15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = $a \sqrt{2}$ . Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính $\vec{B K} . \vec{A C}$

$A . \vec{B K} . \vec{A C} = 0$

$B . \vec{B K} . \vec{A C} = - a^{2} \sqrt{2}$

$C . \vec{B K} . \vec{A C} = a^{2} \sqrt{2}$

$D . \vec{B K} . \vec{A C} = 2 a^{2}$

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{B K} = \vec{B A} + \vec{A K} = \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A D} \\ \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D} \end{matrix}$

$\Rightarrow \vec{B K} . \vec{A C} = (\vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A D}) (\vec{A B} + \vec{A D})$

$= \vec{B A} . \vec{A B} + \vec{B A} . \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A D} . \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} . \vec{A D}$

$= - a^{2} + 0 + 0 + \frac{1}{2} {(a \sqrt{2})}^{2} = 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính $\vec{A M} . \vec{B C}$

$A . \vec{A M} . \vec{B C} = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}$

$B . \vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2}}{2}$

$C . \vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} + a^{2}}{3}$

$D . \vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

Khi đó $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B A} + \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A B}) (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \frac{1}{2} ({\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2})$

$= \frac{1}{2} (A C^{2} - A B^{2}) = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà $\vec{C M} . \vec{C B} = \vec{C A} . \vec{C B}$ là:

A. Đường tròn đường kính AB

B. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

C. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AC

D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB

Xem đáp án

$\vec{C M} . \vec{C B} = \vec{C A} . \vec{C B} \Leftrightarrow \vec{C M} . \vec{C B} - \vec{C A} . \vec{C B} = 0$

$\Leftrightarrow (\vec{C M} - \vec{C A}) . \vec{C B} = 0$

$\Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{C B} = 0$

Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn $\vec{M B} (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) = 0$ với A, B, C là ba đỉnh của tam giác

A. Một điểm

B. Đường thẳng

C. Đoạn thẳng

D. Đường tròn

Xem đáp án

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

$\Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

Ta có: $\vec{M B} (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) = 0$

$\Leftrightarrow \vec{M B} .3 \vec{M G} = 0 \Leftrightarrow \vec{M B} . \vec{M G} = 0$

$\Leftrightarrow M B ⊥ M G$ (*)

Biểu thức (*) chứng tỏ $M B ⊥ M G$ hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (2; 2), B (5; −2). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho $\hat{A M B} = 90^{0}$ ?

A. M (0; 1).

B. M (6; 0); M (1; 0)

C. M (1; 6).

D. M (0; 6)

Xem đáp án

Ta có $M \in O x$ nên M (m; 0) và $\{\begin{matrix} \vec{A M} = (m - 2; - 2) \\ \vec{B M} = (m - 5; 2) \end{matrix}$

Vì $\hat{A M B} = 90^{0}$ nên suy ra $\vec{A M} . \vec{B M} = 0$ nên

$(m - 2) (m - 5) + (- 2) .2 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 7 m + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 1 \\ m = 6 \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} M (1; 0) \\ M (6; 0) \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (−2; 4) và B (8; 4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C.

A. C (6; 0).

B. C (0; 0), C (6; 0).

C. C (0; 0).

D. C (−1; 0).

Xem đáp án

Ta có $C \in O x$ nên C (c; 0) và $\{\begin{matrix} \vec{C A} = (- 2 - c; 4) \\ \vec{C B} = (8 - c; 4) \end{matrix}$

Vì tam giác ABC vuông tại C nên suy ra $\vec{C A} . \vec{C B} = 0$ nên

$(- 2 - c) (8 - c) + 4.4 = 0$

$\Leftrightarrow c^{2} - 6 c = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} c = 0 \\ c = 6 \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} C (0; 0) \\ C (6; 0) \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Cho A (2; 5), B (1; 3), C (5; −1). Tìm tọa độ điểm K sao cho $\vec{A K} = 3 \vec{B C} + 2 \vec{C K}$

A. K (4; 5).

B. K (−4; 5).

C. K (4; −5).

D. K (−4; −5)

Xem đáp án

Gọi K (x; y) với x, y $\in$ R

Khi đó $\vec{A K} = (x - 2; y - 5), 3 \vec{B C} = (12; - 12), 2 \vec{C K} = (2 x - 10; 2 y + 2)$

Theo YCBT $\vec{A K} = 3 \vec{B C} + 2 \vec{C K}$ nên

$\{\begin{matrix} x - 2 = 12 + 2 x - 10 \\ y - 5 = - 12 + 2 y + 2 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - 4 \\ y = 5 \end{matrix} \Rightarrow K (- 4; 5)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (−3; 0), B (3; 0) và C (2; 6). Gọi H (a; b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b

A. a + 6b = 5.

B. a + 6b = 6.

C. a + 6b = 7.

D. a + 6b = 8.

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{A H} = (a + 3; b), \vec{B C} = (- 1; 6) \\ \vec{B H} = (a - 3; b), \vec{A C} = (5; 6) \end{matrix}$

Từ giả thiết, ta có:

$\{\begin{matrix} \vec{A H} . \vec{B C} = 0 \\ \vec{B H} . \vec{A C} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} (a + 3) . (- 1) + b .6 = 0 \\ (a - 3) .5 + b .6 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 2 \\ b = \frac{5}{6} \end{matrix}$

$\Rightarrow a + 6 b = 7$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Cho hai vec tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Biết $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = \sqrt{3}$ và $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^{0}$ . Tính $|\vec{a} + \vec{b}|$

$A . \sqrt{7 + \sqrt{3}}$

$B . \sqrt{7 - \sqrt{3}}$

$C . \sqrt{7 - 2 \sqrt{3}}$

$D . \sqrt{7 + 2 \sqrt{3}}$

Xem đáp án

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{{(\vec{a} + \vec{b})}^{2}}$

$= \sqrt{{\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} + 2. \vec{a} . \vec{b}}$

$= \sqrt{{|\vec{a}|}^{2} + {|\vec{b}|}^{2} + 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos (\vec{a}; \vec{b})}$

= $\sqrt{7 - 2 \sqrt{3}}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vec tơ $\vec{a} = (- 2; 3), \vec{b} = (4; 1)$ và $\vec{c} = k \vec{a} + m \vec{b}$ với $k, m \in R$ . Biết rằng vec tơ $\vec{c}$ vuông góc với vec tơ $(\vec{a} + \vec{b})$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

$A . 2 k = 2 m$

$B . 3 k = 2 m$

$C . 2 k + 3 m = 0$

$D . 3 k + 2 m = 0$

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{c} = k \vec{a} + m \vec{b} = (- 2 k + 4 m; 3 k + m) \\ \vec{a} + \vec{b} = (2; 4) \end{matrix}$

Để $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$

$\Leftrightarrow \vec{c} (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \Leftrightarrow 2 (- 2 k + 4 m) + 4 (3 k + m) = 0$

$\Leftrightarrow 2 k + 3 m = 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vec tơ $\vec{u} = (4; 1), \vec{v} = (1; 4)$ và $\vec{a} = \vec{u} + m . \vec{v}$ với $m \in R$ . Tìm m để $\vec{a}$ vuông góc với trục hoành

A. m=4

$B . m = - 4$

$C . m = - 2$

D. m=2

Xem đáp án

Ta có: $\vec{a} = \vec{u} + m . \vec{v} = (4 + m; 1 + 4 m)$

Trục hoành có vectơ đơn vị là: $\vec{i} = (1; 0)$

Vec tơ $\vec{a}$ vuông góc với trục hoành

$\Leftrightarrow \vec{a} . \vec{i} = 0 \Leftrightarrow 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 4$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 12:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vec tơ $\vec{u} = (4; 1), \vec{v} = (1; 4)$ . Tìm m để $\vec{a} = m . \vec{u} + \vec{v}$ tạo với vec tơ $\vec{b} = \vec{i} + \vec{j}$ một góc 45⁰

A. m=4

$B . m = - \frac{1}{2}$

$C . m = - \frac{1}{4}$

$D . m = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{a} = m . \vec{u} + \vec{v} = (4 m + 1; m + 4) \\ \vec{b} = \vec{i} + \vec{j} = (1; 1) \end{matrix}$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \cos 45^{0} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(4 m + 1) + (m + 4)}{\sqrt{2} \sqrt{{(4 m + 1)}^{2} + {(m + 4)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{5 (m + 1)}{\sqrt{2} \sqrt{17 m^{2} + 16 m + 17}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 5 (m + 1) = \sqrt{17 m^{2} + 16 m + 17}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m + 1 \geq 0 \\ 25 m^{2} + 50 m + 25 = 17 m^{2} + 16 m + 17 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (7; −3), B (8; 4), C(1;5) và D (0; −2). Khẳng định nào sau đây đúng?

$A . \vec{A C} ⊥ \vec{C B}$

B. Tam giác ABC đều.

C. Tứ giác ABCD là hình vuông.

D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn.

Xem đáp án

Ta có:

$\{\begin{matrix} \vec{A B} = (1; 7) \Rightarrow A B = \sqrt{1^{2} + 7^{2}} = 5 \sqrt{2} \\ \vec{B C} = (- 7; 1) \Rightarrow B C = 5 \sqrt{2} \\ \vec{C D} = (- 1; - 7) \Rightarrow C D = 5 \sqrt{2} \\ \vec{D A} = (7; - 1) \Rightarrow D A = 5 \sqrt{2} \end{matrix}$

$\Rightarrow A B = B C = C D = D A = 5 \sqrt{2}$

Lại có $\vec{A B} . \vec{B C} = 1 (- 7) + 7.1 = 0$ nên

$A B ⊥ B C$

Từ đó suy ra ABCD là hình vuông

Đáp án cần chọn là: C

Câu 14:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm $A (- 1; 1), B (0; 2), C (3; 1), D (0; - 2)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành

B. Tứ giác ABCD là hình thoi

C. Tứ giác ABCD là hình thang cân

D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{A B} = (1; 1) \\ \vec{D C} = (3; 3) \end{matrix} \Rightarrow \vec{D C} = 3 \vec{A B}$

Suy ra DC//AB và DC = 3AB (1)

Mặt khác $\{\begin{matrix} A C = \sqrt{4^{2} + 0^{2}} = 4 \\ B D = \sqrt{0^{2} + 4^{2}} = 4 \end{matrix} \Rightarrow A C = B D$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $A (2; 4), B (- 3; 1), C (3; - 1)$ . Tìm tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho

$A . A' (\frac{3}{5}; \frac{1}{5})$

$B . A' (- \frac{3}{5}; - \frac{1}{5})$

$C . A' (- \frac{3}{5}; \frac{1}{5})$

$D . A' (\frac{3}{5}; - \frac{1}{5})$

Xem đáp án

Gọi A’ (x, y). Ta có: $\{\begin{matrix} \vec{A A'} = (x - 2; y - 4) \\ \vec{B C} = (6; - 2) \\ \vec{B A'} = (x + 3; y - 1) \end{matrix}$

Từ giả thiết, ta có A’ là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên $A A' ⊥ B C$ và B, A’, C thẳng hàng

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \vec{A A'} . \vec{B C} = 0 (1) \\ \vec{B A'} = k \vec{B C} (2) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} (x - 2) .6 + (y - 4) . (- 2) = 0 \\ \frac{x + 3}{6} = \frac{y - 1}{- 2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 x - 2 y = 4 \\ - 2 x - 6 y = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{3}{5} \\ y = - \frac{1}{5} \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: D

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto có đáp án

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto có đáp án (Vận dụng)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương