Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Dựa vào các điểm A, B, C, D, O, M, N đã cho, hãy:

    a) Kể tên hai vec tơ cùng phương với $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ , hai vec tơ cùng hướng với $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ , hai vec tơ ngược hướng với $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ (các vec tơ kể ra này đều khác $\overrightarrow{0}$)

    b) Chỉ ra một vec tơ bằng vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{MO} }$) , một vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$)

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF với A, D, F không thẳng hàng. Dựng các vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{EH} }$ và $\overrightarrow{\mathrm{FG}}$ bằng vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ Chứng minh tứ giác CDGH là hình bình hành.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Nối AF và CE, hai đường thẳng này cắt đường chéo BD lần lượt tại M và N. Chứng minh $\overrightarrow{\mathrm{DM} }=\overrightarrow{\mathrm{MN} }=\overrightarrow{\mathrm{NB} }$

Cho bốn điểm A, B, C, D. Tìm các vec tơ:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}) \overrightarrow{\mathrm{u}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}} \\ \mathrm{b}) \overrightarrow{\mathrm{v}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\mathrm{DA} \end{gathered}$$

Cho lục giác đều ABCDEF và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{\mathrm{MA}} + \overrightarrow{\mathrm{MC}} +\overrightarrow{\mathrm{ME}} = \overrightarrow{\mathrm{MB}} +\overrightarrow{\mathrm{MD}} +\overrightarrow{\mathrm{MF}}$

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện: $\overrightarrow{\mathrm{MA}}-\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{0}$

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC. BE cắt trung tuyến AM tại N. Tính: $\overrightarrow{\mathrm{AE}} +\overrightarrow{\mathrm{AF}} +\overrightarrow{\mathrm{AN}} +\overrightarrow{\mathrm{MN}}$

Cho hai điểm A và B. Điểm M thỏa mãn điều kiện $\left|\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{MA}}-\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right|$ Chứng minh rằng: OM = AB/2, trong đó O là trung điểm của AB.

Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{v}} = \overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}-2\overrightarrow{\mathrm{MC}}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy xác định điểm D sao cho $\overrightarrow{\mathrm{CD}} = \overrightarrow{\mathrm{v}}$ .

Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như sau:

$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=3\overrightarrow{\mathrm{MC}}, \overrightarrow{\mathrm{NC}} = 3\overrightarrow{\mathrm{NA}, }\overrightarrow{\mathrm{PA}} = 3\overrightarrow{\mathrm{PB}}$

    a) Chứng minh $2\overrightarrow{\mathrm{OM}} = 3\overrightarrow{\mathrm{OC}} - \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ với mọi điểm O.

    b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của CD. Hãy phân tích theo hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}} = \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{v}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}$

Cho các điểm A, B, C trên trục $(\mathrm{O};\overrightarrow{\mathrm{e}})$ có tọa độ lần lượt là 5; -3; -4. Tính độ dài đại số của $\overrightarrow{\mathrm{AB}}. \overrightarrow{\mathrm{BA}}. \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

ho hình thoi ABCD tâm O có AC = 8, BD = 6. Chọn hệ tọa độ $(\mathrm{O};\overrightarrow{\mathrm{i}};\overrightarrow{\mathrm{j}})$ sao cho $\overrightarrow{\mathrm{i}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ cùng hướng, $\overrightarrow{\mathrm{j}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ cùng hướng

    a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi;

    b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm của tam giác ABC;

    c) Tìm tọa độ điểm đối xứng I' của I qua tâm O. Chứng minh A, I', D thẳng hàng

    d) Tìm tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \overrightarrow{\mathrm{BD}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

Cho các điểm A'(-4;1), B'(2;4) và C'(2; - 2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC.

    a) Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC;

    b) Chứng minh rằng các trọng tâm của các tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau.

Cho $\overrightarrow{\mathrm{a}} = (2;-2)$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}} = (1;4)$

    a) Tính tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} ; \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}} \mathrm{và} 2\overrightarrow{\mathrm{a}}+3\overrightarrow{\mathrm{b}}$

    b) Hãy phân tích vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{c}} = (5;0)$ theo hai vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{a} }\mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{b}}$

 Cho $\overrightarrow{\mathrm{a}} = (2;1), \overrightarrow{\mathrm{b}} = (3;4), \overrightarrow{\mathrm{c}}=(-7;2)$

     a) Tìm tọa độ của vec tơ $\overrightarrow{\mathrm{u}} = 3\overrightarrow{\mathrm{a}}+2\overrightarrow{\mathrm{b}}-4\overrightarrow{\mathrm{c}}$

    b) Tìm tọa độ vec tơ x sao cho: $\overrightarrow{\mathrm{x}}+\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}$

    c) Tìm các số k và h sao cho: $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{h}\overrightarrow{\mathrm{b}}$

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{MD}} + \overrightarrow{\mathrm{ME}} + \overrightarrow{\mathrm{MF}} = \frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{MO}}$ 

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{\mathrm{RJ} } + \overrightarrow{\mathrm{IQ} } + \overrightarrow{\mathrm{PS} } = \overrightarrow{0 }$

Cho ba lực: $\overrightarrow{\mathrm{F}1} = \overrightarrow{\mathrm{MA}}, \overrightarrow{\mathrm{F}2} = \overrightarrow{\mathrm{MB}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{F}3} = \overrightarrow{\mathrm{MC}}$cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của F₁ và F₂ đều là 100 N và góc AMB = 60^ο

    a) Đặt $\overrightarrow{\mathrm{ME}} = \overrightarrow{\mathrm{MA}} + \overrightarrow{\mathrm{MB}}$ Tính độ dài của đoạn ME

    b) Tìm cường độ và hướng của lực F₃

Cho tứ giác ABCD.Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA.

Chứng minh rằng:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}) \overrightarrow{\mathrm{MN}} = \overrightarrow{\mathrm{QP}} \\ \mathrm{b}) \overrightarrow{\mathrm{MP}} = \overrightarrow{\mathrm{MN} }+ \overrightarrow{\mathrm{MQ}} \end{gathered}$$

Xét xem ba điểm sau có thẳng hàng không?

    a) A(2; - 3), B(5;1) và C(8; 5);

    b) M(1;2), N(3; 6) và P(4;5).

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

    a) Với điểm M tùy ý, hãy chứng minh: $\overrightarrow{\mathrm{MA}} +\overrightarrow{\mathrm{MC}} = \overrightarrow{\mathrm{MB} }+\overrightarrow{\mathrm{MD}}$

    b) Chứng minh rằng: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}| = |\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$

 Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm của BI.

    Chứng minh rằng: $$\begin{gathered} \mathrm{a}) \overrightarrow{\mathrm{AK}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AI}} \\ \mathrm{b}) \overrightarrow{\mathrm{AK}} = \frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \end{gathered}$$

 Chọn khẳng định đúng:

Nếu hai vectơ bằng nhau thì chúng

Số các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 6 điểm phân biệt cho trước là:

Số các vectơ có điểm đầu là một trong 5 điểm phân biệt cho trước và có điểm cuối là một trong bốn điểm phân biệt cho trước là:

Chọn khẳng định đúng trong các hệ thức sau:

Cho các vectơ có cùng độ dài bằng 5 và cùng phương, hãy chọn khẳng định đúng.

 Nếu $\overrightarrow{\mathrm{a}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{b}}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{a}}$ là đối vectơ đối của $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ thì chúng:

  Hãy chọn khẳng định sai.

Vectơ tổng $\overrightarrow{\mathrm{MN}} + \overrightarrow{\mathrm{PQ}} + \overrightarrow{\mathrm{RN}} +\hspace{0.17em}\overrightarrow{\mathrm{NP}} + \overrightarrow{\mathrm{QR}}$ bằng:

Cho tam giác đều ABC. Hãy chọn đẳng thức đúng.

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Hãy chọn đẳng thức đúng.

Cho tam giác ABC, E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = BC/4. Hãy chọn đẳng thức đúng.

Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC, M là một điểm tùy ý. Điểm G là trong tâm tam giác ABC nếu:

Hãy chọn khẳng định sai

Cho hai điểm A, B. Điểm M thuộc đoạn thẳng AB nếu:

Hãy chọn khẳng định sai.

Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Điểm D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD khi và chỉ khi:

Hãy chọn khẳng định sai.

Xét trong mặt phẳng Oxy Cho A(-1; 0), B(0; 5), C(3; 1), D(1; -5) và M là một điểm tùy ý. Tọa độ điểm G có tính chất $\overrightarrow{\mathrm{MA}} + \overrightarrow{\mathrm{MB}} + \overrightarrow{\mathrm{MC} }+\hspace{0.17em}\overrightarrow{\mathrm{MD}} =4\overrightarrow{\mathrm{MG}}$ là:

 Xét trong mặt phẳng Oxy. Cho $\overrightarrow{\mathrm{a}} = (1;2), \overrightarrow{\mathrm{b}} = (2;3), \overrightarrow{\mathrm{c}}=(-6;-10)$ . Hãy chọn khẳng định đúng

Cho ba điểm A(0; 3), B(1; 5), C(-3; -3). Chọn khẳng định đúng.

Cho tam giác ABC có A(1; -3), B(2; 5), C(0; 7). Trọng tâm của tam giác ABC là điểm có tọa độ:

Cho hai điểm A(3; -5), B(1; 7). Chọn khẳng định đúng.

Cho $\overrightarrow{\mathrm{a}} = (2;-4), \overrightarrow{\mathrm{b}} = (-5;3)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}} =2\overrightarrow{\mathrm{a}} - \overrightarrow{\mathrm{b}}$ là:

Cho tam giác ABC, trung điểm của các cạnh BC, CA và AB có tọa độ lần lượt là M(1; -1), N(3; 2), P(0; -5). Tọa độ của điểm A là:

Cho hình bình hành ABCD có A(-2; 3), B(0; 4), C(5; -4). Tọa độ đỉnh D là:

Cho M(5; -3). Kẻ MM₁ vuông góc với Ox, MM₂ vuông góc với Oy. Khẳng định nào đúng?

Cho bốn điểm A(0; 1), B(-1; -2), C(1; 5), D(-1; -1) Khẳng định nào đúng?

$\overrightarrow{\mathrm{i}} \mathrm{và} \overrightarrow{\mathrm{j}}$ là hai vectơ đơn vị của hệ trục tọa độ $(\mathrm{O};\overrightarrow{\mathrm{i}};\overrightarrow{\mathrm{j}})$ . Tọa độ của vectơ $2\overrightarrow{\mathrm{i}}+\overrightarrow{\mathrm{j}}$ là:

 Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ, biết tọa độ hai đỉnh là A(-3; 5), B(0; 4). Tọa độ của đỉnh C là:

 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác đều OAB có AB = 2, AB song song với Ox. Điểm A có hoành độ và tung độ dương. Ta có:

    Hãy chọn khẳng định đúng.

Ba lực $\overrightarrow{{\mathrm{F}}_1},\overrightarrow{{\mathrm{F}}_2},\overrightarrow{{\mathrm{F}}_3},$ tác dụng vào một vật có điểm đặt là O và đôi một tạo với nhau góc 120^ο. Với lực F, kí hiệu $\left|\overrightarrow{\mathrm{F}}\right|$ là cường độ của lực hay độ dài của vectơ lực. Vật sẽ chuyển động nếu:

 Hãy chọn khẳng định sai.