Đáp án cần chọn là: A

Hàm số y = −x² + 2x + 1 có a = −1 < 0; $-\frac{b}{2a}=1$ ⇒ Hàm số đồng biến trên (−∞;1) và nghịch biến trên (1;+∞).

BBT

:

Dựa vào BBT ta thấy M = 2 và m = 1 ⇒ T = M² + m² = 2² +1² = 5.

Đáp án cần chọn là: A

Hàm số $y=x^2-3x$ có a = 1 > 0 nên bề lõm hướng lên

Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\in \left[0;2\right]$ 

Vậy  $\left\{\begin{array}{c}m=\min y=f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}\\ M=\max y=\max \left\{f\left(0\right);f\left(2\right)\right\}=\max \left\{0,-2\right\}=0\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có  $y=-\sqrt{2}{x}^2+4x=-\sqrt{2}{(x-\sqrt{2})}^2+2\sqrt{2}\le 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow y_{\max }=2\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có $x=-\frac{b}{2a}=\frac{2m}{2m}=1,$ suy ra y = -4m – 2

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng – 10

$\iff \left\{\begin{array}{c}m>0\\ -4m-2=-10\end{array}\right.\iff m=2$

Đáp án cần chọn là: D

Parabol có hệ số theo x² là 4 > 0 nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh x_I =$\frac{m}{2}$ .

Nếu $\frac{m}{2}$ < −2 ⇔ m < −4 thì x_I < − 2 < 0. Suy ra f(x) đồng biến trên đoạn [−2; 0].

Do đó $\underset{\left[-2;0\right]}{\min }$f(x) = f(−2) = m² + 6m + 16.

Theo yêu cầu bài toán: m²  + 6m + 16 = 3 (vô nghiệm).

Nếu −2 ≤ $\frac{m}{2}$ ≤ 0 ⇔ −4 ≤ m ≤ 0 thì x_I ∈ [0; 2].

Suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. Do đó f(x) = f($\frac{m}{2}$) = −2m.

Theo yêu cầu bài toán −2m = 3 ⇔ m = − $\frac{3}{2}$ (thỏa mãn −4 ≤ m ≤ 0).

Nếu $\frac{m}{2}$ > 0 ⇔ m > 0 thì x_I > 0 > −2. Suy ra f(x) nghịch biến trên đoạn [−2; 0].

Do đó $\underset{\left[-2;0\right]}{\min }$f(x) = f(0) = m² – 2m.

Theo yêu cầu bài toán: m² − 2m = 3 ⇔  $\left[\begin{array}{c}m=-1\left(loai\right)\\ m=3\left(thoaman\right)\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Vậy T = $3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Bề lõm hướng xuống nên a < 0.

Hoành độ đỉnh parabol x = -$\frac{b}{2a}$< 0 nên b < 0.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c > 0.

Đáp án cần chọn là: D

Gọi A và B là hai giao điểm cuả (P) với trục Ox có hoành độ lần lượt là −1 và 2. Suy ra A (−1; 0), B (2; 0).

Gọi C là giao điểm của (P) với trục Oy có tung độ bằng −2. Suy ra C (0; −2).

Theo giả thiết, (P) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có

$\left\{\begin{array}{c}a-b+c=0\\ 4a+2b+c=0\\ c=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=-1\\ c=-2\end{array}\right.$

Vậy (P):  $y=x^2-x-2$

Đáp án cần chọn là: A

2x² − 2x + 1 – m = 0 ⇔ 2x² − 2x = m − 1

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của Parabol 

(P): y = 2x² − 2x và đường thẳng y = m − 1 có tính chất song song với trục hoành.

Parabol (P) có tọa độ đỉnh  $\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)=\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi:

$m-1>-\frac{1}{2}\iff m>\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Dễ thấy rằng phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt vì 

a.c = 1.(−1) < 0 và hai giao điểm có cùng tung độ và có hoành độ đối xứng với nhau qua trục đối xứng  $x=\frac{m^2+1}{2}$

Từ đây suy ra T = x₁ + x₂ = m² + 1 ≥ 1 ∀m

Suy ra T_min = (x₁ + x₂)_min = 1 và đạt được khi m = 0.

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là x² − 4x + 3 = mx + 3

⇔ $x\left[x-\left(m+4\right)\right]=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=m+4\end{array}\right.$

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi 4 + m ≠ 0 ⇔ m ≠ −4.

Khi đó, ta có  ⇔ 0 + (4 + m)³ = 8 ⇔ 4 + m = 2 ⇔ m = −2.

Đáp án cần chọn là: A

Có:  Δ′ = (m + 1)² – 1 = m (m + 2)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ m (m + 2) > 0 ⇔  $\left[\begin{array}{c}m>0\\ m<-2\end{array}\right.$

Khi đó dạng đồ thị hàm số y = x² – 2 (m + 1) x + 1 chỉ có thể là:

Quan sát đồ thị ta thấy:  

Yêu cầu bài toán tương đương f(0) . f(1) < 0 ⇔ 1.(−2m) < 0 ⇔ m > 0

Kết hợp điều kiện có hai nghiệm phân biệt ta được m > 0

Đáp án cần chọn là: B

Ta có x² − 5x + 7 + 2m = 0 ⇔ x² − 5x + 7 = −2m. (∗)

Phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P): y = x² − 5x + 7 và đường thẳng y = −2m (song song hoặc trùng với trục hoành).

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = x² − 5x + 7 trên [1; 5] như sau:

Dựa vào bảng biến ta thấy x ∈ [1; 5] thì $y\in \left[\frac{3}{4};7\right]$ 

Do đó để phương trình (∗) có nghiệm

$x\in \left[1;5\right]\iff \frac{3}{4}\le -2m\le 7\iff -\frac{3}{8}\ge m\ge -\frac{7}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có f(|x|) = f(x) nếu x ≥ 0. Hơn nữa hàm f(|x|) là hàm số chẵn. Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên đồ thị y = f(x) phía bên phải trục tung.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) phía bên phải trục tung qua trục tung.

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y = f(|x|) như hình vẽ.

Phương trình

 f(|x|) – 1 = m ⇔ f(|x|) = m + 1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(|x|) và đường thẳng y = m + 1 (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán ⇔ m + 1 = 3 ⇔ m = 2.

Đáp án cần chọn là: C

Hàm số $y=-x^2-4x+3$ có a = -1 < 0 nên bề lõm hướng xuống

Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-2\notin \left[0;4\right]$ 

Ta có  $\left\{\begin{array}{c}f\left(4\right)=-29\\ f\left(0\right)=3\end{array}\right.\Rightarrow m=\min y=f\left(4\right)=-29;M=\max y=f\left(0\right)=3$

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là x² − 4x + 3 = mx + 3

$\iff x\left[x-(m+4)\right]=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=m+4\end{array}\right.$

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi 4 + m ≠ 0 ⇔ m ≠ −4.

Với x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ A (0; 3) ∈ Oy.

Với x = 4 + m ⇒ y = m² + 4m + 3 ⇒ B (4 + m; m² + 4m + 3)

Gọi H là hình chiếu của B lên OA. Suy ra BH = |x_B| = |4 + m|.

Theo giả thiết bài toán, ta có  

$S_{\Delta OAB}=\frac{9}{2}\iff \frac{1}{2}OA.BH=\frac{9}{2}\iff \frac{1}{2}\mathrm{.3.}\left|m+4\right|=\frac{9}{2}$

$\iff \left|m+4\right|=3\iff \left[\begin{array}{c}m=-1\\ m=-7\end{array}\right.$