10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn có đáp án

Câu 1:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} (a + b) x + (a - b) y = 2 \\ (a^{3} + b^{3}) x + (a^{3} - b^{3}) y = 2 (a^{2} + b^{2}) \end{matrix}$ với $a \neq \pm b; a, b \neq 0$ . Hệ phương trình có nghiệm duy nhất bằng:

A. $x = a + b; y = a - b$

B. $x = \frac{1}{a + b}; y = \frac{1}{a - b}$

C. $x = \frac{a}{a + b}; y = \frac{b}{a - b}$

D. $x = \frac{1}{a - b}; y = \frac{1}{a + b}$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

$D = |\begin{matrix} a + b & a - b \\ a^{3} + b^{3} & a^{3} - b^{3} \end{matrix}| = (a + b) (a^{3} - b^{3}) - (a - b) (a^{3} + b^{3})$

= $(a + b) (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) - (a - b) (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

$= (a + b) (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} - a^{2} + a b - b^{2}) = 2 a b (a + b) (a - b)$

$D_{x} = |\begin{matrix} 2 & a - b \\ 2 (a^{2} + b^{2}) & a^{3} - b^{3} \end{matrix}| = 2 (a^{3} - b^{3}) - 2 (a - b) (a^{2} + b^{2})$

$= 2 (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) - 2 (a - b) (a^{2} + b^{2})$

$= 2 a b (a - b)$

$D_{y} = |\begin{matrix} a + b & 2 \\ a^{3} + b^{3} & 2 (a^{2} + b^{2}) \end{matrix}| = 2 (a + b) (a^{2} + b^{2}) - 2 (a^{3} + b^{3})$

$= 2 (a + b) (a^{2} + b^{2}) - 2 (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

$= 2 a b (a + b)$

Với $a \neq b; a, b \neq 0 \Rightarrow D \neq 0$ , hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\{\begin{matrix} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{2 a b (a - b)}{2 a b (a - b) (a + b)} = \frac{1}{a + b} \\ x = \frac{D_{y}}{D} = \frac{2 a b (a + b)}{2 a b (a - b) (a + b)} = \frac{1}{a - b} \end{matrix}$

Câu 2:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} m x + (m + 2) y = 5 \\ x + m y = 2 m + 3 \end{matrix}$ . Để hệ phương trình có duy nhất 1 cặp nghiệm âm, giá trị cần tìm của tham số m là:

A. $[\begin{matrix} m < 2 \\ m > \frac{5}{2} \end{matrix}$

B. $2 < m < \frac{5}{2}$

C. $[\begin{matrix} m < - \frac{5}{2} \\ m > - 2 \end{matrix}$

D. $- \frac{5}{2} < m < - 1$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $D = |\begin{matrix} m & m + 2 \\ 1 & m \end{matrix}| = m^{2} - m - 2$

$D_{x} = |\begin{matrix} 5 & m + 2 \\ 2 m + 3 & m \end{matrix}| = 5 m - (m + 2) (2 m + 3) = - 2 m^{2} - 2 m - 6$

$D_{y} = |\begin{matrix} m & 5 \\ 1 & 2 m + 3 \end{matrix}| = 2 m^{2} + 3 m - 5$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $D \neq 0 \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 \neq 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m \neq - 1 \\ m \neq 2 \end{matrix}$

Khi đó: $x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{- 2 (m^{2} + m + 3)}{m^{2} - m - 2}; y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{2 m^{2} + 3 m - 5}{m^{2} - m - 2}$

Để hệ phương trình có nghiệm âm thì: $\{\begin{matrix} \frac{- 2 (m^{2} + m + 3)}{m^{2} - m - 2} < 0 (1) \\ \frac{2 m^{2} + 3 m - 5}{m^{2} - m - 2} < 0 (2) \end{matrix}$

(1) $\Leftrightarrow \frac{m^{2} + m + 3}{m^{2} - m - 2} > 0 \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 > 0$ (vì $m^{2} + m + 3 = {(m + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{11}{4} > 0, \forall m)$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \end{matrix}$ (*)

(2) $\Leftrightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} 2 m^{2} + 3 m - 5 > 0 \\ m^{2} - m - 2 < 0 \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} 2 m^{2} + 3 m - 5 < 0 \\ m^{2} - m - 2 > 0 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} [\begin{matrix} m < - \frac{5}{2} \\ m > 1 \end{matrix} \\ - 1 < m < 2 \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} - \frac{5}{2 < m < 1} \\ [\begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 1 < m < 2 \\ - \frac{5}{2} < m < - 1 \end{matrix}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $- \frac{5}{2} < m < - 1$

Câu 3:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} m x - (m + 1) y = 3 m \\ x - 2 m y = m + 2 \\ x + 2 y = 4 \end{matrix}$ . Để hệ phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp của tham số m là:

A. $m = \frac{5}{2}$

B. $m = - \frac{5}{2}$

C. $m = \frac{2}{5}$

D. $m = - \frac{2}{5}$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Xét hệ phương trình: $\{\begin{matrix} m x - (m + 1) y = 3 m \\ x - 2 m y = m + 2 \end{matrix}$

Ta có: $D = |\begin{matrix} m & - (m + 1) \\ 1 & - 2 m \end{matrix}| = - 2 m^{2} + m + 1 = (2 m + 1) (1 - m)$

$D_{x} = |\begin{matrix} 3 m & - (m + 1) \\ m + 2 & - 2 m \end{matrix}| = - 6 m^{2} + (m + 2) (m + 1) = - 5 m^{2} + 3 m + 2 = (5 m + 2) (1 - m)$

$D_{y} = |\begin{matrix} m & 3 m \\ 1 & m + 2 \end{matrix}| = m^{2} + 2 m - 3 m = m^{2} - m = m (m - 1)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow D \neq 0 \Leftrightarrow (2 m + 1) (1 - m) \neq 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m \neq - \frac{1}{2} \\ m \neq 1 \end{matrix}$

Khi đó: $\{\begin{matrix} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{(5 m + 2) (1 - m)}{(2 m + 1) (1 - m)} = \frac{5 m + 2}{2 m + 1} \\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{m (1 - m)}{(2 m + 1) (1 - m)} = \frac{- m}{2 m + 1} \end{matrix}$

Thay giá trị của x, y vào phương trình: $x + 2 y = 4$ ta được:

$\frac{5 m + 2}{2 m + 1} - \frac{2 m}{2 m + 1} = 4 \Leftrightarrow \frac{3 m + 2}{2 m + 1} = 4 \Leftrightarrow 3 m + 2 = 8 m + 4$

$\Leftrightarrow m = - \frac{2}{5}$

Câu 4:

Cho hệ phương trình $\{\begin{matrix} m x - y = 2 m \\ x - m y = 1 + m \end{matrix}$ . Giá trị thích hợp của tham số m để biểu thức P = xy đạt giá trị lớn nhất?

A. m = 1

B. m = -1

C. m = $\frac{1}{3}$

D. m = $- \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

$D = |\begin{matrix} m & - 1 \\ 1 & - m \end{matrix}| = - m^{2} + 1 = (1 - m) (1 + m)$

$D_{x} = |\begin{matrix} 2 m & - 1 \\ m + 1 & - m \end{matrix}| = - 2 m^{2} + m + 1 = (2 m + 1) (1 - m)$

$D_{y} = |\begin{matrix} m & 2 m \\ 1 & m + 1 \end{matrix}| = m^{2} - m = m (m - 1)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow D \neq 0$

$\Leftrightarrow - m^{2} + 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1 \Rightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{2 m + 1}{m + 1} \\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{- m}{m + 1} \end{matrix}$

Khi đó: $p = x . y = \frac{- m (2 m + 1)}{{(m + 1)}^{2}} = \frac{- 2 (m^{2} + 2 m + 1)}{{(m + 1)}^{2}} + \frac{3 (m + 1)}{{(m + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(m + 1)}^{2}}$

$= - 2 + \frac{3}{m + 1} - \frac{1}{{(m + 1)}^{2}}$

Đặt

$\frac{1}{m + 1} = t \Rightarrow \frac{1}{{(m + 1)}^{2}} = t^{2} \Rightarrow P = - 2 + 3 t - t^{2} = - {(t - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow P_{m ax} = \frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{m + 1} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$

Câu 5:

Để hệ phương trình: $\{\begin{matrix} m x + 2 y = m \\ (m - 1) x + (m - 1) y = 1 \end{matrix}$ có nghiệm nguyên thì giá trị của m bằng:

A. $[\begin{matrix} m = 0 \\ m = 2 \end{matrix}$

B. $m = 0$

C. $m = 2$

D. $[\begin{matrix} m = - 1 \\ m = 0 \end{matrix}$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$D = |\begin{matrix} m & 2 \\ m - 1 & m - 1 \end{matrix}| = m^{2} - m - 2 m + 2 = m^{2} - 3 m + 2 = (m - 1) (m - 2)$

$D_{x} = |\begin{matrix} m & 2 \\ 1 & m - 1 \end{matrix}| = m^{2} - m - 2 = (m + 1) (m - 2)$

$D_{y} = |\begin{matrix} m & m \\ m - 1 & 1 \end{matrix}| = - m^{2} + 2 m = - m (m - 2)$

Nếu $D \neq 0 \Leftrightarrow (m - 1) (m - 2) \neq 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m \neq 1 \\ m \neq 2 \end{matrix}$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

$\{\begin{matrix} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{m + 1}{m - 1} = 1 + \frac{2}{m - 1} \\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{- m}{m - 1} = - 1 - \frac{1}{m - 1} \end{matrix}$

Để x, y Z. Suy ra $\{\begin{matrix} \frac{2}{m - 1} \in Z \\ \frac{1}{m - 1} \in Z \end{matrix} \Rightarrow m - 1 \in U (1) = \{\pm 1\}$

+) Với m – 1 = 1 ⇒ m = 2 (loại)

+) Với m – 1 = −1 ⇒ m = 0 (thoả mãn)

Nếu D = 0 ⇔ $[\begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \end{matrix}$

+) Với m = 1 ⇒ D_x≠ 0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm

+) Với m = 2 ⇒ D = D_x= D_y= 0 suy ra hệ phương trình trở thành $\{\begin{matrix} 2 x + 2 y = 2 \\ x + y = 1 \end{matrix}$ , khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Vậy m = 0 hoặc m = 2 thoả mãn bài toán.

Câu 6:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} \frac{3 (x + y)}{x - y} = a \\ \frac{2 x - y - a x}{y - x} = - 1 \end{matrix}$ . Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi:

A. $a \neq - 1$

B. $a \neq 3$

C. $a \neq - 3$

D. $a \neq 0$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B

Hệ: $\{\begin{matrix} \frac{3 (x + y)}{x - y} = a \\ \frac{2 x - y - a x}{y - x} = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{3 x}{x - y} + \frac{3 y}{x - y} = a \\ \frac{2 x}{y - x} - \frac{y}{y - x} - \frac{a x}{y - x} = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{3 x}{x - y} + \frac{3 y}{x - y} = a \\ \frac{- 2 x}{y - x} + \frac{y}{y - x} + \frac{a x}{y - x} = - 1 \end{matrix}$

$x \neq y$

Điều kiện:

Đặt $u = \frac{x}{x - y}; v = \frac{y}{x - y}$ , hệ phương trình trở thành:

$\{\begin{matrix} 3 u + 3 v = a \\ - 2 u + v + a u = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 u + 3 v = a \\ (a - 2) u + v = - 1 \end{matrix}$

Ta có: $D = |\begin{matrix} 3 & 3 \\ a - 2 & 1 \end{matrix}| = 3 - 3 a + 6 = 9 - 3 a$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow D \neq 0 \Leftrightarrow 9 - 3 a \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 3$

Câu 7:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{matrix} m x - y = 2 \\ 3 x + m y = 5 \end{matrix} (m \neq 0) .$ Giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y < 1 là:

A. $[\begin{matrix} m > \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ m < \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix}$

B. $[\begin{matrix} m > - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ m < - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix}$

C. $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} < m < - \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$

D. $\frac{7 - \sqrt{33}}{2} < m < \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$D = |\begin{matrix} m & - 1 \\ 3 & m \end{matrix}| = m^{2} + 3; D_{x} = |\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 5 & m \end{matrix}| = 2 m + 5; D_{y} = |\begin{matrix} m & 2 \\ 3 & 5 \end{matrix}| = 5 m - 6$

Vì $m^{2} + 3 \neq 0, \forall m$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

$\{\begin{matrix} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{2 m + 5}{m^{2} + 3} \\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{5 m - 6}{m^{2} + 3} \end{matrix}$

Theo giả thiết, ta có:

$x + y < 1 \Leftrightarrow \frac{2 m + 5}{m^{2} + 3} + \frac{5 m - 6}{m^{2} + 3} < 1 \Leftrightarrow \frac{7 m - 1}{m^{2} + 3} < 1$

$\Leftrightarrow 7 m - 1 < m^{2} + 3 \Leftrightarrow m^{2} - 7 m + 4 > 0 \Leftrightarrow$ $[\begin{matrix} m > \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ m < \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{matrix}$

Câu 8:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x + y + x y = 11 \\ x^{2} + y^{2} + 3 (x + y) = 28 \end{matrix}$ có nghiệm là:

A. (3; 2), (2; 3)

B. (−3; −7), (−7; −3)

C. (3; 2); (−3; −7)

D. (3; 2), (2; 3), (−3; −7), (−7; −3)

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Đặt S = x + y, P = xy (S²− 4P ≥ 0)

Ta có: $\{\begin{matrix} S + P = 11 \\ S^{2} - 2 P + 3 S = 28 \end{matrix}$ ⇒ S²− 2(11 − S) + 3S = 28

⇒ S²+ 5S – 50 = 0 ⇒ S = 5; S = −10

Khi S = 5 ⇒ P = 6 thì x, y là nghiệm của phương trình

X²− 5X + 6 = 0 ⇔ X = 2; X = 3

Khi S = −10 ⇒ P = 21 thì x, y là nghiệm của phương trình

X²+ 10X + 21 = 0 ⇔ X = −3; X = −7

Vậy hệ có nghiệm (3; 2), (2; 3), (−3; −7), (−7; −3).

Câu 9:

Hệ phương trình $\{\begin{matrix} x^{3} = 3 x + 8 y \\ y^{3} = 3 y + 8 x \end{matrix}$ có nghiệm là (x; y) với x $\neq$ 0 và y $\neq$ 0 là:

A. $(- \sqrt{11}; - \sqrt{11}); (\sqrt{11}; \sqrt{11})$

B. $(0; \sqrt{11}); (\sqrt{11}; 0)$

C. $(- \sqrt{11}, 0)$

D. $(\sqrt{11}, 0)$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

- Ta có: $\{\begin{matrix} x^{3} = 3 x + 8 y \\ y^{3} = 3 y + 8 x \end{matrix}$ $\Rightarrow$ x³– y³= −5x + 5y

⇔ (x − y) (x²+ xy + y²+ 5) = 0 $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = y \\ x^{2} + x y + y^{2} + 5 = 0 \end{matrix}$

Khi x = y thì x³− 11x = 0 ⇔ x = 0; x = ± $\sqrt{11}$

Khi đó x²+ xy + y²+ 5 = 0 ⇔ (x + $\frac{1}{2}$ y)²+ $\frac{3}{4}$ y²+ 5 = 0 (phương trình vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm $(- \sqrt{11}; - \sqrt{11}); (\sqrt{11}; \sqrt{11})$

Câu 10:

Nếu $(x; y)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\{\begin{matrix} x^{2} - 4 x y + y^{2} = 1 \\ y - 4 x y = 2 \end{matrix}$ thì xy bằng:

A. 4

B. -4

C. 1

D. Không tồn tại giá trị của xy

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D

Trừ vế cho vế phương trình (1) cho (2) ta được:

$x^{2} + y^{2} - y = - 1 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - y + 1 = 0$

Ta có:

$\{\begin{matrix} x^{2} \geq 0, \forall x \\ y^{2} - y + 1 = {(y - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0, \forall y \end{matrix} \Rightarrow$ $x^{2} + y^{2} - y + 1 > 0, \forall x, y$

Do đó phương trình $x^{2} + y^{2} - y + 1 = 0$ vô nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị của xy

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn có đáp án chi tiết

Trắc nghiệm Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương