ m – 1 < 0 ⇔ m < 1 

(Vì m² − 4m + 7 = (m − 2)² + 3 > 0 ∀m)