Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con sông nên AC // BD, áp dụng định lí Thalès, ta có:

$\frac{AE}{AB}=\frac{CE}{CD}$ hay $\frac{400}{300}=\frac{500}{CD}$ .

Suy ra $CD=\frac{300.500}{400}=375$  (m).

Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

Chọn đoạn MN làm đơn vị độ dài thì MN = 1 (đvđd).

Khi đó, AB = 2 (đvđd); CD = 6 (đvđd).

Do đó $\frac{AB}{CD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ .

Vậy AB = 2 (đvđd); CD = 6 (đvđd);$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$ .

Đo độ dài các đoạn thẳng, ta được: AB = 4,8 cm; CD = 14,4 cm.

Khi đó $\frac{AB}{CD}=\frac{4,8}{14,4}=\frac{1}{3}$.

Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ tìm được ở Hoạt động 1 và Hoạt động 2 bằng nhau và đều bằng $\frac{1}{3}$.

a) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: $\frac{MN}{PQ}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3};\frac{PQ}{MN}=\frac{9}{3}=\frac{3}{1}$.

Vậy $\frac{MN}{PQ}=\frac{1}{3};\frac{PQ}{MN}=\frac{3}{1}$.

b) Tỉ số của các đoạn thẳng được tính như sau: $\frac{EF}{HK}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2};\frac{HK}{EF}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$.

Vậy $\frac{EF}{HK}=\frac{5}{2};\frac{HK}{EF}=\frac{2}{5}$.

a) Từ hình vẽ ta thấy: $\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};\frac{AC\text{'}}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Do đó, $\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{AC\text{'}}{AC}$.

b) Từ hình vẽ ta thấy: $\frac{AB\text{'}}{B\text{'}B}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1};\frac{AC\text{'}}{C\text{'}C}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$.

Vậy $\frac{AB\text{'}}{B\text{'}B}=\frac{AC\text{'}}{C\text{'}C}$.

c) Từ hình vẽ ta thấy: $\frac{B\text{'}B}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};\frac{C\text{'}C}{AC}=\frac{6}{2}=\frac{3}{1}$.

Do đó $\frac{B\text{'}B}{AB}=\frac{C\text{'}C}{AC}$.

a) Áp dụng định lí Thalès vào ∆ABC, ta có:

$\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{CN}$ hay $\frac{6,5}{x}=\frac{4}{2}$.

Suy ra $x=\frac{6,5.2}{4}=3,25$ (đvđd).

Vậy x = 3,25 (đvđd).

b) Ta có: PQ = PF + QF = 5 + 3,5 = 8,5 (đvđd).

Áp dụng định lí Thalès vào ∆PHQ, ta có:

$\frac{PE}{PH}=\frac{PF}{PQ}$ hay $\frac{4}{y}=\frac{5}{8,5}$.

Suy ra $y=\frac{4.8,5}{5}=6,8$ (đvđd).

Vậy y = 6,8 (đvđd).

• Ta có $\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$; $\frac{AC\text{'}}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{AC\text{'}}{AC}$.

• Đường thẳng a đi qua B’ và song song với BC, đường thẳng qua a cắt AC tại điểm C’’ nên B’C’’ // BC.

Áp dụng định lí Thalès vào ∆ABC, ta có:

$\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{AC\text{'}\text{'}}{AC}$ hay $\frac{4}{6}=\frac{AC\text{'}\text{'}}{9}$.

Suy ra $AC\text{'}\text{'}=\frac{4.9}{6}=6$ (cm).

Vậy AC’’ = 6 cm.

• Trên cạnh AC lấy điểm C’ sao cho AC’ = 6 cm.

Đường thẳng a đi qua B’ và song song với BC, đường thẳng qua a cắt AC tại điểm C’’ nên điểm C’’ nằm trên cạnh AC sao cho AC’’ = 6 cm.

Do đó, hai điểm C’, C’’ trùng nhau.

Vì hai điểm C’, C’’ trùng nhau mà B’C’’ // BC nên B’C’ // BC.

Hai cạnh AC và BD thuộc hai bờ của con sông nên AC // BD, áp dụng định lí Thalès, ta có:

$\frac{AE}{AB}=\frac{CE}{CD}$ hay $\frac{400}{300}=\frac{500}{CD}$.

Suy ra $CD=\frac{300.500}{400}=375$ (m).

Vậy khoảng cách giữa C và D bằng 375 m.

• Hình 4.9a)

Vì HK // QE nên áp dụng định lí Thalès, ta có:

$\frac{PH}{QH}=\frac{PK}{KE}$ hay $\frac{6}{4}=\frac{8}{x}$.

Suy ra $x=\frac{8.4}{6}=\frac{16}{3}\approx 5,3$ (đvđd).

• Hình 4.9b)

Vì $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}; \widehat{AMN}$ mà $\widehat{ABC}$ là hai góc đồng vị nên MN // BC.

Ta có AB = AM + BM = y + 6,5.

Áp dụng định lí Thalès, ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ hay $\frac{y}{y+6,5}=\frac{8}{11}$.

Suy ra 11y = 8(y + 6,5)

11y = 8y + 52

11y – 8y = 52

3y = 52

$y=\frac{52}{3}\approx 17,3$ (đvđd)

Vậy x ≈ 5,3 (đvđd); y ≈ 17,3 (đvđd).

• Hình 4.10a)

Ta có $\frac{EM}{EN}=\frac{2}{3};\frac{MF}{PF}=\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{EM}{EN}=\frac{MF}{PF}$.

Vì $\frac{EM}{EN}=\frac{MF}{PF}$, E ∈ MN, F ∈ MP nên theo định lí Thalès đảo ta suy ra EF // MN.

• Hình 4.10b)

* Ta có: $\frac{HF}{KF}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6};\frac{HM}{MQ}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$.

Vì $\frac{HF}{KF}\ne \frac{HM}{MQ}$ nên MF không song song với KQ.

* Ta có: $\frac{MQ}{MH}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3};\frac{EQ}{EK}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$.

Vì $\frac{MQ}{MH}=\frac{EQ}{EK}$; F ∈ HK; M ∈ HQ nên theo định lí Thalès đảo ta suy ra ME // HK.

Áp dụng định lí Thalès, ta có:

• Vì DE // AC nên $\frac{AE}{AB}=\frac{CD}{BC}$;

• Vì DF // AC nên $\frac{AF}{AC}=\frac{BD}{BC}$.

Khi đó, $\frac{AE}{AB}+\frac{AF}{AC}=\frac{CD}{BC}+\frac{BD}{BC}=1$ (đpcm).

Lấy D là trung điểm của cạnh BC.

Khi đó, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên điểm G nằm trên cạnh AD.

Ta có $\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$ hay $AG=\frac{2}{3}AD$.

Vì MG // AB, theo định lí Thalès, ta suy ra: $\frac{AG}{AD}=\frac{BM}{BD}=\frac{2}{3}$.

Ta có BD = CD (vì D là trung điểm của cạnh BC) nên $\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{2BD}=\frac{2}{2.3}=\frac{1}{3}$.

Do đó $BM=\frac{1}{3}BC$ (đpcm).