Sau khi học xong bài này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Kết quả của phép chia đa thức P cho đa thức Q khác đa thức 0 cũng có thể viết dưới dạng $\frac{P}{Q}$ . Khi đó, biểu thức $\frac{P}{Q}$  được gọi là phân thức.

a) Biểu thức 2x + 1 là đa thức.

a) Biểu thức x – 2 là đa thức khác đa thức 0.

a) Do x2y + xy2 và x – y là các đa thức và đa thức x – y khác đa thức 0 nên biểu thức $\frac{x^{2}y+x{y}^2}{x-y}$ là phân thức.

b) Do biểu thức $\frac{1}{x}$ không phải là các đa thức nên biểu thức $\frac{x^2-1}{\frac{1}{x}}$ không phải là phân thức.

Quy tắc để hai phân số bằng nhau là:

Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ được gọi là bằng nhau nếu a . d = b . c, viết là $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

a) Ta có: (x + y)(x – y) = x2 – y2 và (x2 – y2) . 1 = x2 – y2.

Nên (x + y)(x – y) = x2 – y2) . 1.

Vậy $\frac{x+y}{x^2-y^2}=\frac{1}{x-y}$.

b) Ta có: x(x – 1) = x2 – x và (x2 – 1) . 1 = x2 – 1

Do x(x – 1) ≠ (x2 – 1) . 1 nên hai phân thức $\frac{x}{x^2-1}$ và $\frac{1}{x-1}$ không bằng nhau.

b) Tính chất cơ bản của phân số là:

• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số khác 0 thì nhận được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}$ với M là một số khác 0.

• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N}$ với N là một nhân tử chung của A và B.

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với y, ta được:

$\frac{3x+y}{y}=\frac{(3x+y).y}{y.y}=\frac{3xy+y^2}{y^2}$ (theo tính chất cơ bản của phân thức).

a) Nhân tử chung của tử và mẫu là 2xy.

b) Ta có: $\frac{4x^{2}y}{6x{y}^2}=\frac{4x^{2}y:2xy}{6x{y}^2:2xy}=\frac{2x}{3y}$.

Vậy sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung thì phân thức nhận được là $\frac{2x}{3y}$.

a) $\frac{8x^2+4x}{1-4x^2}=\frac{4x(2x+1)}{(1-2x)(1+2x)}$

$=\frac{\left[4x\right(2x+1\left)\right]:(2x+1)}{\left[\right(1-2x\left)\right(2x+1\left)\right]:(2x+1)}=\frac{4x}{1-2x}$.

b) $\frac{x^3-x{y}^2}{2x^2+2xy}=\frac{x(x^2-y^2)}{2x(x+y)}=\frac{x(x+y)(x-y)}{2x(x+y)}$

$=\frac{\left[x\right(x+y\left)\right(x-y\left)\right]:\left[x\right(x+y\left)\right]}{\left[2x\right(x+y\left)\right]:\left[x\right(x+y\left)\right]}=\frac{x-y}{2}$.

Cho hai phân thức $\frac{1}{x^{2}y}$ và $\frac{1}{x{y}^2}$.

a) • Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y, ta được:

$\frac{1}{x^{2}y}=\frac{1.y}{x^{2}y.y}=\frac{y}{x^2{y}^2}$.

• Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x, ta được:

$\frac{1}{x{y}^2}=\frac{1.x}{x{y}^2.x}=\frac{x}{x^2{y}^2}$.

b) Mẫu của hai phân thức thu được bằng nhau và đều bằng x2y2.

Để tìm MTC của hai phân thức trên, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử

2x + 6 = 2(x + 3); x2 – 9 = (x – 3)(x + 3).

Bước 2. Chọn MTC là: 2(x – 3)(x + 3).

Cách tìm mẫu thức như bảng sau:

Để quy đồng mẫu thức của hai phân thức trên, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm mẫu thức chung

Chọn MTC là: x(x – 1)(x + 1).

Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu)

[x(x – 1)(x + 1)] : x(x + 1) = x – 1; [x(x – 1)(x + 1)] : x(x – 1) = x + 1.

Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng

$\frac{2}{x^2+x}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}$;

$\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}$.

Để mẫu x – 2 ≠ 0 thì x ≠ 2.

Vậy giá trị của x sao cho mẫu x – 2 ≠ 0 là x ≠ 2.

Giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{x-1}$ tại x = 2 là: $\frac{2+2}{2-1}=\frac{4}{1}=4$.

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x+1}{x^2+x}$ là x2 + x ≠ 0.

b) • Với x = 10 ta thấy x2 + x = 102 + 10 = 100 + 10 = 110 ≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = 10 là:

$\frac{10+1}{{10}^2+10}=\frac{11}{100+10}=\frac{11}{110}$.

Do đó giá trị của phân thức tại x = 10 là $\frac{11}{110}$.

• Với x = −1 ta thấy x2 + x = (−1)2 + (−1) = 1 – 1 = 0.

Nên x = −1 không thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó tại x = −1 thì phân thức đã cho không tồn tại.

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{y}{3y+3}$ là 3y + 3 ≠ 0;

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{4x}{x^2+16}$ là x2 + 16 ≠ 0;

c) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x+y}{x-y}$ là x – y ≠ 0.

a) Ta có: 3x . 10y = 30xy và 2 . 15xy = 30xy

Nên 3x . 10y = 2 . 15xy.

Do đó $\frac{3x}{2}=\frac{15xy}{10y}$.

b) Ta có (3x – 3y) . 2 = 6x – 6y và –3(2y – 2x) = – 6y + 6x = 6x – 6y.

Nên (3x – 3y) . 2 = –3(2y – 2x).

Do đó $\frac{3x-3y}{2y-2x}=\frac{-3}{2}$.

c) Ta có (x2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) = x(x3 + 1);

Vì (x2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x3 + 1) nên $\frac{x^2-x+1}{x}=\frac{x^3+1}{x(x+1)}$.

a) $\frac{24x^2{y}^2}{16x{y}^3}=\frac{\left(24x^2{y}^2\right):\left(8x{y}^2\right)}{\left(16x{y}^3\right):\left(8x{y}^2\right)}=\frac{3x}{2y}$;

b) $\frac{6x-2y}{9x^2-y^2}=\frac{6x-2y}{{\left(3x\right)}^2-y^2}=\frac{2(3x-y)}{(3x+y)(3x-y)}$

$=\frac{2(3x-y):(3x-y)}{(3x+y)(3x-y):(3x-y)}=\frac{2}{3x+y}$.

a) Ta có MTC: (x – 3y)(x + 3y)

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

$\frac{2}{x-3y}=\frac{2(x+3y)}{(x-3y)(x+3y)}$; $\frac{3}{x+3y}=\frac{3(x-3y)}{(x+3y)(x-3y)}$.

b) Ta có: 4x + 24 = 4(x + 6); x2 – 36 = (x + 6)(x – 6).

Suy ra MTC: 4(x + 6)(x – 6).

Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:

$\frac{7}{4x+24}=\frac{7}{4(x+6)}=\frac{7(x-6)}{4(x+6)(x-6)}$; $\frac{13}{x^2-36}=\frac{13}{(x+6)(x-6)}=\frac{13.4}{(x+6)(x-6).4}=\frac{52}{4(x+6)(x-6)}$.

a) Trong Hình 1:

• Hình chữ nhật ABCD có chiều dài là x + 3 (cm); chiều rộng là x + 1 (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (x + 3)(x + 1) (cm2).

• Hình chữ nhật MNPQ có chiều dài là x + 1 (cm); chiều rộng là x (cm).

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: x(x + 1) (cm2).

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là:

$\frac{(x+3)(x+1)}{x(x+1)}=\frac{x+3}{x}$.

a) Đổi: 80 triệu = 80 000 nghìn đồng.

Chi phí để sản xuất của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng.

Khi đó, chi phí để sản xuất của x sản phẩm là 15x nghìn đồng.

Do đó, số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là:

80 000 + 15x (nghìn đồng).

Vậy phân thức biểu thị số tiền thực đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là $\frac{80000+15x}{1}$ (nghìn đồng).

b) Phân thức biểu thị chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm theo x là: $\frac{80000+15x}{x}$ (nghìn đồng).

c) • Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100 là:

$\frac{80000+15.100}{100}=\frac{80000+1500}{100}=\frac{81500}{100}=815$ (nghìn đồng).

• Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 1 000 là:

$\frac{80000+15.1000}{1000}=\frac{80000+15000}{100}=\frac{9500}{100}=95$ (nghìn đồng).

Nhận xét: Nếu x ngày càng tăng thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm càng giảm.

Từ đó ta kết luận thời gian sử dụng càng lâu thì càng tiết kiệm chi phí.