Đáp án cần chọn là: A

Trục đối xứng  $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{4}$ 

Đáp án cần chọn là: D

Parabol (P) có hoành độ đỉnh  $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2.3}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow y=3.{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2.\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$

Vậy đỉnh  $I(\frac{1}{3};\frac{2}{3})$

Đáp án cần chọn là: D

Nhận xét:

Bảng biến thiên có bề lõm hướng xuống. Loại đáp án A và B.

Đỉnh của parabol có tọa độ là ($-\frac{1}{2};\frac{3}{2}$). Xét các đáp án còn lại, đáp án D thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Hàm số $y=x^2-4x+3$ có a = 1 > 0 nên bề lõm hướng lên

Hoành độ đỉnh  $x=-\frac{b}{2a}=2\notin \left[-2;1\right]$

Ta có  $\left\{\begin{array}{c}f(-2)=15\\ f\left(1\right)=0\end{array}\right.\Rightarrow m=\min y=f\left(1\right)=0;M=\max y=f(-2)=15$

Đáp án cần chọn là: D

- Ta có a = −3 < 0 và x= $-\frac{b}{2a}$= 1 ⇒ I (1, 2)

- Đường thẳng x = 1 là trục đối xứng.

- Đồ thị hàm số cắt trục Oy ⇒ x = 0 ⇒ y = −1.

Đáp án cần chọn là: D

 Ta có y = x² − 4x + 5 = (x − 2)² + 1 ≥ 1 ⇒ y_min = 1 ⇒ y_min = 1

Đáp án cần chọn là: B

Ta có $-\frac{b}{2a}=2$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞) và đồng biến trên khoảng (−∞; 2). Do đó A đúng, B sai.

Đáp án C đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞; −1).

Đáp án D đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3; +∞).

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án A: $a=\sqrt{2}>0$ và $-\frac{b}{2a}=0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$

Đáp án B: $a=-\sqrt{2}<0$ và $-\frac{b}{2a}=0$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$

Đáp án C: $y=\sqrt{2}(x^2+2x+1)=\sqrt{2}{x}^2+2\sqrt{2}x+\sqrt{2}$ có $a=\sqrt{2}>0$ và $-\frac{b}{2a}=-1$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ nhưng $(-\infty ;0)\not\subset (-\infty ;-1)$ nên hàm số không nghịch biến trên  $(-\infty ;0)$

Đáp án D: $y=-\sqrt{2}(x^2+2x+1)=-\sqrt{2}{x}^2-2\sqrt{2}x-\sqrt{2}$ có $a=-\sqrt{2}<0$ và $-\frac{b}{2a}=-1$ nên hàm số nghịch biến trên  $(-1;+\infty )$

Vậy chỉ có đáp án A đúng

Đáp án cần chọn là: C

Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (−∞; 3) nên đồng biến trên khoảng đó. Do đó A đúng.

Dựa vào đồ thị ta thấy (P) có đỉnh có tọa độ (3; 4). Do đó B đúng.

(P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ −1 và 7. Do đó D đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì C là đáp án sai.

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với trục hoành là x² + 4x + 4 = 0

⇔ (x + 2)² = 0 ⇔ x = −2.

Vậy (P) có 1 điểm chung với trục hoành.

Đáp án cần chọn là: A

Tịnh tiến đồ thị hàm số y = 2x² sang trái 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số 

y = 2.(x + 3)².

Đáp án cần chọn là: D

+ a < 0 nên loại đáp án A, B.

+ c > 0 nên giao điểm của đồ thị với trục tung có tung độ dương, chọn đáp án D.

Ngoài ra các em cũng có thể nhận xét vì b > 0, a < 0 nên hoành độ đỉnh $-\frac{b}{2a}>0$  và đáp án D thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Bề lõm hướng lên nên a > 0.

Hoành độ đỉnh parabol x = -$\frac{b}{2a}$ > 0 nên b < 0. 

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c > 0.

Đáp án cần chọn là: A

Bề lõm hướng lên nên a > 0.

Hoành độ đỉnh parabol x = -$\frac{b}{2a}$ nên b < 0.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c < 0.

Đáp án cần chọn là: C

Bề lõm hướng xuống nên a < 0.

Hoành độ đỉnh parabol x = - $\frac{b}{2a}$> 0 nên b > 0.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c < 0.

Đáp án cần chọn là: D

Ví dụ trường hợp đồ thị có đỉnh nằm phía trên trục hoành thì khi đó đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

(Hoặc xét phương trình hoành độ giao điểm ax² + bx + c = 0, phương trình này không phải lúc nào cũng có hai nghiệm).

Đáp án cần chọn là: B

Nhận xét:

Parabol có bề lõm hướng lên. Loại đáp án A, D.

Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm. Xét các đáp án B và C, đáp án B thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: D

Nhận xét:

Parabol có bề lõm hướng xuống. Loại đáp án A, C.

Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm (3; 0) và (−1; 0). Xét các đáp án B và D, đáp án D thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có M ∈ (P) ⇒ c = 4

Trục đối xứng −$\frac{b}{2a}$ = 1 ⇒ b = −4.

Vậy (P): y = 2x² − 4x + 4.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có đỉnh của (P) có tọa độ

$\left\{\begin{array}{c}x=-\frac{b}{2a}=3\\ y=9a+3b+3=-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}6a+b=0\\ 9a+3b=-5\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}a=\frac{5}{9}\\ b=-\frac{10}{3}\end{array}\right.\right.\right.$

Suy ra phương trình của Parabol (P) là:$y=\frac{5}{9}{x}^2-\frac{10}{3}x+3$

Đáp án cần chọn là: D

Vì (P) có đỉnh $I(-\frac{1}{2};-\frac{11}{4})$ nên ta có $\left\{\begin{array}{c}-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}\\ -\frac{\Delta }{4a}=-\frac{11}{4}\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{c}b=a\\ \Delta =11a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}3=a\\ 9+8a=11a\end{array}\right.\iff a=3$

Vậy (P):  $y=3x^2+3x-2$

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình (P) có dạng $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ 

Ba điểm A, B, C thuộc (P) nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình (P)

Do đó, ta có hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{c}2=a.0+b.0+c\\ 5=a.{(-2)}^2+b.(-2)+c\\ 8=a{.3}^2+b.3+c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=\frac{7}{10}\\ b=-\frac{1}{10}\\ c=2\end{array}\right.$

Suy ra phương trình của (P) là:$y=\frac{7}{10}{x}^2-\frac{1}{10}x+2$

Đáp án cần chọn là: B

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giảo điểm của đồ thị hàm số 

y = |x² − 3x + 2| với đường thẳng y = m có tính chất song song với trục hoành.

Ta có y = |x² − 3x + 2|= $\left\{\begin{array}{c}{x}^2-3x+2(x^2-3x+2\ge 0)\\ -x^2+3x-2(x^2-3x+2<0)\end{array}\right.$

Đồ thị hàm số y = |x² − 3x + 2| được vẽ như sau:

+ Vẽ đồ thị hàm số y = x² − 3x + 2

+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành và xóa phần đồ thị dưới trục hoành đi.

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 0 < m <$\frac{1}{4}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Ta có  $y=\left|f\left(x\right)\right|\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right);f\left(x\right)\ge 0\\ -f\left(x\right);f\left(x\right)<0\end{array}\right.$

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên đồ thị y = f(x) phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành (bỏ phần dưới).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y =| f(x)| như hình vẽ.

Phương trình |f(x)| = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 

y = |f(x)| và đường thẳng y = m (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán ⇔ 0 < m < 1.

Đáp án cần chọn là: C

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2-4\left|x\right|+3=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}{x}^2-4x+3(x\ge 0)\\ \frac{1}{2}{x}^2+4x+3(x<0)\end{array}\right.$

 và đường thẳng y = m² có tính chất song song với trục hoành.

Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2-4\left|x\right|+3$ được vẽ như sau :

+ Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.

+ Giữ nguyên nhánh bên phải trục tung của đồ thị hàm y = $\frac{1}{2}$x² − 4x + 3 và xóa nhánh bên trái trục tung.

+ Giữ nguyên nhánh bên trái trục tung của đồ thị hàm số y =$\frac{1}{2}$ x² + 4x + 3 và xóa nhánh bên phải trục tung của đồ thị hàm số đó.

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m² = 3 ⇔ m = ±$\sqrt{3}$.

Đáp án cần chọn là: C

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 

y = x² − 2x + |2x − 3| và đường thẳng y = m có tính chất song song với trục hoành.

Đồ thị hàm số

 y = x² − 2x + |2x – 3| =  $\left\{\begin{array}{c}{x}^2-2x+2x-3=x^2-3\left(P_1\right)khix\ge \frac{3}{2}\\ x^2-2x-2x+3=x^2-4x+3\left(P_2\right)khix<\frac{3}{2}\end{array}\right.$

được vẽ như sau:

+ Vẽ lần lượt hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ

+ Xóa đi nhánh bên trái điểm  $x=\frac{3}{2}$ của đồ thị hàm số y = x² − 3

+ Xóa đi nhánh bên phải điểm  $x=\frac{3}{2}$ của đồ thị hàm số y = x² − 4x + 3

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (P1) và (P2) là: $\left(\frac{3}{2};-\frac{3}{4}\right)$ 

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m=-\frac{3}{4}$ .

Đáp án cần chọn là: D

Dễ thấy rằng đồ thị của (P) có đỉnh đặt trên đường thẳng y = 1 và hệ số m < 0.

Do đó, phương trình của (P) có dạng y = m(x − u)² + 1  (m < 0).

(P)đi qua các điểm A (2; 0), B (−2; −8) nên có hệ phương trình

   $\left\{\begin{array}{c}m{(2-u)}^2+1=0\\ m{(-2-u)}^2+1=8\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}m=-\frac{1}{{(2-u)}^2}\\ m=-\frac{9}{{(-2-u)}^2}\end{array}\right.$                             

$\Rightarrow -\frac{1}{{(2-u)}^2}=-\frac{9}{{(-2-u)}^2}$

$\Rightarrow {(u+2)}^2=9{(2-u)}^2\iff 8u^2-40u+32=0\iff \left[\begin{array}{c}u=1\\ u=4\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}u=1\\ m=-1\left(tm\right)\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}u=4\\ m=-\frac{1}{4}\left(tm\right)\end{array}\right.\end{array}\right.$

Từ đây có hai phương trình (P) thỏa mãn là:  $y=-x^2+2x,y=-\frac{1}{4}{x}^2+2x-3$

Suy ra a² + b² + c² = 5 hoặc a² + b² + c² =  $\frac{209}{16}$

Đáp án cần chọn là: C

Từ giả thiết, ta có hệ  $\left\{\begin{array}{c}-\frac{b}{2a}=-2\\ 4a-2b+c=5\\ a+b+c=-1\end{array}\iff a=-\frac{2}{3}\right.;b=-\frac{8}{3};c=\frac{7}{3}$

$\Rightarrow S=a^2+b^2+c^2=13$

Đáp án cần chọn là: C

Yêu cầu bài toán tương đương tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (P):

y = 2x² – 2(m+1)x + m² − 2m + 4 luôn nằm phía trên trên trục hoành.

Suy ra với giá trị x₀ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho lớn hơn hoặc bằng 0.

Parabol có hệ số a = 2 > 0 nên có bề lõm hướng lên trên đạt GTNN tại đỉnh parabol

$x=\frac{m+1}{2}$

Điều này tương đương với  $y\left(\frac{m+1}{2}\right)\ge 0$

$\iff 2{\left(\frac{m+1}{2}\right)}^2-2(m+1)\left(\frac{m+1}{2}\right)+m^2-2m+4\ge 0$

$\iff \frac{1}{2}(m^2-6m+7)\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}m\ge 3+\sqrt{2}\\ m\le 3-\sqrt{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Đặt t = x + 2 ⇒ x = t − 2, từ đẳng thức trên ta suy ra f(t) = (t − 2)² − 3(t − 2) + 2 = t² − 7t + 12.

Suy ra f(x) = x² − 7x + 12 = ${\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\ge -\frac{1}{4}$ ∀x∈R

Vậy Min f(x) = − $\frac{1}{4}$ khi x = $\frac{7}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x = $-\frac{b}{2a}$ =1.

Khi đó max y = f(1) = m − 4

Để max y = 6 thì m – 4 = 6 ⇔ m = 10

Đáp án cần chọn là: A

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 tại x = 2 nên $\left\{\begin{array}{c}a>0\\ -\frac{b}{2a}=2\\ -\frac{\Delta }{4a}=4\end{array}\right.$ 

Đồ thị hàm số đi qua điểm A (0; 6) nên ta có c = 6

Từ đó ta có hệ  $\left\{\begin{array}{c}a>0\\ -\frac{b}{2a}=2\\ -\frac{\Delta }{4a}=4\\ c=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a>0\\ b=-4a\\ b^2-4ac=-16a\\ c=6\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}a>0\\ b=-4a\\ 16a^2-8a=0\\ c=6\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=\frac{1}{2}\\ b=-2\\ c=6\end{array}\right.$

$\Rightarrow P=abc=-6$

Đáp án cần chọn là: A

Xét phương trình hoành độ giao điểm x² − 2x + m – 1 = 0 (∗).

Để đồ thị hàm số y = x² − 2x + m − 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Đáp án cần chọn là: A

Điểm A (x₀; y₀) là điểm cố định của họ (P_m) khi và chỉ khi

$y_0=x_0^2+(2-m)x_0+3m\iff x_0^2+2x_0-y_0-m(x_0-3)=0,\forall m$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_0^2+2x_0-y_0=0\\ x_0-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_0=3\\ y_0=15\end{array}\right.$

Suy ra A (3; 15)

Đáp án cần chọn là: D

${\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^2=\frac{a^2}{b^2}+2\frac{a}{b}.\frac{b}{a}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}={\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^2-2$

Biến đổi biểu thức P về dạng

$P=3{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^2-6-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=3{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^2-8\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-6$

Đặt  $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow t^2={\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^2$

Áp dụng bất đẳng thức ${(x+y)}^2\ge 4xy\forall x,y$ với hai số $\frac{a}{b}$ và $\frac{b}{a}$ ta có:

$t^2={\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}^2\ge 4.\frac{a}{b}\frac{b}{a}=4\iff \left|t\right|\ge 2\iff \left[\begin{array}{c}t\ge 2\\ t\le -2\end{array}\right.$

Biểu thức P trở thành  $P=3t^2-8t-6$

Trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{3}$ và hệ số a = 3 >0

Suy ra hàm số $f\left(t\right)=3t^2-8t-6$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{4}{3}\right)$ và đồng biến trên khoảng  $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$

BBT:

Từ đây suy ra hàm số f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 2

Ta có f(2) = −10.

Vậy min P = min f(t) = −10.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có a = −1 < 0 nên hàm số y tăng trên (−∞; 2) và y giảm trên (2; +∞) nên chọn phương án A.