61 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn tập cuối năm - SBT Hình học 10 - hamchoi.vn

Giải SBT Toán 10 Hình học - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Ôn tập cuối năm - SBT Hình học 10

2335 lượt thi
61 câu hỏi
30 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, biết đỉnh A(1 ; 1) và tọa độ trọng tâm G(1 ; 2). Cạnh AC và đường trung trực của nó lần lượt có phương trình là x + y - 2 = 0 và - x + y - 2 = 0. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC.

a) Hãy tìm tọa độ các điểm M và N.

b) Viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và BC.

(h.3.28)

Vậy M có tọa độ là (1; 5/2)

Điểm N(x ; y) thỏa mãn hệ phương trình

Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua hai điểm A(1 ;1) và B(3 ; 2) nên có phương trình : x - 2y + 1=0.

Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua hai điểm B(3 ; 2) và C(1; 5/2) nên có phương trình: x + 4y - 11 = 0

Câu 2:

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, góc BAC = 90^ο. Biết M(1;-1) là trung điểm cạnh BC và G(2/3;0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

(h.3.29)

Vậy A có tọa độ (0;2).

Đặt B(x;y) ta có :

Vậy ta có tọa độ của điểm B và C như sau : B(4;0), C(-2;-2) hoặc B(-2;-2), C(4;0).

Câu 3:

Cho ba điểm A(1;2), B(-3;1), C(4;-2).

a) Chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x;y) thỏa mãn MA² + MB² = MC² là một đường tròn.

b) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn nói trên.

a) MA² + MB² = MC²

⇔ (x - 1)² + (y - 2)² + (x + 3)² + (y - 1)² = (x - 4)² + (y + 2)²

⇔ x² + y² + 12x - 10y - 5 = 0

⇔ (x + 6)² + (y - 5)² = 66

Vậy tập hợp các điểm M là một đường tròn.

b) Tâm là điểm (-6 ; 5) bán kính bằng √66.

Câu 4:

Cho hai điểm A(3;-1), B(-1;-2) và đường thẳng d có phương trình x + 2y + 1 = 0

a) Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC là tam giác cân tại C.

b) Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác AMB vuông tại M.

a) Đặt C(x;y), ta có: C ∈ d ⇔ x = -2y - 1. Vậy C(-2y - 1; y)

Tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi

CA = CB ⇔ CA² = CB²

⇔ (3 + 2y + 1)² + (-1 - y)² = (-1 + 2y + 1)² + (-2 - y)²

⇔ (4 + 2y)² + (1 + y)² = 4y² + (2 + y)²

Giải ra ta được

Vậy C có tọa độ là

b) Xét điểm M(-2t - 1;t) trên d, ta có :

Góc AMB = 90^ο ⇔ AM² + BM² = AB²

⇔ (4 + 2t)² + (1 + t)² + 4t² + (2 + t)² = 17

⇔ 10t² + 22t + 4 = 0

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là và M₂(3;-2)

Câu 5:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (T) có phương trình: x² + y² - 4x - 2y + 3 = 0

a) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (T).

b) Tìm m để đường thẳng y = x + m có điểm chung với đường tròn (T).

c) Viết phương trình tiếp tuyến Δ với đường tròn (T) biết rằng Δ vuông góc vơi đường thẳng d có phương trình x - y + 2006 = 0.

a) Đường tròn (T) có tâm là điểm (2 ; 1) và có bán kính bằng √2

b) Đường thẳng l: x - y + m = 0. Ta có:

l có điểm chung với (T)

c) Δ ⊥ d nên Δ có phương trình x + y + c = 0.

Ta có : Δ tiếp xúc với (T) khi và chỉ khi:

d(I; Δ) = R

Vậy có hai tiếp tuyến với (T) thỏa mãn đề bài là :

Δ₁: x + y - 1 = 0

Δ₂: x + y - 5 = 0

Câu 6:

Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất là (-√3;0) và đi qua điểm $M (1; \frac{\sqrt{3}}{2})$

a) Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).

b) Viết phương trình chính tắc của (E).

c) Đường thẳng đi qua tiêu điểm thứ hai của elip (E) và vuông góc với trục Ox và cắt (E) tại hai điểm C và D. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

a) (E) có tiêu điểm F₁(-√3;0) nên c = √3.

Phương trình chính tắc của (E) có dạng

Ta có: ∈ (E)

Và a² = b² + c² = b² + 3

Thay vào (1) ta được :

⇔ 4b² + 3b² + 9 = 4b²(b + 3)

⇔ 4b⁴ + 5b² - 9 = 0 ⇔ b² = 1

Suy ra: a² = 4

Ta có a = 2 ; b = 1.

Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0), (0 ; -1) và (0 ; 1).

b) Phương trình chính tắc của (E) là :

c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm (√3;0). Đường thẳng Δ đi qua điểm (√3;0) và vuông góc với Ox có phương trình x = √3

Phương trình tung độ giao điểm của Δ và (E) là :

Suy ra tọa độ của C và D là :

Vậy CD = 1.

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² - 6x - 6y + 14 = 0. Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60^ο

(Xem hình 3.30)

Đường tròn (C) có tâm I(3 ; 3) và có bán kính

Điểm M(x;0) thuộc Ox.

Từ M kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại A và B. Ta có:

Vậy có hai điểm M thỏa mãn đề bài, chúng có tọa độ là: M1(3 + √7;0) và M2(3 - √7;0)

Câu 8:

Cho đường tròn (C) tâm I(1;-2), bán kính R và điểm K(1;3).

a) Cho R = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua K;

b) Xác định R để từ K vẽ được đến (C) hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) lần lượt tại hai điểm M₁, M₂ sao cho diện tích tứ giác KM₁IM₂ bằng 2√6 .

(Xem hình 3.31)

a) R = 1. Gọi Δ là đường thẳng đi qua điểm K(1 ; 3) và có hệ số góc m. Δ có phương trình y = m(x - 1) + 3

⇔ mx - y + (3 - m) = 0.

Ta có Δ tiếp xúc vơi (C) ⇔ d(I,Δ) = R

Vậy qua điểm K có hai tiếp tuyến với (C). Đó là :

Δ₁: y = 2√6(x - 1) + 3 và Δ₂: y = -2√6(x - 1) + 3

b) Ta có:

Ta có: S_KM1IM2 = 2√6

⇔ 2S_IM2K = 2√6

⇔ IM₂. KM₂ = 2√6

⇔ R²(25 - R²) = 24

⇔ R⁴ - 25R² + 24 = 0

Vậy bán kính đường tròn bằng 1 hoặc 2√6.

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 5)² + (y - 3)² = 4 và điểm A(1;2), một đường thẳng d đi qua A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN có độ dài bằng 2√3. Viết phương trình của d.

(Xem hình 3.32)

Đường tròn (C) có tâm I(5 ; 3) và có bán kính R = 2.

Gọi H là trung điểm của MN. Ta có

Phương trình đường thẳng d có dạng: y - 2 = k(x - 1) ⇔ kx - y + 2 = 0.

Ta có IH = 1

Vậy có hai điểm d thỏa mãn đề bài.

Đó là d₁: y - 2 = 0 và d₂: 8x - 15y + 22 = 0

Câu 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Gọi hai tiêu điểm của (E) lần lượt là F₁, F₂ và M thuộc (E) sao cho $\hat{F_{1} {MF}_{2}} = 60^{o}$ . Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác MF₁F₂

(Xem hình 3.33)

Elip (E) có phương trình chính tắc:

Ta có : a = 5, b = 3. Suy ra c² = a² - b² = 25 - 9 = 16

Vậy c = 4.

Xét điểm M(x;y) thuộc elip, ta có:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác F₁MF₂ ta có:

Ta lại có: M ∈ (E) ⇒

Thay (1) vào phương trình (2) ta được:

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn đề bài.

Chúng có tọa độ là

Câu 11:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm I(2;4), B(1;1), C(5;5). Tìm điểm A sao cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

(Xem hình 3.34)

Ta có:

IB = IC ⇒ AB = AC

Gọi M là trung điểm của BC, ta có M(3 ; 3).

Phương trình đường thẳng IM: x + y - 6 = 0 (1)

Phương trình đường thẳng IB: 3x - y - 2 = 0 (2)

Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng IB. Đặt N(x;y), ta có tọa độ trung điểm H của MN là

Ta có:

Ta có B(1;1). Phương trình đường thẳng BN: 7x + y - 8 = 0.

Điểm A là giao của hai đường thẳng BN và IM nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình

Vậy tọa độ điểm A là

Câu 12:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ Một góc vuông uOv (vuông tại O) quay quanh gốc O, cắt elip (E) tại M và N. Chứng minh rằng $\frac{1}{{OM}^{2}} + \frac{1}{{ON}^{2}}$ không đổi, từ đó suy ra MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

(Xem hình 3.35)

Gọi y = kx và y = -x/k là phương trình của Ou và Ov.

Phương trình hoành độ giao điểm của Ou và elip (E):

Ta có:

Suy ra :

Tương tự:

Suy ra:

Vậy không đổi.

Vẽ đường cao OH của tam giác vuông OMN.

Ta có:

Suy ra: không đổi

Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâ O bán kính

Câu 13:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 2)² = 4 và hai điểm A(1 ; 4), B(1; 1/2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn (C) tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.

(Xem hình 3.36)

Đường tròn (C) có tâm I(1;2) và có bán kính R = 2.

Ta có: x_A = x_I = x^B

Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình x = 1.

Ta có:

Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn.

Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d.

Ta có:

Suy ra S_AMN = 7S_IMN/3

= (7/3). (1/2). IM. IN. sin MIN = (14/3).sin MIN ≤ 14/3

S_AMNlớn nhất ⇔ sin MIN = 1 ⇔ góc MIN = 90^ο

⇔ IH = (R√2)/2 ⇔ d(I,MN) = √2

Phương trình đường thẳng MN là :

y - 0,5 = k(x - 1) ⇔ 2kx - 2y + (1 - 2k) = 0

Ta có: d(I,MN) = √2

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Câu 14:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật biết tọa độ hai đỉnh đối diện là (1;-5) và (6;2), phương trình của một đường chéo là 5x + 7y - 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.

(Xem hình 3.37)

Đặt A(1 ; -5), C(6 ; 2) và BD có phương trình: 5x + 7y - 7 = 0.

Đặt x_B = 7t ta có y_B = 1 - 5t.

Vậy B(7t; 1 - 5t).

Suy ra: vectơ BA = (1 - 7t; -6 + 5t) và vectơ BC = (6 - 7t; 1 + 5t).

Ta có:

⇔ (1 - 7t)(6 - 7t) + (1 + 5t)(-6 + 5t) = 0

Vậy B(0;1); D(7;-4) hoặc B(7;-4); D(0;1).

Câu 15:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB: 3x + 5y - 33 = 0; đường cao AH: 7x + y - 13 = 0; trung tuyến BM: x + 6y - 24 = 0 (M là trung điểm của AC). Tìm phương trình các cạnh còn lại của tam giác.

(Xem hình 3.38)

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy A(1 ; 6)

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy B(6 ; 3).

Đặt C(x;y) ta suy ra trung điểm M của AC có tọa độ

Ta có: vectơ BC(x - 6; y - 3) và vectơ u_AH(1; -7)

Ta có:

Suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy C(-1 ; 2).

Phương trình cạnh BC: x - 7y + 15 = 0

Phương trình cạnh AC: 2x - y + 4 = 0.

Câu 16:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có một đỉnh là O, diện tích bằng 12 và đường tròn ngoại tiếp (T) của có có phương trình là ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{25}{4}$ . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.

(Xem hình 3.39)

Đường tròn (T) có tâm T(5/2; 0) và bán kính R = 5/2.

= (5;0) suy ra B(5 ; 0). Đặt A(x ; y) ta có hệ phương trình:

Vậy ta được:

Câu 17:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:

• (C₁): (x - 2)² + (y - 2)² = 4

• (C₂): (x - 5)² + (y - 3)² = 16

a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C₁) , (C₂) cắt nhau ;

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến chung của (C₁) và (C₂).

(Xem hình 3.40)

a)

• (C₁) có tâm I(2;2) và bán kính R₁ = 2

• (C₂) có tâm J(5;3) và bán kính R₂ = 4

Ta có:

Do: R₂ - R₁ < IJ < R₂ + R₁

Nên (C₁) và (C₂) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi Δ và Δ′ là hai tiếp tuyến chung của (C₁) và (C₂) .

Δ tiếp xúc với (C₁) và (C₂) lần lượt tại A, B. Δ′ tiếp xúc với (C₁) và (C₂) lần lượt tại A', B'.

Ta có:

Vậy ta được M(-1;1).

Câu 18:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ và điểm A(-1; 0,5). Gọi d là đưởng thẳng đi qua A có hệ số góc là m. Xác định m để d cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho A là trung điểm của MN.

Phương trình đường thẳng d có dạng: y - 0,5 = m(x + 1) ⇔ y = m(x + 1) + 0,5.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (E) là:

x²/4 + (mx + m + 0,5)² = 1

⇔ x² + 4[mx + (m + 0,5)]² = 4

⇔ (4m² + 1)x² + 4[(2m + 1)m]x + 4(m + 0,5)² - 4 = 0

A là trung điểm của MN

⇔ 4m² + 2m = 4m² + 1 ⇔ m = 0,5

Câu 19:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A(2;-1), phương trình một đường chéo là x - 7y + 15 = 0 và độ dài cạnh AB = 3√2. Tìm tọa độ các đỉnh A, C, D biết y_B là một số nguyên.

Do tọa độ A không thỏa mãn phương trình đường thẳng x - 7y + 15 = 0 nên phương trình đường chéo BD là : x - 7y + 15 = 0, tọa độ điểm B là B(7t - 15; t).

Ta có :

AB = 3√2 ⇔ (7t - 17)² + (t + 1)² = 18

⇔ 50t² - 236t + 272 = 0

( (∗) loại)

Vậy B(-1 ; 2)

Ta có: = (-3;3) = -3(1;-1)

Phương trình đường thẳng AD là :

1(x - 2) - 1(y + 1) = 0

⇔ x - y - 3 = 0

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ:

Vậy D(6 ; 3).

Ta có AC và BD cắt nhau tại trung điểm I.

Suy ra:

Vậy C(3 ; 6).

Câu 20:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: (C₁): x² + y² + 10x = 0 và (C₂): x² + y² - 4x - 2y - 20 = 0 có tâm lần lượt là I, J.

a) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua giao điểm của (C₁) , (C₂) và có tâm nằm trên đường thẳng d: x - 6y + 6 = 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C₁) và (C₂). Gọi T₁, T₂ lần lượt là tiếp điểm của (C₁) , (C₂) với một tiếp tuyến chung, hãy viết phương trình đường thẳng Δ qua trung điểm của T₁T₂ và vuông góc với IJ.

(Xem hình 3.43)

a) (C₁) có tâm I(-5;0), bán kính R₁ = 5. (C₂) có tâm I(2;1), bán kính R₂ = 5

Tọa độ của giao điểm A, B của (C₁) và (C₂) là nghiệm của hệ phương trình:

Ta được A(-1 ; -3), B(-2 ; 4).

Gọi K là tâm của (C) ta có KA = KB = R ⇒ K ∈ IJ.

Phương trình IJ là: x - 7y + 5 = 0.

Tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy K(-12 ; -1). Ta có R₂ = KA₂ = 125.

Vậy phương trình của đường tròn (C) là : (x + 12)² + (y + 1)² = 125.

b) R₁ = R₂ = 5 ⇒ tiếp tuyến chung l của (C₁) và (C₂) song song với IJ. Phương trình l có dạng: x - 7y + c = 0.

Ta có: d(I,l) = R₁

Vậy phương trình của hai tiếp tuyến chung của (C₁) và (C₂) là :

Đường thẳng AB đi qua trung điểm M của T₁T₂và vuông góc với IJ.

Phương trình của AB là: 7x + y + 10 = 0.

Câu 21:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có tiêu điểm F₁(-2;0) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 12√5

Viết phương trình đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ và (C) cắt (E) tại bốn điểm tạo thành hình vuông.

(Xem hình 3.44)

Phương trình elip (E) có dạng:

Ta có tiêu điểm F₁(-2;0). Suy ra c = 2.

Diện tích hình chữ nhật cơ sở ABCD là 4ab. Suy ra 4ab = 12√5

Ta có : a² = b² + c² = b² + 4.

Giải hệ phương trình :

Ta được:

Vậy phương trình elip là:

Đường tròn (C) tâm O, bán kính R cắt elip tại bốn điểm M, N, P, Q.

Ta có MNPQ là hình vuông suy ra phương trình đường thẳng OM là : y = x.

Thay y = x vào phương trình elip ta được:

Vậy phương trình đường tròn (C) là :

Câu 22:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có x_A = 2, điểm C và trung điểm K của AD cùng thuộc trục Oy, tâm I thuộc trục Ox, AD = 2AB. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết rằng K có tung độ âm.

Đặt A(2; a), K(0; k), C(0; c), I(1; 0) là tọa độ các điểm đã cho ta có:

AD = 2AB ⇒ AK = 2KI.

Ta có:

Thay (1) vào (2) ta được:

Suy ra a = -3.

Vậy A(2;-3), C(0;3) và K(0;-1).

Ta có:

Vậy D(-2;1)

Ta có:

Vậy B(4;-1).

Câu 23:

Cho hình bình hành ABCD. Tổng vectơ $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}$ là:

$A . 2 \vec{AC}$

$B . \frac{2}{3} \vec{AC}$

$C . \vec{0}$

$D . \vec{AC}$

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

Đáp án: A

Câu 24:

Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Đặt $\vec{CA} = \vec{a}, \vec{CB} = \vec{b}$ . Vectơ AG bằng:

A. $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

B. $\frac{- 2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

C. $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

D. $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

Đáp án: B

Câu 25:

Cho E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC của tam giác ABC không cân tại A. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $|\vec{MA} + \vec{MB}| = |\vec{MA} + \vec{MC}|$ là:

A. Đường trung trực của EF

B. Đường thẳng BA

C. Đường trung trực của BC

D. Đường thẳng BC

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF.

Đáp án: A

Câu 26:

Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{AI} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}$

B. $\vec{AI} = \frac{1}{3} \vec{AB} - \frac{2}{3} \vec{AC}$

C. $\vec{AI} = \frac{- 1}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}$

D. $\vec{AI} = \frac{2}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC}$

Đáp án: A

Câu 27:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai?

A. $|\vec{AB} - \vec{AC}| = a$

B. $| \vec{AB} + \vec{AC} | = a \sqrt{3}$

C. $| \vec{GB} + \vec{GC} | = a$

D. $| \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{AC} | = 0$

Gọi M là trung điểm BC, ta có: |GB→ + GC→| = 2|GM→| = 1/3a√3. Mệnh đề C sai.

Đáp án: C

Câu 28:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(0;3), B(3;1). Tọa độ điểm M thỏa mãn $\vec{MA} = - 2 \vec{MB}$ là:

A. (6;-7)

B. (-6;7)

C. (-6;-1)

D. (6;-1)

Đáp án: D

Câu 29:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(-2;0), B(3;-2) và G(-1;2) là trọng tâm tam giác ADC. Tọa độ đỉnh D là:

A. (-2;4)

B. (3;4)

C. (3;-4)

D. (-3;4)

G là trọng tâm tam giác ADC ⇔ DG→ = 1/3 DB→

Đáp án: D

Câu 30:

Cho $\vec{a} = (- 2; 1), \vec{b} = (3; 4) và \vec{c} = (0; 8)$ . Tìm tọa độ $\vec{x} biết \vec{x} + \vec{a} = \vec{b} - \vec{c}$

$A . \vec{x} = (5; 3)$

$B . \vec{x} = (5; - 3)$

$C . \vec{x} = (5; - 5)$

$D . \vec{x} = (5; 5)$

x→ = b→ - c→ - a→ = (5; -5).

Đáp án: C

Câu 31:

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác MNP có M(1;1), N(5;3) và P thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm P là:

A. (2;0)

B. (0;-2)

C. (2;-4)

D. (0;-4)

P thuộc trục Oy nên x_P = 0. Trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox nên y_G = 0, suy ra y_P = -4.

Đáp án: D

Câu 32:

Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định sai:

$A . \sin 90^{o} > \sin 180^{o}$

$B . \sin 90^{o} 13' > \sin 90^{o} 14'$

$C . \sin 45^{o} > \sin 46^{o}$

$D . \sin 110^{o} > \sin 112^{o}$

0^o < 45^o < 46^o < 90^o nên sin45^o < sin46^o.

Đáp án: C

Câu 33:

Giá trị của biểu thức mcos 90^ο + psin 180^ο bằng:

A. m

B. n

C. p

D. m + n

cos90^o = 0, sin180^o = 0, sin90^o = 1.

Đáp án: B

Câu 34:

Để tính cos 120^ο, một học sinh thực hiện các bước như sau:

$(I) \sin 120^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2} (II) \cos^{2} 120^{o} = 1 - \sin^{2} 120^{o} (III) \cos^{2} 120^{o} = \frac{1}{4} (IV) \cos^{2} 120^{o} = \frac{1}{2}$

Lập luận trên không đúng từ bước nào?

A. (I)

B. (II)

C. (III)

D. (IV)

Vì 90^o < 120^o < 180^o nên cos120^o < 0.

Đáp án: D

Câu 35:

Giá trị của biểu thức S = sin²3^ο + sin²15^ο + sin²75^ο + sin²87^ο bằng:

A. S = 1

B. S = 0

C. S = 2

D. S = 4

sin87^o = cos3^o, sin75^o = cos15^o nên S = 2.

Đáp án: C

Câu 36:

Rút gọn biểu thức S = cos(90^ο - x)sin(180^ο - x) - sin(90^ο - x)cos(180^ο - x) ta được:

A. S = 1

B. S = 0

C. $S = \sin^{2} x - \cos^{2} x$

D. S = 2sinxcosx

Áp dụng công thức sina.cosb – sinb.cosa = sin(a – b) ta có S = 1.

Đáp án: A

Câu 37:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tích vô hướng $\vec{AB} . \vec{CB}$ bằng:

A. $3 a^{2}$

B. $a^{2}$

C. $- a^{2}$

D. $- 3 a^{2}$

Đáp án: D

Câu 38:

Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(1;1), B(2;4), C(10;-2). Góc BAC bằng bao nhiêu?

$A . 30^{o}$

$B . 60^{o}$

$C . 45^{o}$

$D . 90^{o}$

Đáp án: D

Câu 39:

Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(1;1), B(2;4), C(10;-2). Tích vô hướng $\vec{BA} . \vec{BC}$ bằng:

A. 30

B. 10

C. -10

D. -30

BA→ = (-1; -3), BC→ = (8; -6) nên BA→. BC→ = -8 + 18 = 10.

Đáp án: B

Câu 40:

Tam giác ABC có các cạnh a, b, c. cosB bằng biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 bc}$

B. $\sqrt{1 - \sin^{2} B}$

C. $\cos (A + C)$

D. $\frac{a^{2} + c^{2} - {ab}^{2}}{2 ac}$

Áp dụng định lý côsin ta chọn D.

Đáp án: D

Câu 41:

Độ dài trung tuyến m_c ứng với cạnh c của tam giác ABC bằng biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{b^{2} + a^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}$

B. $\sqrt{\frac{b^{2} + a^{2}}{2} + \frac{c^{2}}{4}}$

C. $\frac{1}{2} \sqrt{2 (b^{2} + a^{2}) - c^{2}}$

D. $\sqrt{\frac{b^{2} + a^{2} - c^{2}}{4}}$

Áp dụng công thức b² + a² = 2m_c² + c²/2.

Đáp án: C

Câu 42:

Gọi S là diện tích ta, giác ABC. Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định đúng.

A. S = a. $h_{a}$

B. S = abcosC/2

C. S = abc/4R

D. S = absinC

Đáp án: C

Câu 43:

Tam giác ABC có ba cạnh thỏa mãn hệ thức: a² = b² - c² - ac. Góc B bằng bao nhiêu?

$A . 150^{O}$

$B . 120^{o}$

$C . 60^{o}$

$D . 30^{o}$

Ta có cosB = (-1)/2.

Đáp án: B

Câu 44:

Tam giác ABC có các cạnh là a = 6, b = 4√2, c = 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3. Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu?

A. 3

B. 9

C. 4

D. (√108)/2

Ta có M là trung điểm BC. Áp dụng công thức b² + c² = 2m_a² + a²/2.

Đáp án: A

Câu 45:

Cho tam giác ABC có ba cạnh thỏa mãn hệ thức: b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mện đề nào đúng?

A. cosB + cosC = 2cosA

B. sinB + sinC = 2sinA

C. sinB + sinC = (sinA)/2

D. sinB + cosC = 2sinA

Thay b = 2R.sinB, c = 2R.sinC, a = 2R.sinA.

Đáp án: B

Câu 46:

Gọi S = m²_a + m²_b + m²_c là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $S = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) / 4$

B. $S = (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

C. $S = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) / 2$

D. $S = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

Thay m_a² = 1/2(b² + c² - a²/2), 〖m_b〗² = 1/2(a² + c² - b²/2), 〖m_c〗² = 1/2(a² + b² - c²/2).

Đáp án: A

Câu 47:

Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 17,4; góc B = 44^ο33'; góc C = 64^ο. Cạnh b bằng bao nhiêu?

A. 16,5

B. 12,9

C. 15,6

D. 22,1

Đáp án: B

Câu 48:

Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 16,8; góc B = 56^ο13'; góc C = 71^ο. Cạnh c bằng bao nhiêu?

A. 29,9

B. 14,1

C. 17,5

D. 19,9

Đáp án: D

Câu 49:

Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 49,4; b = 26,4; góc C = 47^ο20'. Cạnh c bằng bao nhiêu?

A. 64

B. 37

C. 28,5

D. 136,9

Áp dụng công thức c² = a² + b² – 2ac.cosC.

Đáp án: B

Câu 50:

Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 24; b = 13; c = 15. Góc A bằng:

$A . 33^{o} 34'$

$B . 117^{o} 49'$

$C . 28^{o} 37'$

$D . 58^{o} 24'$

Áp dụng công thức

Đáp án: B

Câu 51:

Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 13; b = 14; c = 15. Góc B bằng:

$A . 59^{o} 49'$

B. $53^{o} 7'$

C. $59^{o} 29'$

D. $62^{o} 22'$

Áp dụng công thức

Đáp án: C

Câu 52:

Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1;2), B(3;1), C(5;4). Phương trình đường cao vẽ từ A là:

A. 2x + 3y - 8 = 0

B. 3x - 2y - 5 = 0

C. 5x - 6y + 7 = 0

D. 3x - 2y + 5 = 0

Đường cao vẽ từ A có vectơ pháp tuyến BC→ = (2;3) nên có phương trình là: 2(x – 1) + 3(y – 2) = 0 hay 2x + 3y – 8 = 0.

Đáp án: A

Câu 53:

Cho tam giác ABC với A(-1;1), B(4;7), C(3;-2). Phương trình tham số của trung tuyến CM là:

A. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = - 2 + 4 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = - 2 - 4 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = 4 + 2 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 3 + 3 t \\ y = - 2 + 4 t \end{cases}$

Ta có trung điểm của AB là điểm M(3/2; 4). Trung tuyến CM đi qua điểm C(3;-2) và có vectơ chỉ phương (CM→ = ((-3)/2;6) = (-3)/2(1; -4) nên có phương trình tham số:

Đáp án: B

Câu 54:

Cho phương trình tham số của đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = 5 + t \\ y = - 9 - 2 t \end{cases}$ . Phương trình tổng quát của đường thằng d là:

A. 2x + y - 1 = 0

B. 2x + y + 1 = 0

C. x + 2y + 2 = 0

D. x + 2y - 2 = 0

2x + y – 1 = 0.

Đáp án: A

Câu 55:

Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

$A . x^{2} + 2 y^{2} - 4 x - 8 y + 1 = 0$

$B . 4 x^{2} + y^{2} - 10 x - 6 y - 2 = 0$

$C . x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 20 = 0$

$D . x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$

x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0.

Đáp án: D

Câu 56:

Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x + 4y - 20 = 0. Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định sai.

A. (C) có tâm I(1;2)

B. (C) có bán kính R = 5

C. (C) đi qua điểm M(2;2)

D. (C) không đi qua điểm A(1;1)

(C) có tâm I(-1; -2). Mệnh đề A sai.

Đáp án: A

Câu 57:

Cho đường tròn (C): x² + y² - 4x - 2y = 0 và đường thẳng Δ: x + 2y + 1 = 0

Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định đúng.

A. Δ đi qua tâm của (C).

B. Δ cắt (C) tại hai điểm.

C. Δ tiếp xúc (C).

D. Δ không có điểm chung với (C)

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và có bán kính R = √5. Ta có:

Suy ra Δ tiếp xúc với (C).

Đáp án: C

Câu 58:

Cho ba điểm A(3;5), B(2;3), C(6;2). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

$A . x^{2} + y^{2} - 25 x - 19 y + 68 = 0$

$B . x^{2} + y^{2} + 25 x + 19 y - 68 = 0$

$C . x^{2} + y^{2} - \frac{25}{3} x - \frac{19}{3} y + \frac{68}{3} = 0$

$D . x^{2} + y^{2} + \frac{25}{3} x + \frac{19}{3} y + \frac{68}{3} = 0$

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:

x² + y² – 2ax – 2by + c = 0. Thay tọa độ của ba điểm A, B, C vào ta được hệ phương trình:

Suy ra phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

x² + y² - 25/6 x - 19/6 y + 68/3 = 0.

Đáp án: C

Câu 59:

Lập phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh (-3;0), (3;0) và hai tiêu điểm (-1;0), (1;0) ta được:

A. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

$\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Đáp án: C

Câu 60:

Cho elip (E): 4x² + 9y² = 36. Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định sai.

A. (E) có trục lớn bằng 6.

B. (E) có trục nhỏ bằng 4

C. (E) có tiêu cự bằng √5

D. (E) có tâm sai bằng (√5)/3

(E) có tiêu cự bằng 2c = 2√5. Vậy mệnh đề C sai.

Đáp án: C

Câu 61:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ và đường thẳng Δ: x + y + 5 = 0. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (E) đến Δ bằng:

A. 16

B. 9

C. 81

D. 7

(E) có hai tiêu điểm F₁(-√7;0), F₂(√7;0)

d(F₁,Δ). d(F₂,Δ) = 9.

Đáp án: B

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan

Các bài thi hot trong chương