IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 10 Toán Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 2. Định lý côsin và định lý sin có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 2. Định lý côsin và định lý sin có đáp án

Dạng 5: Chứng minh dạng tam giác (vuông, nhọn, tù) có đáp án

  • 847 lượt thi

  • 14 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho tam giác ABC thỏa mãn sin C = 2sin Bcos A. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Theo định lí sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)\( \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}\).

Từ đó ta có: sinC = 2sinBcosA

\( \Leftrightarrow \frac{c}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

\( \Leftrightarrow {c^2} = {b^2} + {c^2} - {a^2} \Rightarrow a = b\).

Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C.


Câu 2:

Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau:

Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 < b2 + c2;

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Từ a2 < b2 + c2 b2 + c2 – a2 > 0 cos A > 0 Góc A là góc nhọn.


Câu 3:

Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau:

Góc A vuông khi và chỉ khi a2 = b2 + c2;

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Từ a2 = b2 + c2 b2 + c2 – a2 = 0 cos A = 0 Góc A là góc vuông.


Câu 4:

Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau:

Góc A tù khi và chỉ khi a2 > b2 + c2.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Từ a2 > b2 + c2 b2 + c2 – a2 < 0 cos A < 0 Góc A là góc tù.


Câu 5:

Cho tam giác ABC có a = 4, b = 6, c = 8. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{4^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.4.6}} = \frac{{ - 1}}{4} < 0\)

Do đó góc C là góc tù.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.


Câu 6:

Cho tam giác có: a = 8, b = 11, \(\widehat C = 30^\circ \). Xét dạng của tam giác ABC.
Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C\)

\({c^2} = {8^2} + {11^2} - 2.8.11.\cos 30^\circ = 185 - 88\sqrt 3 \)\( \Rightarrow c \approx 5,71\).

Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \approx \frac{{{{11}^2} + {{5,71}^2} - {8^2}}}{{2.11.5,71}} \approx 0,71\).

\( \Rightarrow \widehat A \approx 44,5^\circ \).

Do đó: \(\widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) \approx 105,5^\circ \).

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.


Câu 7:

Cho tam giác ABC có a = 9; b = 12; c = 15. Xét dạng của tam giác ABC

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Cách 1: Dễ thấy \[{c^2} = {a^2} + {b^2}\left( {{{15}^2} = {9^2} + {{12}^2}} \right)\]

Do đó theo định lý Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại C.

Cách 2: Theo định lý côsin ta có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = 0\).

Do đó: \(\widehat C = 90^\circ \).

Vậy tam giác ABC vuông tại C.


Câu 8:

Cho tam giác ABC có a = 10, c = 5\(\sqrt 3 \), \(\widehat B = 30^\circ \). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B\)

\({b^2} = {10^2} + {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} - 2.10.5\sqrt 3 .\cos 30^\circ = 25\)

b = 5.

Nhận thấy \({5^2} + {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} = 100 = {10^2}\) hay b2 + c2 = a2.

Theo định lý Pythagore đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A.


Câu 9:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo hệ quả của định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Do đó:

Nếu b2 + c2 – a2 > 0  thì cos A > 0. Do đó góc A là góc nhọn.

Nếu b2 + c2 – a2 < 0  thì cos A < 0. Do đó góc A là góc tù.


Câu 10:

Cho tam giác ABC có: \(\widehat B = 60^\circ \), a = 12, R = 4\(\sqrt 3 \). Xác định dạng của tam giác?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}} = \frac{{12}}{{8\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra: \(\widehat A = 60^\circ \) hoặc \(\widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) \(\widehat B = 60^\circ \) nên \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ \) (loại trường hợp \(\widehat A = 120^\circ \) do không thỏa mãn định lí tổng 3 góc trong tam giác).

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.


Câu 11:

Tam giác ABC thỏa mãn \(\frac{{\sin B}}{{\sin A}} = 2.\cos C\). Khi đó:
Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\)\( \Rightarrow \frac{{\sin B}}{{\sin A}} = \frac{b}{a}\).

Lại có: \(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\) (hệ quả định lí côsin).

Để \(\frac{{\sin B}}{{\sin A}} = 2.\cos C\) \( \Leftrightarrow \frac{b}{a} = 2.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

\( \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2} \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 0 \Leftrightarrow a = c\).

Do đó tam giác ABC cân.


Câu 12:

Cho tam giác ABC thỏa mãn \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}}\). Xác định dạng của tam giác ABC.
Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Áp dụng hệ quả định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\); \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

Ta có: \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{{2abc}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}\); \(\frac{b}{{\cos B}} = \frac{{2abc}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}\)

Để \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}}\)\( \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = {a^2} + {c^2} - {b^2} \Leftrightarrow a = b\)

Do đó tam giác ABC là tam giác cân.


Câu 13:

Xác định dạng của tam giác ABC biết S = p(p – a) với S là diện tích tam giác ABC và p là nửa chu vi tam giác.
Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Nửa chu vi tam giác p = \(\frac{1}{2}\)(a + b + c).

Ta có: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \).

Lại có: S = p(p – a)

Suy ra: p(p – a) = \(\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {p\left( {p - a} \right)} = \sqrt {\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

\( \Leftrightarrow {p^2} - pa = {p^2} - pb - pc + bc\)

\( \Leftrightarrow p\left( {b + c - a} \right) - bc = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right) - bc = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right] - bc = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {a^2}} \right) - bc = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{b^2} + \frac{1}{2}{c^2} - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}.2bc - bc = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2}\).

Do đó tam giác ABC vuông tại A.


Câu 14:

Cho a2, b2, c2 là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó và a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC. Khi đó, khẳng định nào sau đây đúng?
Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC nên a, b, c > 0 \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab > 0}\\{ac > 0}\\{bc > 0}\end{array}} \right.\) (1)

a2, b2, c2 là độ dài các cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} - {c^2} > 0}\\{{b^2} + {c^2} - {a^2} > 0}\\{{a^2} + {c^2} - {b^2} > 0}\end{array}} \right.\) (2)

Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A}\\{{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B}\\{{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}\\{\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}\\{\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}\end{array}} \right.\)(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra cos A > 0 (vì bc > 0; b2 + c2 – a2 > 0)

cos B > 0 (vì ac > 0; a2 + c2 – b2 > 0); cos C > 0 (vì ab > 0; a2 + b2 – c2 > 0).

Vì cos A > 0; cos B > 0; cos C > 0 \( \Rightarrow \widehat A,\,\,\,\widehat B,\,\,\,\widehat C\) là ba góc nhọn.

Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương