10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} (m - 1) x + y = 3 m - 4 \\ x + (m - 1) y = m \end{matrix}$ . Hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với tham số m khi hệ có nghiệm duy nhất là:

A. $A . y = x - 2$

B. y = x + 2

C. y = −x – 2

D. y = −x + 2

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $D = |\begin{matrix} m - 1 & 1 \\ 1 & m - 1 \end{matrix}| = m^{2} - 2 m + 1 - 1 = m^{2} - 2 = m (m - 2)$

$D_{x} = |\begin{matrix} 3 m - 4 & 1 \\ m & m - 1 \end{matrix}| = (3 m - 4) (m - 1) - m = m^{2} - 8 m + 4 = (m - 2) (2 m - 3)$

$D_{y} = |\begin{matrix} m - 1 & 3 m - 4 \\ 1 & m \end{matrix}| = m^{2} - m - 3 m + 4 = m^{2} - 4 m + 4 = {(m - 2)}^{2}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow D \neq 0 \Leftrightarrow m (m - 2) \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ m \neq 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{3 m - 2}{m} (1) \\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{m - 2}{m} (2) \end{matrix}$

Từ (1) ⇔ xm = 3m – 2 ⇔ m = $\frac{2}{3 - x}$

Thay vào (2) ta được: y = 1 − $\frac{2}{m}$ = 1 − (3 − x) = x − 2

Vậy y = x – 2

Câu 2:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} 2 x - y = 2 - a \\ x + 2 y = a + 1 \end{matrix}$ . Giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình phương nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $a = 1$

B. $a = - 1$

C. $a = \frac{1}{2}$

D. $a = - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $D = |\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}| = 5 \neq 0$

$D_{x} = |\begin{matrix} 2 - a & - 1 \\ a + 1 & 2 \end{matrix}| = 4 - 2 a + a + 1 = 5 - a$

$D_{y} = |\begin{matrix} 2 & 2 - a \\ 1 & a + 1 \end{matrix}| = 2 a + 2 - 2 + a = 3 a$

Vì $D \neq 0$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{5 - a}{5}; y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{3 a}{5}$

Khi đó:

$x^{2} + y^{2} = {(\frac{5 - a}{5})}^{2} + {(\frac{3 a}{5})}^{2} = \frac{25 - 10 a + 10 a^{2}}{25} = \frac{10}{25} (a^{2} - a) + 1 = \frac{2}{5} {(a - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{9}{10} \geq \frac{9}{10}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$

Câu 3:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x . y + x + y = 11 \\ x^{2} y + x y^{2} = 30 \end{matrix}$

A. Có 2 nghiệm (2; 3) và (1; 5)

B. Có 2 nghiệm (2; 1) và (3; 5)

C. Có 1 nghiệm là (5; 6)

D. Có 4 nghiệm (2; 3), (3; 2), (1; 5), (5; 1).

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Đặt S = x + y, P = xy (S²− 4P ≥ 0)

Hệ phương trình tương đương $\{\begin{matrix} S + P = 11 \\ S P = 30 \end{matrix} \Rightarrow S (11 - S) = 30$

⇒−S²+ 11S – 30 = 0 ⇒ S = 5; S = 6

Khi S = 5 thì P = 6 nên x, y là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y = 5 \\ x y = 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 2; y = 3 \\ x = 3; y = 2 \end{matrix}$ suy ra hệ có nghiệm (2; 3), (3; 2)

Khi S = 6 thì P = 5 nên x, y là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y = 6 \\ x y = 5 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 1; y = 5 \\ x = 5; y = 1 \end{matrix}$ suy ra hệ có nghiệm (1; 5), (5; 1).

Câu 4:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x^{3} - 3 x = y^{3} - 3 y \\ x^{6} + y^{6} = 27 \end{matrix}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: x³− 3x = y³− 3y ⇔ (x − y) (x²+ xy + y²) − 3(x − y) = 0

⇔ (x − y) (x²+ xy + y²− 3) = 0 $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = y \\ x^{2} + x y + y^{2} - 3 = 0 \end{matrix}$

Khi x = y thì x⁶+ x⁶= 27 ⇔ $x^{6} = \frac{27}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}}$

Do đó hệ có nghiệm $(\pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}}; \pm \sqrt[6]{\frac{27}{2}})$

Khi x²+ xy + y²– 3 = 0 ⇔ x²+ y²= 3 − xy, ta có x⁶+ x⁶= 27

⇔ (x²+ y²) (x⁴− x²y²+ y⁴) = 27 ⇒ (3 − xy) [(3 − xy)²− 3x² y²] = 27

⇔ 3(xy)³+ 27xy = 0 ⇔ $[\begin{matrix} x y = 0 \\ {(x y)}^{2} = - 9 \end{matrix}$ (vô lí)

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Câu 5:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} 2 x + \sqrt{y - 1} = 1 \\ 2 y + \sqrt{x - 1} = 1 \end{matrix}$ có bao nhiêu nghiệm $(x; y)$ ?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện: $x, y \geq 1$

Ta có: $\{\begin{matrix} 2 x + \sqrt{y - 1} = 1 \\ 2 y + \sqrt{x - 1} = 1 \end{matrix}$ $\Rightarrow 2 x - 2 y + \sqrt{y - 1} - \sqrt{x - 1} = 0$

$\Rightarrow 2 (x - y) + \frac{y - x}{\sqrt{y - 1} + \sqrt{x - 1}} = 0$

$\Rightarrow (x - y) (2 - \frac{1}{\sqrt{y - 1} + \sqrt{x - 1}}) = 0$

Khi x = y thì $2 x + \sqrt{x + 1} = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 1 - 2 x$ (vô nghiệm do $x \geq 1$ thì $V T \geq 0, V P < 0$ )

Khi $\sqrt{y - 1} + \sqrt{x - 1} = \frac{1}{2}$ thì $2 x + 2 y + \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow x + y = \frac{3}{4}$ (vô nghiệm vì $x, y \geq 1$ )

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Câu 6:

Cho hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y = m + 1 \\ x^{2} y + y^{2} x = 2 m^{2} - m - 3 \end{matrix}$ và các mệnh đề:

(I) Hệ có vô số nghiệm khi m = −1.

(II) Hệ có nghiệm khi m > $\frac{3}{2}$ .

(III) Hệ có nghiệm với mọi m.

Các mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Chỉ (III)

D. Chỉ (I) và (III)

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Khi m = -1 thì hệ trở thành $\{\begin{matrix} x + y = 0 \\ x^{2} y + y^{2} x = 0 \end{matrix} \Rightarrow$ Hệ có vô số nghiệm $\Rightarrow (I)$ đúng

Ta có: $\{\begin{matrix} x + y = m + 1 \\ x^{2} y + y^{2} x = 2 m^{2} - m - 3 \end{matrix} \Rightarrow x y (m + 1) = 2 m^{2} - m - 3$

$\Rightarrow x y = 2 m - 3$

$\Rightarrow S^{2} - 4 P = {(m + 1)}^{2} - 4 (2 m - 3) = m^{2} - 6 m + 13 > 0, \forall m$ đúng

Câu 7:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} 2 x y + y^{2} - 4 x - 3 y + 2 = 0 \\ x y + 3 y^{2} - 2 x - 14 y + 16 = 0 \end{matrix}$ có nghiệm là:

A. $x \in R, y = 2; x = - 1, y = 3$

B. $x = 3, y = - 1; x = 2, y = - \frac{1}{2}$

C. $x = 5, y = 2; x = 1, y = 3; x = \frac{1}{2}, y = 2$

D. $x \in R, y = 2; x = 1, y = 3$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $\{\begin{matrix} 2 x y + y^{2} - 4 x - 3 y + 2 = 0 \\ x y + 3 y^{2} - 2 x - 14 y + 16 = 0 \end{matrix}$ $\Rightarrow \{\begin{matrix} 2 x y + y^{2} - 4 x - 3 y + 2 = 0 \\ 2 x y + 6 y^{2} - 4 x - 28 y + 32 = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow 5 y^{2} - 25 y + 30 = 0$

$\Rightarrow y = 3; y = 2$

Khi y = 3 thì phương trình đầu trở thành 6x + 9 − 4x – 9 + 2 = 0 ⇔ x = −1

Khi y = 2 thì phương trình đầu trở thành 4x + 4 − 4x – 6 + 2 = 0

⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ R

Câu 8:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} 2 x^{2} + x y - y^{2} = 0 \\ x^{2} - x y - y^{2} + 3 x + 7 y + 3 = 0 \end{matrix}$ . Các cặp nghiệm (x; y) sao cho x, y đều là các số nguyên là :

A. (2; −2), (3; −3)

B. (−2; 2), (−3; 3)

C. (1; −1), (3; −3)

D. (−1; 1), (−4; 4)

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $\{\begin{matrix} 2 x^{2} + x y - y^{2} = 0 (1) \\ x^{2} - x y - y^{2} + 3 x + 7 y + 3 = 0 (2) \end{matrix}$

Phương trình (1)⇔ (x + y) (2x − y) = 0 ⇔ $[\begin{matrix} x = - y \\ 2 x = y \end{matrix}$

Trường hợp 1: x = −y thay vào pt (2) ta được x²− 4x + 3 = 0 ⇔ $[\begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \end{matrix}$

Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là (1; −1), (3; −3).

Trường hợp 2: 2x = y thay vào (2) ta được −5x²+ 17x + 3 = 0 phương trình này không có nghiệm nguyên.

Vậy các cặp nghiệm (x; y) sao cho x, y đều là các số nguyên là (1; −1) và (3; −3).

Câu 9:

Cho hệ phương trình $\{\begin{matrix} (2 m + 1) x + y = 2 m - 2 \\ m^{2} x - y = m^{2} - 3 m \end{matrix}$ Với $m \neq - 1$ và $m \in Z$ . Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

$D = |\begin{matrix} 2 m + 1 & 1 \\ m^{2} & - 1 \end{matrix}| = - 2 m - 1 - m^{2} = - {(m + 1)}^{2}$

$D_{x} = |\begin{matrix} 2 m - 2 & 1 \\ m^{2} - 3 m & - 1 \end{matrix}| = - 2 m + 2 - m^{2} + 3 m = - m^{2} + m + 2 = (m + 1) (2 - m)$

$D_{y} = |\begin{matrix} 2 m + 1 & 2 m - 2 \\ m^{2} & m^{2} - 3 m \end{matrix}| = (2 m + 1) (m^{2} - 3 m) - m^{2} (2 m - 2) = - 3 m^{2} - 3 m = - 3 m (m + 1)$

Nếu $m \neq - 1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\{\begin{matrix} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{m - 2}{m + 1} = 1 - \frac{3}{m + 1} \\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{3 m}{m + 1} = 3 - \frac{3}{m + 1} \end{matrix}$

Để $x, y \in Z$ suy ra $\frac{3}{m + 1} \in Z, m + 1 \in U, (3) = \{\pm 1; \pm 3\}$

+) Với m + 1 = 1 ⇒ m = 0 (thoả mãn)

+) Với m + 1 = −1 ⇒ m = −2 (thoả mãn)

+) Với m + 1 = 3 ⇒ m = 2 (thoả mãn)

+) Với m + 1 = −3 ⇒ m = −4 (thoả mãn)

Vậy có 4 giá trị của m thoả mãn đề bài.

Câu 10:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} m x - 2 y = 3 \\ 3 x + m y = 4 \end{matrix}$ . Số giá trị của $m \in Z$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 0 và y < 0 là:

A. 2

B. 5

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

$D = |\begin{matrix} m & - 2 \\ 3 & m \end{matrix}| = m^{2} + 6; D_{x} = |\begin{matrix} 3 & - 2 \\ 4 & m \end{matrix}| = 3 m + 8; D_{y} = |\begin{matrix} m & 3 \\ 3 & 4 \end{matrix}| = 4 m - 9$

Vì $m^{2} + 6 \neq 0, \forall m$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

$\{\begin{matrix} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{3 m + 8}{m^{2} + 6} \\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{4 m - 9}{m^{2} + 6} \end{matrix}$

Theo giả thiết, ta có:

$\{\begin{matrix} x > 0 \\ y < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{3 m + 8}{m^{2} + 6} > 0 \\ \frac{4 m - 9}{m^{2} + 6} < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 m + 8 > 0 \\ 4 m - 9 < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m > - \frac{8}{3} \\ m < \frac{9}{4} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow - \frac{8}{3} < m < \frac{9}{4}$

Vì m ∈ Z nên m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn có đáp án chi tiết

Trắc nghiệm Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn có đáp án (Vận dụng)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương