10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5: Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{2} B C^{2}$

B. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$

C. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{3}{4} B C^{2}$

D. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{5}{4} B C^{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\vec{A B} . \vec{H C} = 0; \vec{A C} . \vec{H B} = 0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ;

$2 \vec{H M} = \vec{H B} + \vec{H C}$ .

Do đó: $4 \vec{M A} . \vec{M H} = 2 \vec{A M} .2 \vec{H M}$

$= (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{H B} + \vec{H C})$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A B} . \vec{H C} + \vec{A C} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} (\vec{H C} + \vec{C B}) + \vec{A C} (\vec{H B} + \vec{B C})$

$= \vec{A B} . \vec{C B} + \vec{A C} . \vec{B C}$

$= \vec{C B} (\vec{A B} - \vec{A C})$

$= \vec{C B} . \vec{C B} = C B^{2} = B C^{2}$

Vậy $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$ .

Câu 2:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{4}$

B. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = a^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = 2 a^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ và $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$ .

Ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow {(\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})}^{2} = 9 {\vec{O M}}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} + 2 (\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}) = 9 {\vec{M O}}^{2}$

Mặt khác, ta lại có:

${\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} = {(\vec{M O} + \vec{O A})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O B})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O C})}^{2}$

$= {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O B} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O C} + {\vec{O C}}^{2}$

$= 3 {\vec{M O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{O C}}^{2} + 2 \vec{M O} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

$= 3 M O^{2} + a^{2}$

Như vậy, ta được:

$3 M O^{2} + a^{2} + 2 (\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}) = 9 M O^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = 3 M O^{2} - \frac{a^{2}}{2}$

Mà M thuộc đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ nên $M O = \frac{a}{2} \Rightarrow M O^{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{4}$ .

Câu 3:

Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} - O A^{2}$

B. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} + O A^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} - 2 O A^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} + 2 O A^{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do O là trung điểm AB nên $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$ và OA = OB, hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ ngược hướng, do đó $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180 °$ .

Ta có:

$\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{O A} - \vec{O M}) (\vec{O B} - \vec{O M})$ (quy tắc ba điểm)

$= \vec{O A} . \vec{O B} - (\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{O M} + {\vec{O M}}^{2}$

$= |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) - \vec{0} . \vec{O M} + {\vec{O M}}^{2}$

$= O A . O B . \cos 180 ° - 0 + O M^{2}$

$= O M^{2} - O A^{2}$

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} - A D^{2}$

B. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$

C. $A B^{2} + C D^{2} = 2 B C^{2} + A D^{2}$

D. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + 2 A D^{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$A B^{2} + C D^{2} = {\vec{A B}}^{2} + {\vec{C D}}^{2} = {(\vec{A D} + \vec{D B})}^{2} + {(\vec{C B} + \vec{B D})}^{2}$

$= A D^{2} + 2 D B^{2} + B C^{2} + 2 \vec{D B} . \vec{A D} + 2 \vec{B D} . \vec{C B}$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{D B} + \vec{A D} - \vec{C B})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} ((\vec{A D} + \vec{D B}) - \vec{C B})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{A B} - \vec{C B})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{A B} + \vec{B C})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} . \vec{A C}$

Mà AC vuông góc với BD nên ta có: $\vec{A C} . \vec{B D} = 0$

Do đó: $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$

Câu 5:

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{4} B C^{2}$

B. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + B C^{2}$

C. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$

D. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{3} B C^{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\vec{A B} . \vec{H C} = 0; \vec{A C} . \vec{H B} = 0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$

$2 \vec{H M} = \vec{H B} + \vec{H C}$

Do đó ta có:

$4 \vec{M A} . \vec{M H} = 2 \vec{A M} .2 \vec{H M}$

$= (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{H B} + \vec{H C})$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A B} . \vec{H C} + \vec{A C} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} (\vec{H C} + \vec{C B}) + \vec{A C} (\vec{H B} + \vec{B C})$

$= \vec{A B} . \vec{C B} + \vec{A C} . \vec{B C}$

$= \vec{C B} (\vec{A B} - \vec{A C})$

$= \vec{C B} . \vec{C B} = C B^{2} = B C^{2}$

Vậy $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$ .

Ta có:

$A H^{2} = {\vec{A H}}^{2} = {(\vec{M H} - \vec{M A})}^{2} = {\vec{M H}}^{2} + {\vec{M A}}^{2} - 2 \vec{M A} . \vec{M H}$

$= M H^{2} + M A^{2} - 2. \frac{1}{4} . B C^{2}$

Do đó: $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$

Câu 6:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

B. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} - M C^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M A} . \vec{M C} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} + M B^{2} - M C^{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

3M’G’ = BC

$\Leftrightarrow 3 \vec{M' G'} = \vec{B C}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{M' G'} . \vec{B C} = {\vec{B C}}^{2}$ (nhân cả hai vế với vectơ $\vec{B C}$ ).

Do M’ là hình chiếu của M trên BC, G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC nên $\vec{M' G'} = \vec{M G}$ .

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Do đó, ta có:

$3 \vec{M G} . \vec{B C} = {\vec{B C}}^{2}$

$\Leftrightarrow (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) (\vec{M C} - \vec{M B}) = B C^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} (\vec{M C} - \vec{M B}) + (\vec{M B} + \vec{M C}) (\vec{M C} - \vec{M B}) = B C^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} (\vec{M C} - \vec{M B}) + M C^{2} - M B^{2} = B C^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} + M B^{2} - M C^{2}$ .

Câu 7:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

B. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} - G B^{2} + G C^{2}$

C. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} - G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

D. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = - 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Ta có:

$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$

$= {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} = {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}$ (quy tắc ba điểm)

$= 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + 2 \vec{M G} (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C})$

.

Câu 8:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Trên cạnh AB lấy điểm M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} + b^{2} . B M^{2} + (a^{2} + b^{2} - c^{2}) . A M . B M$

B. $c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} + b^{2} . B M^{2} + (a^{2} - b^{2} - c^{2}) . A M . B M$

C. $c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} - b^{2} . B M^{2} + (a^{2} + b^{2} - c^{2}) . A M . B M$

D. $c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} + b^{2} . B M^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2}) . A M . B M$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do M thuộc cạnh AB nên ta có:

$\vec{A M} = - \frac{A M}{B M} . \vec{B M}$

$\Leftrightarrow (\vec{A C} + \vec{C M}) = - \frac{A M}{B M} . (\vec{B C} + \vec{C M})$

$\Leftrightarrow (1 + \frac{A M}{B M}) \vec{C M} = - \frac{A M}{B M} \vec{B C} - \vec{A C}$

$\Leftrightarrow \frac{B M + A M}{B M} \vec{C M} = \frac{A M}{B M} \vec{C B} + \vec{C A}$

$\Leftrightarrow \frac{A B}{B M} \vec{C M} = \frac{A M}{B M} \vec{C B} + \frac{B M}{B M} \vec{C A}$

$\Leftrightarrow A B . \vec{C M} = A M . \vec{C B} + \vec{B M} . \vec{C A}$

$\Leftrightarrow c . \vec{C M} = A M . \vec{C B} + B M . \vec{C A}$

$\Leftrightarrow {(c . \vec{C M})}^{2} = {(A M . \vec{C B} + B M . \vec{C A})}^{2}$

$\Leftrightarrow c^{2} . C M^{2} = A M^{2} . C B^{2} + B M^{2} . C A^{2} + 2 A M . B M . \vec{C A} . \vec{C B}$

$\Leftrightarrow c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} + b^{2} . B M^{2} + 2 A M . B M . C A . C B . \cos C$

$\Leftrightarrow c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} + b^{2} . B M^{2} + 2 A M . B M . b . a . \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ (định lí côsin)

\Leftrightarrow c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} + b^{2} . B M^{2} + (a^{2} + b^{2} - c^{2}) . A M . B M

.

Câu 9:

Cho MN là một đường kính bất kì của đường tròn tâm O bán kính R. Cho A là một điểm cố định và OA = d. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{A M} . \vec{A N} = d^{2} + R^{2}$

B. $\vec{A M} . \vec{A N} = d^{2} - R^{2}$

C. $\vec{A M} . \vec{A N} = 2 d^{2} + R^{2}$

D. $\vec{A M} . \vec{A N} = d^{2} + 2 R^{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Cho MN là một đường kính bất kì của đường tròn tâm O bán kính R. Cho A là một điểm (ảnh 1)

Ta có: $\vec{A M} . \vec{A N} = (\vec{O M} - \vec{O A}) . (\vec{O N} - \vec{O A})$

$= \vec{O M} . \vec{O N} - \vec{O M} . \vec{O A} - \vec{O A} . \vec{O N} + {\vec{O A}}^{2}$

$= \vec{O M} . \vec{O N} - (\vec{O M} + \vec{O N}) . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2}$

Vì MN là đường kính của đường tròn O, bán kính R nên O là trung điểm của MN, do đó ta có:

+) $\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{0}$ ;

+) $\vec{O M}, \vec{O N}$ là hai vectơ ngược hướng và OM = ON = R.

Do đó: $\vec{A M} . \vec{A N}$ $= |\vec{O M}| . |\vec{O N}| . \cos 180 ° - \vec{0} . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2}$

$= R . R . (- 1) + d^{2} = d^{2} - R^{2}$ .

Câu 10:

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = A B^{2}$

B. $\vec{A E} . \vec{A C} - \vec{B E} . \vec{B D} = A B^{2}$

C. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = - A B^{2}$

D. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = 2 A B^{2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn (ảnh 1)

Vì AB là đường kính nên $\hat{A D B} = 90 °$ , $\hat{A C B} = 90 °$

Do đó AD ⊥ BD và AC ⊥ BC hay AD ⊥ BE và AE ⊥ BC.

Suy ra $\vec{A E} . \vec{B C} = 0, \vec{B E} . \vec{A D} = 0$

Ta có:

$\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A E} (\vec{A B} + \vec{B C}) + \vec{B E} (\vec{B A} + \vec{A D}) = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A E} . \vec{A B} + \vec{A E} . \vec{B C} + \vec{B E} . \vec{B A} + \vec{B E} . \vec{A D} = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A E} . \vec{A B} + \vec{B E} . \vec{B A} = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A B} . (\vec{A E} - \vec{B E}) = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A B} . (\vec{E B} - \vec{E A}) = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A B} = A B^{2}$ $\Leftrightarrow {\vec{A B}}^{2} = A B^{2}$ (luôn đúng)

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương