a) + Trọng tâm G(-1; -4/3)

    + Tọa độ trực tâm H(x; y)

    Do là trực tâm

    + Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I(x;y)

    AI² = (x - 2)² + (y - 1)²

    BI² = x² + (y - 5)²

    CI² = (x + 5)² + (y + 2)²

    Ta có:

    b) 

    c) Ta có:

    Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: (x + 7)² + (y + 1)² = 85

    a) Thay tọa độ A, B vào phương trình tham số của Δ ta có: A ∈ Δ, B ≠ Δ

    b) Trục Oy : x = 0 thay vào phương trình tham số

    Vậy giao điểm của Δ và Oy là (0; 2/3)

    Ox : y = 0 thay vào phương trình tham số

    Vậy giao điểm của Δ và Ox là (0;2).

    c) Vì ∈ Δ nên tọa độ M có dạng (2 - 3t; t)

    Ta có : BM ngắn nhất

    ⇔ BM ⊥ u_Δ ⇔ 9t + t - 1 = 0 ⇔ t = 1/10

    Vậy điểm M thỏa mãn đề bài có tọa độ là 

    AB: x + 2y - 3 = 0;

    AD: 2x - y - 6 = 0;

    BC: 2x - y + 9 = 0.

    (h.3.10)

    Ta có:

    Δ(O) = 2 > 0

    Δ(A) = 2 + 2 > 0

    Vậy A và O nằm về cùng một phía đối với Δ

    b) Gọi O' là điểm đối xứng của O qua Δ, ta có:

    OM + MA = O'M + MA ≥ O'A

    Ta có : OM + MA ngắn nhất

    ⇔ O', M, A thẳng hàng

    Xét đường thẳng d đi qua O và vuông góc với Δ. Phương trình của d là: x + y = 0

    d cắt Δ tại H(-1;1).

    H là trung điểm của OO' suy ra O'(-2; 2)

    Phương trình đường thẳng O'A là: x + 2y - 2 = 0

    Giải hệ phương trình 

    Vậy ta được 

    a) (1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi:

    a₂ + b₂ - c = 0

    ⇔ m₂ + 4(m - 2)² - 6 + m > 0

    b) (C_m) có tâm I(x;y) thỏa mãn:

    Vậy tập hợp các tâm của (C_m) là một phần của đường thẳng

Δ: y = 2x - 4 thỏa mãn điều kiện giới hạn : x < 1 hay x > 2

    (E): 

    Ta có:

    a² = 25, b² = 9 ⇒ c² = a² - b²

    ⇒ c = 4

    Vậy (E) có hai tiêu điểm là F₁(-4;0) và F₂(4;0). Ta có :

    Suy ra:

    Thay C² = 25A² + 9B² vào (1) ta được :

    Vậy d₁d₂ = 9

    (E): x² + 4y² = 16

    a) 

    Ta có: a² = 16, b² = 4

    ⇒ c² = a² - b² = 12

    ⇒ c = 2√3

    Vậy (E) có hai tiêu điểm: F₁(-2√3; 0) và F₂(2√3; 0) và các đỉnh A₁(-4;0), A₂(4;0), B₁(0;-2), B₂(0;2)

    b) Phương trình Δ có dạng : (x - 1) + 2(y - 1/2) = 0 hay x + 2y - 2 = 0

    c) Tọa độ của giao điểm của Δ và (E) là nghiệm của hệ :

    Thay (2) vào (1) ta được :

    (2 - y)² + 4y² = 16

    ⇔ (1 - y)² + y² = 4

    ⇔ 2y² - 2y - 3 = 0 (3)

    Phương trình (3) có hai nghiệm y_A, y_B thỏa mãn

    Vậy MA = MB.

    Ta có: 

    x_A = 1 + √7, x_BA = 1 - √7

Vậy A có tọa độ là 

,

B có tọa độ là

    a) Đường thẳng Δ đi qua M và vuông góc với d có phương trình Δ: x + y + C = 0. Δ qua M nên C = -3. Vậy Δ: x + y - 3 = 0

    Tọa độ tâm I của đường tròn (C) là nghiệm của hệ:

    Bán kính R = TM = 2√2

    Phương trình đường tròn cần tìm có tâm I(4;-1) và có bán kính R = 2√2 là: (x - 4)² + (y + 1)² = 8

    b) Đường thẳng m: x - y + 3 = 0 Tiếp tuyến Δ′ với (C) vuông góc với đường thẳng m nên Δ′ có phương trình : x + y + c = 0

    Δ′ là tiếp tuyến với (C) ⇔ d[I; Δ′] = R

     Vậy có hai tiếp tuyến với (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là :

    Gọi I(a;b) là tâm của (C).

    là vectơ chỉ phương của Δ

    Ta có : IA = IB = R và

   Khi đó R² = AI² = (-33)² + (-6)² = 1125

    Vậy (C): (x - 32)² + (y + 12)² = 1125

    a) (C) có tâm I(3;-1) và R = 5.

    b) Tiếp tuyến Δ song song với d ⇒ Δ: 5x + 12y + c = 0 (c ≠ 2012)

    Δ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I, Δ) = R

    Vậy Δ: 5x + 12y + 74 = 0 hoặc Δ: 5x + 12y - 56 = 0

    Ta có: a = 8, b = 4√3; c/a = 1/2.

    M(x;y) ∈ (E) ⇔ 

    Theo giả thiết ta có:

    Thay vào (1) ta được:

    a) (C): x² + y² - 2x - 6y + 6 = 0

    ⇒ (C) có:  (R là bán kính)

    IM = √2 < R ⇒ M nằm trong (C)

    b) Đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇒ d ⊥ IM tại M

    Phương trình đường thẳng:

    d: - qua M(2;4)

     - nhận vectơ IM = (1; 1)làm vectơ pháp tuyến

    ⇒ d: 1.(x - 2) + 1.(y - 4) = 0

    ⇒ d: x + y - 6 = 0

a) Gọi H là hình chiếu của A trên Δ, suy ra H là trung điểm BC.

    Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, suy ra N(11; -1) và điểm N thuộc đường thẳng CD.

    E là trung điểm của CD ⇒ IE ⊥ EN.

    ⇔ x = 6 hoặc x = 7

    Với x = 6 ⇒ IE = (0; 3)

    Phương trình AB: y - 5 = 0

    Với x = 7 ⇒ IE = (1; -4)

    Phương trình AB: x - 4y + 19 = 0

Khoảng cách từ M đến Δ₂ là

Vậy M(1;-1) hoặc 

    (Xem hình 3.17)

    A ∈ Ox, B ∈ Oy

    ⇒ A(a;0), B(0;b), AB = (-a;b)

    Vectơ chỉ phương của d là u = (2; 1)

    Tọa độ trung điểm I của AB là 

    A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi:

 Vậy A(2; 0), B(0; 4).

    (Xem hình 3.18)

Ta có: M(-1; 0), N(1; -2), AC = (4; -4)

    Giả sử H(x;y). Ta có :

  Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:

    x² + y² + 2ax + 2by + c = 0

    Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện :

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x² + y² - x + y - 2 = 0

    (xem hình 3.19)

  Vì B ∈ d1, C ∈ d2 nên B(b; 2 - b), C(c; 8 - c)

    Tam giác ABC vuông cân tại A

    Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ :

    Vậy B(-1; 3), C(3; 5) hoặc B(3; -1), C(5; 3).

    (Xem hình 3.20)

(C) có tâm I(1 ; -2) và bán kính R = 3. Ta có tam giác PAB đều

thì IP = 2IA = 2R = 6 ⇔ P thuộc đường tròn (C’) có tâm I, bán kính R'=6.

Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi

và chỉ khi d tiếp xúc với (C’) tại P

    ⇔ d(I;d) = 6

    ⇔ m = 19, m = -41.

    (Xem hình 3.21)

    Vì A ∈ d₁ ⇒ A(t; t)

    Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B, D ∈ Ox nên C(t; -t)

    Vì C ∈ d₂ nên 2t - t - 1 = 0 ⇔ t = 1. Vậy A(1; 1), C(1; -1).

    Trung điểm AC là I(1; 0). Vì I là tâm hình vuông nên

    Suy ra B(0; 0) và D(2; 0) hoặc B(2; 0), D(0; 0).

    Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A(1; 1), B(0; 0), C(1; -1), D(2; 0)

    hoặc A(1; 1), B(2; 0), C(1; -1), D(0; 0).

    Gọi tâm của (C) là I(a;b) và bán kính của (C) là R.

    (C) tiếp xúc với Ox tai A ⇒ a = 2 và |b| = R

    IB = 5 ⇔ (6 - 2)² + (4 - b)² = 25

    ⇔ b² - 8b + 7 = 0 ⇔ b = 1, b = 7

    Với a = 2, b = 1 ta có đường tròn (C₁): (x - 2)² + (y - 1)² = 1

    Với a = 2, b = 7 ta có đường tròn (C₂): (x - 2)² + (y - 7)² = 49

    (Xem hình 3.22)

    Đường tròn (C) có tâm I(1; 1), bán kính R = 1.

    Vì M ∈ d nên M(x; x + 3). Yêu cầu của bài toán tương đương với:

    MI = R + 2R ⇔ (x - 1)² + (x + 2)² = 9

    ⇔ x = 1; x = 2

    Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M(1; 4) và M(-2; 1).

    (Xem hình 3.23)

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n(1; -1).

Do đó đường thẳng Δ đi qua tâm I(1; 2) và vuông góc với d có phương trình :

 Tọa độ giao điểm H của d và là nghiệm của hệ phương trình :

Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó :

Vì (C') đối xứng với (C ) qua d nên (C') có tâm là J(3; 0) và bán kính R = 2.

Do đó (C') có phương trình là: (x - 3)² + y² = 4

Tọa độ các giao điểm của (C ) và (C') là nghiệm của hệ phương trình :

    Vậy tọa độ giao điểm của (C ) và (C') là A(1; 0) và B(3; 2).

    (Xem hình 3.24)

    Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB bằng

    Do đó A, B là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I và bán kính R = 5/2.

    Vậy tọa độ A, B là nghiệm của hệ :

    Giải hệ ta được A(-2, 0), B(2; 2) (vì x_A < 0)

    ⇒ C(3; 0), D(-1; -2).

    Ta có: BC ∩ Ox ≡ B(1; 0)

    Đặt x_A = a ta có A(a;0) và x_C = a ⇒ y_C = √3a - √3

    Vậy C(a; √3a - √3)

    Từ công thức

    Ta có:

    Mà AB = |a - 1|, AC = √3|a - 1|, BC = 2|a - 1|. Do đó:

    Ta có:

    Trường hợp 1.

    Trường hợp 2.

    Giả sử A(x₀; y₀). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên B(x₀; -y₀)

    Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được

    Với x₀ = 2 thay vào (1) ta có y₀ = 0. Trường hợp này loại vì A ≡ C.

    Với x₀ = 2/7 thay vào (1) ta có 

    Vậy

BA→ = (-2; 2), BC→ = (2; 2)

BA→. BC→ = 0 ⇒ ∠(ABC) = 90^o.

Đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm I của AC nên có tọa độ (3;4).

Đáp án: D

Đáp án: A

Đường thẳng Δ: 6x – 4y – 12 = 0 cắt Ox và Oy lần lượt tại A(2;0) và B(0; -3).

Ta có AB = √13.

Đáp án: C

Đáp án: A

Đường thẳng Δ: 2x + y – 4 = 0 song song với đường thẳng d: 4x + 2y + 1 = 0 và đi qua điểm M(1;2).

Đáp án: C

Đường thẳng Δ: 3x + 5y + 2017 = 0 có hệ số góc là k = (-3)/5. Phát biểu C sai.

Đáp án: C

Điểm C(2;2) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng Δ: x – 2y + 2 = 0.

Ta lại có MC→ = (1; -2), n_Δ→ = (1; -2) suy ra MC vuông góc với Δ. Vậy C(2;2) là hình chiếu vuông góc của M xuống Δ.

Đáp án: C

Đường thẳng Δ đi qua A(1;1), B(2;2) có vectơ chỉ phương AB→ = (1;1).

Vậy Δ có phương trình tham số

Điểm O(0;0) thỏa mãn phương trình của Δ (ứng với t = -1). Vậy phương trình tham số của Δ có thể viết là

Đáp án: D

Đáp án: D

cos(Δ₁, Δ₂) = 1/√2.

Đáp án: C

(Ox, Δ₁) = 45^o, (Ox, Δ₂) = 60^o. Suy ra (Δ₁, Δ₂) = 15^o.

Đáp án: B

Phương trình x² + y² + x + y + 2 = 0 không là phương trình của đường tròn vì không thỏa mãn điều kiện a² + b² – c > 0.

Đáp án: B

Tọa độ ba điểm A(-2;0), B(√2; √2), C(2;0) đều thỏa mãn phương trình đường tròn x² + y² = 4.

Đáp án: A

Đường tròn nội tiếp tam giác OAB có tâm I(a;a). Ta có d(I, AB) = d(I, Ox) suy ra I(1;1). Ta có R = d(I, Ox) = 1. Vậy phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: x² + y² – 2x – 2y + 1 = 0.

Đáp án: C

(C₁) có tâm I₁(-1;3) và bán kính R₁ = 2.

(C₂) có tâm I₂(2; -1) và bán kính R₂ = 3.

Ta có I₁I₂ = R₁ + R₂. Vậy (C₁) tiếp xúc ngoài với (C₂).

Đáp án: D

Tiếp tuyến Δ có vectơ pháp tuyến OM_o→ = (1;1).

Phương trình Δ có dạng 1.(x – 1) + 1.(y – 1) = 0 hay x + y – 2 = 0.

Đáp án: A

IM > R suy ra điểm M nằm ngoài đường tròn

Đáp án: C

Đường tròn (C) đi qua gốc O(0;0).

Đáp án: B

Đáp án: B

Đáp án: C

(E) đi qua các điểm M₁, M₂, M₃.

Đáp án: D

Đáp án: D

Đáp án: C

(C) tiếp xúc với (E) tại A₁(-5;0) và A₂(5;0).

Đáp án: C

d(F₁, Δ) x d(F₂, Δ) = b² = 9.

Đáp án: B

OA = OB = OC = 3.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x² + y² – 9 = 0.

Đáp án: D

Δ tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1 ⇔ d(O; Δ) = 1 ⇔ |m| = 1.

Đáp án: A

Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua tâm I(4;3) của đường tròn (C) và vuông góc với đường thẳng d ta được d’: 2x – y – 5 = 0. Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại tiếp điểm M(3;1).

Đáp án: A

Giải điều kiện a² + b² – c > 0 ta được: m < 1 hay m > 2.

Đáp án: C