Đáp án cần chọn là: B

Hàm số bậc nhất y = ax + b nghịch biến ⇔ a < 0 ⇒ − (m² + 1) < 0 (luôn đúng với mọi m)

Đáp án cần chọn là: A

Gọi hàm số y = ax + b (a ≠ 0).

Điểm A (1; 0), B (0; −2) thuộc đồ thị hàm số

⇔ Tọa độ của chúng thỏa mãn hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{c}0=a.1+b\\ -2=a.0+b\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}b=-2\\ a=2\end{array}\right.\right.\Rightarrow y=2x-2$

Đáp án cần chọn là: C

Nếu x $\ge$ 0 thì $\left|x\right|=x$ nên  $x+\left|x\right|=x+x=2x$

Nếu x < 0 thì $\left|x\right|=-x$ nên  $x+\left|x\right|=x+(-x)=0$

$y=x+\left|x\right|=\left\{\begin{array}{c}2xkhix\ge 0\\ 0khix<0\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

Xét mệnh đề i):

y = f(x) và y = g(x) là những hàm số chẵn thì

 f(x) = f(−x), g(x) = g(−x), ∀x ∈ R

Suy ra f(x) + g(x) = f(−x) + g(−x), ∀x ∈ R ⇒ S(x) = S(−x), ∀x ∈ R

f(x) g(x) = f(−x) g(−x), ∀x ∈ R ⇒ P(x) = P(−x), ∀x ∈ R

Do đó y = S(x) và y = P(x) cũng là những hàm số chẵn.

Vậy mệnh đề i) đúng.

Xét mệnh đề ii):

y = f(x) và y = g(x) là những hàm số lẻ thì

 −f(x) = f(−x), −g(x) = g(−x), ∀x ∈ R

Suy ra − (f(x) + g(x)) = f(−x) + g(−x), ∀x ∈ R ⇒ −S(x) = S(−x), ∀x ∈ R 

Do đó y = S(x) là hàm số lẻ.

Lại có f(x) g(x) = f(−x) g(−x), ∀x ∈ R ⇒ P(x) = P(−x), ∀x ∈ R nên

y = P(x) là hàm số chẵn.

Vậy mệnh đề ii) đúng.

Xét mệnh đề iii):

y = f(x) là hàm số chẵn, y = g(x) là hàm số lẻ thì f(x) = f(−x), −g(x) = g(−x), ∀x ∈ R

Suy ra −f(x) g(x) = f(−x) g(−x), ∀x ∈ R ⇒ −P(x) = P(−x), ∀x ∈ R

 Nên y = P(x) là hàm số lẻ.

Vậy mệnh đề iii) đúng.

Vậy số mệnh đề đúng là 3.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:  $y=\left|x\right|+2=\left\{\begin{array}{c}x+2khix\ge 0\\ -x+2khix<0\end{array}\right.$

Hàm số y = x + 2 luôn đồng biến và hàm số y = - x + 2 luôn nghịch biến nên ta có:

Bảng biến thiên:

Đáp án cần chọn là: C

Để ba đường thẳng phân biệt khi m ≠ 3 và m ≠ −5.

Tọa độ giao điểm B của hai đường thẳng y = mx + 3 và y = 3x + m là nghiệm của hệ  

$\left\{\begin{array}{c}y=mx+3\\ y=3x+m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=3+m\end{array}\Rightarrow B(1;3+m)\right.$

Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng y = −5(x + 1) đi qua B (1; 3 + m)

⇒ 3 + m = −5(1 + 1) ⇔ m = −13.

Đáp án cần chọn là: B

Đường thẳng d: y = ax + b đi qua điểm I (1; 2)  ⇒ 2 = a + b (1)

Ta có d ∩ Ox = A (−; 0); d ∩ Oy = B (0; b)

Suy ra OA = $\left|-\frac{b}{a}\right|=-\frac{b}{a}$ và OB= $\left|b\right|=b$ (do A, B thuộc hai tia Ox, Oy).

Tam giác OAB vuông tại O.

Do đó, ta có SΔABC =  $\frac{1}{2}$OA.OB = 4 ⇒$\frac{1}{2}.\left(-\frac{b}{a}\right).b=4$  ⇔ b² = −8a (2)

Từ (1) suy ra b = 2 − a. Thay vào (2), ta được

    (2 − a)²  = −8a ⇔ a² − 4a + 4 = −8a ⇔ a² + 4a + 4 = = 0 ⇔ a  = −2

Với a = −2 ⇒ b = 4.

Vậy đường thẳng cần tìm là d: y = −2x + 4.

Đáp án cần chọn là: A

Hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến ⇔ a > 0 ⇒ m² – 4 > 0 ⇔  $\left[\begin{array}{c}m>2\\ m<-2\end{array}\right.$

Mà m ∈ Z và m ∈ [−2017; 2017]

 ⇒ m ∈ {−2017; −2016; −2015;...; −3} ∪ {3; 4; 5;...; 2017}.

Vậy có 2. (2017 – 3 + 1) = 2.2015 = 4030 giá trị nguyên của m cần tìm.

Đáp án cần chọn là: A

Để hai đường thẳng cắt nhau ta cần có m ≠ −2.

Gọi A là giao điểm của (d) và (d′). Khi đó, tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}y=-2x+3\\ y=mx+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{2}{2+m}\\ y=\frac{2+3m}{2+m}\end{array}\right.\Rightarrow A\left(\frac{2}{2+m};\frac{2+3m}{2+m}\right)$

Đường phân giác góc thứ hai là y = –x.

Để A thuộc đường phân giác góc thứ hai thì đẳng thức y_A= −x_A phải thỏa mãn.

Điều này tương đương $\frac{2+3m}{2+m}$$=-$$\frac{2}{2+m}$  ($m\ne -2$)

⇒ 2 + 3m = −2 ⇔ m = −$\frac{4}{3}$ (TM)

Đáp án cần chọn là: A

Điểm A(x₀; y₀) là điểm cố định thuộc (d) khi và chỉ khi y₀ = 2mx₀ – m +1 ()

Tương đương (2x₀ – 1) m – y₀ + 1 = 0 ($\forall m$) (*)

Đẳng thức (*) xảy ra khi và chỉ khi  $\left\{\begin{array}{c}2x_0-1=0\\ -y_0+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_0=\frac{1}{2}\\ y_0=1\end{array}\right.$

Do đó, A($\frac{1}{2};1$) là điểm cố định mà họ đường thẳng (d) luôn đi qua.

Đáp án cần chọn là: A

- Ta có:$y=\left|x-5\right|=\left\{\begin{array}{c}x-5khix\ge 5\\ -x+5khix<5\end{array}\right.$

- Vẽ đồ thị hàm số $y=\left|x-5\right|=\left\{\begin{array}{c}x-5khix\ge 5\\ -x+5khix<5\end{array}\right.$

+ Vẽ hai đường thẳng y = x – 5 và y = - x + 5 trên cùng một hệ trục tọa độ

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải đường thẳng x = 5 của đồ thị hàm số y = x – 5 và xóa phần bên trái.

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên trái đường thẳng x = 5 của đồ thị hàm số y = x – 5 và xóa phần bên phải

Từ đó ta có đồ thị hàm số $y=\left|x-5\right|=\left\{\begin{array}{c}x-5khix\ge 5\\ -x+5khix<5\end{array}\right.$là: 

Đáp án cần chọn là: C

Thấy rằng hai đường thẳng (d₁), (d₂) không vuông góc với nhau nên đường thẳng (d) cần xác định phải vuông góc với một trong hai đường thẳng (d₁), (d₂).

Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b (a ≠ 0).

TH1: Đường thẳng (d) vuông góc với (d₁) suy ra a.1 = −1 ⇔ a = −1 hay (d) có dạng y = –x + b.

Thay tọa độ điểm A(1; 1) vào (d) suy ra b = 2. Khi đó, (d): y = –x + 2.

TH2: Đường thẳng (d) vuông góc với (d₂) suy ra a= − $\frac{1}{4}$ hay (d) có dạng

 y = −$\frac{1}{4}$x + b

Thay tọa độ điểm A (1; 1) vào (d) suy ra b =$\frac{5}{4}$  . Khi đó, (d): y =  $-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn (d): y= −x + 2; (d): y =$-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Đồ thị hàm số đi qua điểm E (2; −1) nên −1 = a.2 + b.   (1)

Gọi y = a′x + b′ là đường thẳng đi qua hai điểm O (0; 0) và N (1; 3) nên

   $\left\{\begin{array}{c}0=a\text{'}.0+b\text{'}\\ 3=a\text{'}.1+b\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a\text{'}=3\\ b\text{'}=0\end{array}\right.$

Đồ thị hàm số song song với đường thẳng ON nên $\left\{\begin{array}{c}a=a\text{'}=3\\ b\ne b\text{'}=0\end{array}\right.$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ  $\left\{\begin{array}{c}-1=a.2+b\\ a=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=3\\ b=-7\end{array}\right.\Rightarrow S=a^2+b^2=58$

Đáp án cần chọn là: D

Thay x = 1 vào phương trình đường thẳng (d1) ta có y_A = m – 1 ⇒ A (1; m − 1).

Thay x = 2 vào phương trình đường thẳng (d2) ta có y_B = 3 − 2m ⇒ B (2; 3 − 2m).

Hai điểm A và B nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi y_A.y_B  < 0

⇔ (m − 1) (3 − 2m) < 0 ⇔  $\left[\begin{array}{c}m>\frac{3}{2}\\ m<1\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Gọi A (x; 1 + 3x) ∈ (d).

Tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình 6x + y² = 5y khi và chỉ khi:

6x + (1 + 3x)² = 5(1 + 3x)

⇔ 6x + 1 + 6x + 9x² = 5 + 15x

⇔ 9x² − 3x – 4 = 0

$\iff x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{6}$

Thay vào phương trình đường thẳng (d) ta tìm được hai điểm thỏa mãn là:

$\left(\frac{1+\sqrt{17}}{6};\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)$ và  $\left(\frac{1-\sqrt{17}}{6};\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)$

Đáp án cần chọn là: D

Điểm A (-2; 0), B (0; 3) thuộc đồ thị hàm số thì tọa độ chúng thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}0=a.(-2)+b\\ 3=a.0+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b=3\\ a=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Vẽ đồ thị hàm số $y=2x-\frac{3}{2}$ trên hệ trục tọa độ:

- Cho $x=0\Rightarrow y=-\frac{3}{2}\Rightarrow A(0;-\frac{3}{2})$

- Cho $y=0\Rightarrow x=\frac{3}{4}\Rightarrow B(\frac{3}{4};0)$

Nối hai điểm A, B ta được đồ thị hàm số cần tìm

Đáp án cần chọn là: A

Giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x − 1 với trục hoành là ($\frac{1}{2}$; 0). Loại B.

Giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x − 1 với trục tung là (0; −1).Chỉ có A thỏa mãn.