Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Ta cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng một nhát thẳng cắt cả hai cạnh đáy.

Lật một trong hai hình thang đó rồi ghép với hình thang còn lại dọc theo các cạnh bên của hình thang ban đầu nên $\widehat{D}=\widehat{M}\text{'}$.

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên AB // CD suy ra MN’ // M’N.

Do đó MN’M’N là hình thang.

Hình thang MN’M’N có $\widehat{D}=\widehat{M}\text{'}$ nên MN’M’N là hình thang cân.

a) Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên $\widehat{BAI}=\widehat{AIH}$ (hai góc so le trong).

Ta có AH ⊥ DC, BI ⊥ DC suy ra AH // BI.

Do đó $\widehat{AIB}=\widehat{HAI}$ (hai góc so le trong).

Xét ∆AHI và ∆IBA có:

$\widehat{BAI}=\widehat{AIH}$ (chứng minh trên);

Cạnh AI chung;

$\widehat{AIB}=\widehat{HAI}$ (hai góc so le trong).

Do đó ∆AHI = ∆IBA (c.g.c).

Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).

b) Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên AD = BC; $\widehat{C}=\widehat{D}$.

Xét ∆AHD và ∆BIC có:

$\widehat{AHD}=\widehat{BIC}=90°$ (vì AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD);

AD = BC (chứng minh trên);

$\widehat{C}=\widehat{D}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆AHD = ∆BIC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Ta có $\widehat{A}={\widehat{D}}_1$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AB // CD.

Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.

Mặt khác hình thang ABCD có $\widehat{A}=\widehat{B}$ nên ABCD là hình thang cân.

Do đó AB = BC (đpcm).

Vì ABCD là hình thang cân (AC // CD) nên AD = BC; $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$.

Xét ∆ACD và ∆BDC có

AD = BC (chứng minh trên);

$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ (chứng minh trên);

Cạnh CD chung.

Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

a) Theo đề bài: d // BC nên DE // BC

Suy ra DECB là hình thang.

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}$.

Hình thang DECB có $\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tứ giác DECB là hình thang cân.

b) Hình thang cân DECB có BE và CD là hai đường chéo.

Do đó BE = CD (đpcm).

a) Học sinh vẽ hình theo các bước đã nêu ở đề bài.

b) Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD.

Do đó ABCD là hình thang cân.

Ta cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng một nhát thẳng cắt cả hai cạnh đáy.

Lật một trong hai hình thang đó rồi ghép với hình thang còn lại dọc theo các cạnh bên của hình thang ban đầu nên $\widehat{D}=\widehat{M}\text{'}$.

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên AB // CD suy ra MN’ // M’N.

Do đó MN’M’N là hình thang.

Hình thang MN’M’N có $\widehat{D}=\widehat{M}\text{'}$ nên MN’M’N là hình thang cân.

Để hình thang ABCD là hình thang cân thì $\widehat{A}=\widehat{B}=120°;\widehat{C}=\widehat{D}=80°$.

Suy ra $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=120°+120°+80°+80°=400°>360°$ (không thỏa mãn định lí tổng bốn góc trong một tứ giác).

Khi đó, ACBD không phải là tứ giác.

Do đó ACBD cũng không phải là hình thang cân.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Xét ∆DOE và ∆COE có:

$\widehat{ODE}=\widehat{OCE}=90°$ (vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE)

EC = ED (giả thiết)

Cạnh OE chung

Do đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác OCD cân tại O nên ${\widehat{C}}_1={\widehat{D}}_1$.

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra ${\widehat{A}}_1={\widehat{C}}_1;{\widehat{B}}_1={\widehat{D}}_1$ (cặp góc so le trong).

Do đó ${\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1$ (vì ${\widehat{C}}_1={\widehat{D}}_1$).

Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB.

Xét ∆OAD và ∆OBC có:

OA = OB (chứng minh trên)

$\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ (hai góc đối đỉnh)

OC = OD (chứng minh trên)

Do đó ∆OAD = ∆OBC (c.g.c)

Suy ra ${\widehat{C}}_2={\widehat{D}}_2$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{ADC}={\widehat{D}}_1+{\widehat{D}}_2;\widehat{BCD}={\widehat{C}}_1+{\widehat{C}}_2$.

Mà ${\widehat{C}}_1={\widehat{D}}_1 ;{\widehat{C}}_2={\widehat{D}}_2$ nên $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$.

Hình thang ABCD có $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ nên ABCD là hình thang cân.

Vì ABCD là hình thang cân nên $\widehat{DAB}=\widehat{ABC};\widehat{C}=\widehat{D};AD=BC$.

Theo đề bài, ta có AE, BE lần lượt là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ và $\widehat{ABC}$.

Suy ra ${\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2;{\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$.

Mà $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}$ nên ${\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2={\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2$.

Xét tam giác EAB cân tại E (vì ${\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1$) nên EA = EB.

Xét ∆ADE và ∆BCE có:

EA = EB (chứng minh trên)

${\widehat{A}}_2={\widehat{B}}_2$ (chứng minh trên)

AD = BC (chứng minh trên)

Do đó ∆ADE = ∆BCE (c.g.c).

Suy ra EC = ED (hai cạnh tương ứng).

Gọi O là giao điểm của AB và IJ.

Vì ABCD là hình thang cân nên $\widehat{BAD}=\widehat{ABC};\widehat{ADC}=\widehat{BCD};AD=BC;AC=BD$.

Xét ∆ABD và ∆BAC có:

AC = BD (chứng minh trên);

$\widehat{BAD}=\widehat{ABC}$ (chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆BAC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{BCD}$ (hai góc tương ứng).

Tam giác ICD cân tại I (vì $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$) nên IC = ID.

Vì $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}; \widehat{ABD}=\widehat{BCD}$ nên $\widehat{JDC}=\widehat{JCD}$.

Tam giác JCD cân tại J (vì $\widehat{JDC}=\widehat{JCD}$) nên JC = JD.

Xét ∆IJD và ∆IJC có:

IC = ID (chứng minh trên);

$\widehat{ADB}=\widehat{BCD}$ (chứng minh trên);

JC = JD (chứng minh trên).

Do đó ∆IJD = ∆IJC (c.g.c).

Suy ra $\widehat{DIJ}=\widehat{CIJ}$ (hai góc tương ứng).

Ta có ID = IC, AD = BC.

Mà ID = AI + AD; IC = IB + BC nên IA = IB.

Tam giác IAB cân tại I (vì IA = IB) có IO là tia phân giác $\widehat{AIB}$ 

Suy ra IO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.