Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

• Hình 3.46a)

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông thì tạo ra tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và đều bằng cạnh AB.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình thoi.

• Hình 3.46b)

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông. Nếu OA = OB thì hai đường chéo của tứ giác bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Khi đó, tứ giác đã cho là hình vuông.

Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên ta suy ra hai cặp cạnh đối bằng nhau.

Ta suy ra tính chất hình thoi dựa vào tính chất của hình bình hành như sau:

- Hình thoi có hai góc đối bằng nhau.

- Hình thoi có các cặp cạnh đối song song.

- Hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

a) Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Suy ra ∆ABD có cân tại A.

b) Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Xét ∆ABC và ∆ADC có:

AB = AD (chứng minh trên);

BC = CD (chứng minh trên);

Cạnh AC chung.

Do đó ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)

Suy ra ${\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2$ (hai góc tương ứng)

Hay AC là đường phân giác của góc A.

Tam giác ABD cân tại A có AO là đường phân giác của góc A (vì AC là đường phân giác góc A) nên AO cũng là đường cao.

Khi đó AO ⊥ BD hay AC ⊥ BD.

Vậy AC vuông góc với BD và AC là đường phân giác của góc A.

Giả thiết, kết luận của Định lí 2.

a)

Ta có thể viết giả thiết đối với các cặp cạnh kề khác, chẳng hạn như:

Hình bình hành ABCD có BC = CD hoặc CD = DA hoặc DA = AB.

b)

c)

Ta có thể viết giả thiết tương tự đối với tia phân giác góc B hoặc góc C hoặc góc D.

• Hình 3.51a)

Tứ giác đã cho có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và chúng vuông góc với nhau nên tứ giác đó là hình thoi.

• Gọi tứ giác trong Hình 3.51b) là tứ giác ABCD.

Vì ${\widehat{B}}_1={\widehat{D}}_1$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Mà AB = CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mặt khác, ${\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$ hay DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$.

Khi đó, hình bình hành ABCD có DB là tia phân giác của $\widehat{ADC}$.

Do đó tứ giác ABCD là hình thoi.

• Tứ giác trong Hình 3.51c) hai đường chéo vuông góc với nhau và có đường chéo là đường vuông góc của một góc của tứ giác.

Từ đó ta suy ra tứ giác đã cho không phải là hình thoi.

Vậy Hình 3.51a và Hình 3.51b là hình thoi.

Hình vuông cũng là hình thoi, hình chữ nhật.

Mà hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau còn hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Do đó, hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

• Hình 3.54a)

Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra tứ giác này là hình chữ nhật.

Mà AB = BC nên tứ giác ABCD là hình vuông.

Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

• Hình 3.54b)

Tứ giác EFGH có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường.

Ta có $\widehat{EFG}=\widehat{EFP}+\widehat{GFP}=45°+45°=90°$.

Suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật EFGH có đường chéo FH là đường phân giác của $\widehat{EFG}$.

Do đó tứ giác EFGH là hình vuông.

Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc của hình vuông.

 • Hình 3.54c)

Tứ giác IJKL có hai đường chéo IK và JL bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm Q của mỗi đường.

Suy ra tứ giác IJKL là hình chữ nhật.

Mà IK ⊥ JL nên tứ giác IJKL là hình vuông.

Ta dùng dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình chữ nhật.

- Trong trường hợp a:

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông thì tạo ra tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và đều bằng cạnh AB.

Khi đó, tứ giác ABCD là hình thoi.

- Trong trường hợp b:

Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông. Nếu OA = OB thì hai đường chéo của tứ giác bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Khi đó, tứ giác đã cho là hình vuông.

* Xét Hình 3.55a)

Tứ giác ABCD có AB = CD; AD = BC.

Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

* Xét Hình 3.55b)

Tứ giác EFGH có hai đường chéo EG và FH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.

Hình bình hành EFGH có hai đường chéo vuông góc với nhau

Do đó tứ giác EFGH là hình thoi.

a) Tứ giác AEDF có AE // DF; AF // DE (giả thiết).

Suy ra tứ giác AEDF là hình bình hành.

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A.

Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì hình vuông là hình bình hành có một góc vuông).

d) Nếu ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác của góc A với cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi).

Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD.

Suy ra EH là đường trung bình của tam giác ABD.

Do đó $EH=\frac{BD}{2}$             (1)

Chứng minh tương tự, ta có:       $FG=\frac{BD}{2};EF=\frac{AC}{2};HG=\frac{AC}{2}$         (2)

Lại có, ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD         (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra EF = FG = GH = HE.

Do đó tứ giác ABCD là hình thoi.

Xét tam giác ABC có E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Suy ra EF là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó EF // AC và $EF=\frac{AC}{2}$    (1)

* Tương tự tam giác ADC có HG là đường trung bình nên:

HG // AC và $HG=\frac{AC}{2}$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG.

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.

Lại có: EF // AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF.

EH // BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EH.

Nên $\widehat{FEH}=90°$.

Hình bình hành EFGH có $\widehat{E}=90°$ nên là hình chữ nhật.

Gọi I là trung điểm của AD.

Khi đó, $MI=\frac{AD}{2}$ mà M là trung điểm của BC nên MI = AB.

Suy ra $AB=\frac{AD}{2}$ nên AD = 2AB.

Mà $AB+AD=\frac{36}{2}=18$ (cm).

Suy ra AB + 2AB = 18

Hay 3AB = 18

Do đó AB = 6 (cm).

Suy ra AD = 2AB = 2 . 6 = 12 (cm).

Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD là AB = CD = 6 cm; AD = BC = 12 cm.