15 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai Vecto có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Khi đó $|\vec{A B} + \vec{A C}| =$

A. $a \sqrt{3}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. 2a

D. A

Xem đáp án

Dựng hình bình hành ABCD và gọi M là trung điểm BC

Ta có: $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}| = A D = 2 A M$

Trong tam giác đều ABC có AM là trung tuyến cũng là đường cao nên

$A M ⊥ B C, M B = M C = \frac{a}{2}$

Ta có:

$A M^{2} + M B^{2} = A B^{2} \Leftrightarrow A M^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2} \Leftrightarrow A M^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow A M^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} \Leftrightarrow A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Vậy $A D = 2 A M = 2 . \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Cho hình chữ nhật ABCD biết AB = 4a và AD = 3a thì độ dài $\vec{A B} + \vec{A D}$ là:

A. 7a

B. 6a

C. $2 a \sqrt{3}$

D. 5a

Xem đáp án

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \Leftrightarrow |\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}| = A C$

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = {(4 a)}^{2} + {(3 a)}^{2} = {(5 a)}^{2} \Leftrightarrow A C = 5 a$

Vậy $|\vec{A B} + \vec{A D}| = 5 a$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Tam giác ABC có AB = AC = a và $\hat{B A C} = 120^{0}$ . Tính $|\vec{A B} + \vec{A C}|$

A. $|\vec{A B} + \vec{A C}| = a \sqrt{3}$

B. $|\vec{A B} + \vec{A C}| = a$

C. $|\vec{A B} + \vec{A C}| = \frac{a}{2}$

D. $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 2 a$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm BC $\Rightarrow A M ⊥ B C$

Trong tam giác vuông AMB, ta có: AM = AB.sin $\hat{A B M} = a . \sin 30^{0} = \frac{a}{2}$

Ta có: $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |2 \vec{A M}| = 2 A M = a$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4:

Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12. Tổng hai vectơ $\vec{G B} + \vec{G C}$ có độ dài bằng bao nhiêu ?

A. 2

B. 4

C. 8

D. $2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Dựng hình bình hành GBDC. Gọi M là trung điểm BC

Tam giác ABC có trung tuyến AM nên $A M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} . 12 = 6$

$\Rightarrow G M = \frac{1}{3} A M = \frac{1}{3} . 6 = 2 \Rightarrow G D = 2 G M = 2.2 = 4$

Vậy $|\vec{G B} + \vec{G C}|$ = $|\vec{G D}| = G D = 4$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5:

Cho hình thoi ABCD có AC = 2a và BD = a. Tính $|\vec{A C} + \vec{B D}|$

A. $|\vec{A C} + \vec{B D}| = 3 a$

B. $|\vec{A C} + \vec{B D}| = a \sqrt{3}$

C. $|\vec{A C} + \vec{B D}| = a \sqrt{5}$

D. $|\vec{A C} + \vec{B D}| = 5 a$

Xem đáp án

Gọi O = AC ∩ BD và M là trung điểm của CD.

Ta có $|\vec{A C} + \vec{B D}| = 2 |\vec{O C} + \vec{O D}| = 2 |2 \vec{O M}| = 4 O M$

$= 4 . \frac{1}{2} C D = 2 \sqrt{O D^{2} + O C^{2}} = 2 \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + a^{2}} = a \sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB = $\sqrt{2}$ . Tính độ dài của $\vec{A B} + \vec{A C}$

A. $|\vec{A B} + \vec{A C}| = \sqrt{5}$

B. $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 2 \sqrt{5}$

C. $|\vec{A B} + \vec{A C}| = \sqrt{3}$

D. $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Ta có $A B = \sqrt{2} \Rightarrow A C = C B = 1$

Gọi I là trung điểm BC $\Rightarrow A I = \sqrt{A C^{2} + C I^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Khi đó: $\vec{A C} + \vec{A B} = 2 \vec{A I} \Rightarrow |\vec{A C} + \vec{A B}| = 2 |\vec{A I}| = 2 . \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 7:

Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm là G. Phát biểu nào là đúng?

A. $\vec{A B} = \vec{A C}$

B. $\vec{G A} = \vec{G B} = \vec{G C}$

C. $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 2 a$

D. $|\vec{A B} + \vec{A C}| = \sqrt{3} |\vec{A B} + \vec{C A}|$

Xem đáp án

Dựng hình bình hành ABDC tâm E. Ta có:

$|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A D}| = A D = 2 A E = a \sqrt{3}$

$\sqrt{3} |\vec{A B} + \vec{C A}| = \sqrt{3} |\vec{C B}| = \sqrt{3} C B = \sqrt{3} a$

Vậy $|\vec{A B} + \vec{A C}| = \sqrt{3} |\vec{A B} + \vec{C A}|$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8:

Cho tam giác ABC. Tập hợp những điểm M sao cho: $|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M C} + \vec{M B}|$ là:

A. M là trung điểm của JI với I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

B. M nằm trên đường tròn tâm của I, bán kính R = 2AB với I nằm trên cạnh AB sao cho IA = 2IB

C. M nằm trên đường trung trực của IJ với I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC.

D. M nằm trên đường tròn tâm I, bán kính R = 2AC với I nằm trên cạnh AB sao cho IA = 2IB.

Xem đáp án

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC. Khi đó:

$|\vec{M A} + \vec{M B}| = |\vec{M C} + \vec{M B}| \Leftrightarrow 2 |\vec{M I}| = 2 |\vec{M J}| \Leftrightarrow M I = M J$

Vậy M nằm trên đường trung trực của IJ.

Chú ý khi giải:

Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án A sau khi có đẳng thức độ dài MI = MJ là sai.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Cho tam giác đều ABC cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính $|\vec{C A} - \vec{H C}|$

A. $|\vec{C A} - \vec{H C}| = \frac{a}{2}$

B. $|\vec{C A} - \vec{H C}| = \frac{3 a}{2}$

C. $|\vec{C A} - \vec{H C}| = \frac{2 \sqrt{3} a}{3}$

D. $|\vec{C A} - \vec{H C}| = \frac{a \sqrt{7}}{2}$

Xem đáp án

Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACHD là hình bình hành

⇒ AHBD là hình chữ nhật.

$|\vec{C A} - \vec{H C}| = |\vec{C A} + \vec{C H}| = |\vec{C D}| = C D$

Ta có: $C D = \sqrt{B D^{2} + B C^{2}} = \sqrt{A H^{2} + B C^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} + a^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\vec{D O} = \vec{E B} - \vec{E O}$

B. $\vec{O C} = \vec{E B} + \vec{E O}$

C. $\vec{O A} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} = \vec{0}$

D. $\vec{B E} + \vec{B F} - \vec{D O} = \vec{0}$

Xem đáp án

Ta có: OF, OE lần lượt là đường trung bình của tam giác $Δ B C D$ và $Δ A B C$

$\Rightarrow$ BEOF là hình bình hành

$\vec{B E} + \vec{B F} = \vec{B O} \Rightarrow \vec{B E} + \vec{B F} - \vec{D O} = \vec{B O} - \vec{D O} = \vec{O D} - \vec{O B} = \vec{B D}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11:

Cho tam giác ABC. Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức $|\vec{M B} - \vec{M C}| = |\vec{B M} - \vec{B A}|$ là:

A. Đường thẳng AB.

B. Trung trực đoạn BC.

C. Đường tròn tâm A, bán kính BC.

D. Đường thẳng qua A và song song với BC.

Xem đáp án

Ta có: $|\vec{M B} - \vec{M C}| = |\vec{B M} - \vec{B A}| \Leftrightarrow |\vec{C B}| = |\vec{A M}| \Rightarrow A M = B C$

Mà A, B, C cố định ⇒ Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A, bán kính BC.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Cho ba lực $\vec{F_{1}} = \vec{M A}, \vec{F_{2}} = \vec{M B}, \vec{F_{3}} = \vec{M C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ đều bằng 100N và $\hat{A M B} = 60^{0}$ . Khi đó cường độ lực của $\vec{F_{3}}$ là: