Đáp án đúng là: C

Trong Hình 4.31 có $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC.

Áp dụng định lí Thalès vào tam giác ABC, ta có:

$\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{CN}$ hay $\frac{2}{3}=\frac{1,5}{x}$.

Suy ra $x=\frac{1,5.3}{2}=2,25$.

Vậy x = 2,25.

Đáp án đúng là: B

Vì H, K lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HK là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $HK=\frac{1}{2}AB$.

Do đó AB = 2HK = 2 . 3,5 = 7 (cm).

Vậy AB = 7 cm.

Đáp án đúng là: D

• Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $MN=\frac{1}{2}BC$.

• Vì N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $NP=\frac{1}{2}AB$.

• Vì M, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $MP=\frac{1}{2}AC$.

Chu vi tam giác ABC bằng: AB + BC + CA = 32 (cm).

Chu vi tam giác MNP bằng:

$MN+NP+MP=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC$

$=\frac{1}{2}(AB+BC+CA)=\frac{1}{2}.32=16$ (cm)

Vậy chu vi tam giác MNP bằng 16 cm.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Thalès:

• Với DE // BC (E ∈ AC) ta có: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{9}{12}=\frac{2}{3}$;

• Với EF // CD (F ∈ AB) ta có: $\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$.

Suy ra $AF=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}.6=4$ (cm).

Vậy AF = 4 cm.

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 15 cm.

Theo đề bài, BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$, áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác ABC, ta có:

$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$ suy ra $\frac{AD}{3}=\frac{CD}{2}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{AD}{3}=\frac{CD}{2}=\frac{AD+CD}{3+2}=\frac{AC}{5}=\frac{15}{5}=3$.

Do đó AD = 3 . 3 = 9 (cm).

Vậy AD = 9 cm.

Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D hay AC // BD.

Áp dụng định lí Thalès vào tam giác OBD, ta có:

$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$ hay $\frac{2}{5}=\frac{3}{OD}$.

Suy ra $OD=\frac{5.3}{2}=7,5$ (cm)

Ta có OD = OC + CD suy ra CD = OD – OC = 7,5 – 3 = 4,5 (cm).

Vậy CD = 4,5 cm.

a) Theo đề bài, tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$ hay AB ⊥ AC.

Vì D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra DE // AC.

Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ DE hay $\widehat{ADE}=90°$.

Tương tự, ta chứng minh được: EF ⊥ AC hay $\widehat{AFE}=90°$.

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{ADE}+\widehat{AFE}+\widehat{DEF}=360°$

Suy ra $\widehat{DEF}=360°-270°=90°$.

Tứ giác ADEF có $\widehat{BAC}=90°;\widehat{ADE}=90°;\widehat{AFE}=90°;\widehat{DEF}=90°$.

Do đó tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AE và DF bằng nhau.

Vậy AE = DF (đpcm).

b) Vì D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DF // BC hay DF // BE.

Vì tứ giác ADEF là hình chữ nhật nên AD // EF hay BD // EF.

Tứ giác BDFE có DF // BE và BD // EF nên tứ giác BDFE là hình bình hành.

Hình bình hành BDFE có hai đường chéo BF và DE.

Mà I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của BF.

Do đó, ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Vì BD và CE là đường trung tuyến nên E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Khi đó, DE // BC và $DE=\frac{1}{2}BC$         (1)

Vì I, K lần lượt là trung điểm của GB, GC nên IK là đường trung bình của tam giác GBC suy ra IK // BC và $IK=\frac{1}{2}BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE // IK và $DE=IK=\frac{1}{2}BC$.

Tứ giác EDKI có DE // IK và DE = IK nên tứ giác EDKI là hình bình hành (đpcm).

Áp dụng định lí Thalès:

• Vì IM // BK nên $\frac{AI}{AB}=\frac{AM}{AK}$ suy ra AB . AM = AI . AK           (1)

• Vì KN // IC nên $\frac{AN}{AI}=\frac{AK}{AC}$ suy ra AN . AC = AI . AK            (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB . AM = AN . AC = AI . AK        

Do đó $\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$ (theo tính chất tỉ lệ thức).

Suy ra MN // BC (theo định lí Thalès đảo).