Sau bài học này chúng ta giải quyết bài toán này như sau:

Các phép tính với đa thức (nhiều biến) được thực hiện tương tự các phép tính với đa thức một biến.

a) Tổng P + Q được viết theo hàng ngang như sau:

P + Q = (x2 + 2xy + y2) + (x2 – 2xy + y2)

b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau, ta được:

P + Q = (x2 + 2xy + y2) + (x2 – 2xy + y2)

= (x2 + x2) + (2xy – 2xy) + (y2 + y2)

c) Tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được:

P + Q = (x2 + x2) + (2xy – 2xy) + (y2 + y2)

= 2x2 + 2y2.

M + N = (x3 + y3) + (x3 – y3)

= (x3 + y3) + (x3 – y3) = x3 + y3 + x3 – y3

= (x3 + x3) + (y3 – y3) = 2x3.

a) Hiệu P – Q được viết theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc, ta được:

P – Q = (x2 + 2xy + y2) – (x2 – 2xy + y2).

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đổng dạng với nhau, ta được:

P – Q = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2

= (x2 – x2) + (2xy + 2xy) + (y2 – y2).

c) Tổng P – Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm như sau:

P – Q = (x2 – x2) + (2xy + 2xy) + (y2 – y2) = 4xy.

Trong Ví dụ 3 có các đa thức: A = x2 – 2xy + y2; B = 2x2 – y2; C = x2 – 3xy.

a) B – C = (2x2 – y2) – (x2 – 3xy)

= 2x2 – y2 – x2 + 3xy = (2x2 – x2) + 3xy – y2

= x2 + 3xy – y2;

b) (B – C) + A = (x2 + 3xy – y2) + (x2 – 2xy + y2)

= x2 + 3xy – y2 + x2 – 2xy + y2

= (x2 + x2) + (3xy – 2xy) + (y2 – y2)

= 2x2 + xy.

a) Ta có 3x2 . 8x4 = (3 . 8) (x2 . x4) = 24x6.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức một biến:

Muốn nhân hai đơn thức một biến ta làm như sau:

• Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;

• Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Tích của hai đơn thức đã cho là:

x3y7 . (−2x5y3) = −2 (x3 . x5) (y7 . y3) = −2x8y10.

a) Ta có: 11x3 . (x2 – x + 1) = 11x3 . x2 – 11x3 . x + 11x3 . 1

= 11x5 – 11x4 + 11x3.

b) Quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Ta có $\left(-\frac{1}{2}xy\right)(8x^2-5xy+2y^2)$

$=\left(-\frac{1}{2}xy\right).8x^2-\left(-\frac{1}{2}xy\right).5xy+\left(-\frac{1}{2}xy\right).2y^2$

$=-\frac{1}{2}xy.8x^2+\frac{1}{2}xy.5xy-\frac{1}{2}xy.2y^2$

$=-4x^{3}y+\frac{5}{2}{x}^2{y}^2-x{y}^3$.

a) Ta có: (x + 1)(x2 – x + 1)

= x . x2 – x . x + x . 1 + x2 – x + 1

= x3 – x2 + x + x2 – x + 1

= x3 + (x2 – x2) + (x – x) + 1 = x3 + 1.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Ta có (x – y)(x – y) = x . x – x . y – y . x + y . y = x2 – 2xy + y2.

Ta có 9x5y4 . 2x4y2 = (9 . 2) (x5 . x4) (y4 . y2) = 18x9y6.

• Ta có: P = (21x4y5) : (7x3y3)

= (21 : 7) (x4 : x3) (y5 : y3) = 3xy2.

• Giá trị của biểu thức P tại x = −0,5; y = −2 là:

3 . (−0,5) (−2)2 = −1,5 . 4 = −6.

Ta có (3xy)(x + y) = 3xy . x + 3xy . y

= 3x2y + 3xy2.

Thương trong phép chia đa thức 12x3y3 – 6x4y3 + 21x3y4 cho đơn thức 3x3y3 là:

(12x3y3 – 6x4y3 + 21x3y4) : (3x3y3)

= 12x3y3 : 3x3y3 – 6x4y3 : 3x3y3 + 21x3y4 : 3x3y3

= 4 – 2x + 4y.

a) (–xy)(–2x2y + 3xy – 7x)

= (–xy) . (–2x2y) + (–xy) . 3xy – (–xy) . 7x

= 2x3y2 – 3x2y2 + 7x2y.

b) $\left(\frac{1}{6}{x}^2{y}^2\right)(-\mathrm{0,3}{x}^{2}y-\mathrm{0,4}xy+1)$

$=\frac{1}{6}{x}^2{y}^2.(-\mathrm{0,3}{x}^{2}y)-\frac{1}{6}{x}^2{y}^2.\mathrm{0,4}xy+\frac{1}{6}{x}^2{y}^2.1$

$=\frac{-5}{6}{x}^4{y}^3-\frac{1}{15}{x}^3{y}^3+\frac{1}{6}{x}^2{y}^2$.

c) (x + y)(x2 + 2xy + y2)

= x . x2 + x . 2xy + x . y2 + y . x2 + y . 2xy + y . y2

= x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3

= x3 + (2x2y + x2y) + (xy2 + 2xy2) + y3

= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.

d) (x – y)(x2 – 2xy + y2)

= x . x2 – x . 2xy + x . y2 – y . x2 – y . (– 2xy) – y . y2

= x3 – 2x2y + xy2 – x2y + 2xy2 – y3

= x3 – (2x2y + x2y) + (xy2 + 2xy2) – y3

= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3.

a) (39x5y7) : (13x2y) = (39 : 13) (x5 : x2) (y7 : y) = 3x3y6.

b) $\left(x^2{y}^2+\frac{1}{6}{x}^3{y}^2-x^5{y}^4\right):\left(\frac{1}{2}x{y}^2\right)$

$=x^2{y}^2:\left(\frac{1}{2}x{y}^2\right)+\frac{1}{6}{x}^3{y}^2:\left(\frac{1}{2}x{y}^2\right)-x^5{y}^4:\left(\frac{1}{2}x{y}^2\right)$

$=2x+\frac{1}{3}{x}^2-2x^4{y}^2$.

a) (x – y)(x2 + xy + y2)

= x . x2 + x . xy + x . y2 – y . x2 – y . xy – y . y2

= x3 + (x2y – x2y) + (xy2 – xy2) – y3 = x3 – y3.

b) (x + y)(x2 – xy + y2)

= x . x2 – x . xy + x . y2 + y . x2 – y . xy + y . y2

= x3 – x2y + xy2 + x2y – xy2 + y3

= x3 + (x2y – x2y) + (xy2 – xy2) + y3

= x3 + y3.

c) $(4x-1)(6y+1)-3x\left(8x+\frac{4}{3}\right)$

$=4x.6y+4x.1-1.6y-1.1-3x.8x-3x.\frac{4}{3}$

= 24xy + 4x – 6y – 1 – 24x2 – 4x

= 24xy – 24x2 + (4x – 4x) – 6y – 1

= 24xy – 24x2 – 6y – 1.

d) (x + y)(x – y) + (xy4 – x3y2) : (xy2)

= x . x + x . y – x . y – y . y + (xy4) : (xy2) – (x3y2) : (xy2)

= x2 – y2 + y2 – x2 = (x2 – x2) + (y2 – y2) = 0.

a) Ta rút gọn biểu thức P như sau:

P = (5x2 – 2xy + y2) – (x2 + y2) – (4x2 – 5xy + 1)

= 5x2 – 2xy + y2 – x2 – y2 – 4x2 + 5xy – 1

= (5x2 – x2 – 4x2) + (5xy – 2xy) + (y2 – y2) – 1

= 3xy – 1.

Ta có: x = 1,2; x + y = 6,2 suy ra y = 6,2 – x = 6,2 – 1,2 = 5.

Khi đó, giá trị của biểu thức P khi x = 1,2 và y = 5 là:

3 . 1,2 . 5 – 1 = 18 – 1 = 17.

b) Ta có: (x2 – 5x + 4)(2x + 3) – (2x2 – x – 10)(x – 3)

= (2x3 – 10x2 + 8x + 3x2 – 15x  + 12) – (2x3 – x2 – 10x – 6x2 + 3x + 30)

= (2x3 – 7x2 – 7x + 12) – (2x3 – 7x2 – 7x + 30)

= 2x3 – 7x2 – 7x + 12 – 2x3 + 7x2 + 7x – 30

= (2x3 – 2x3) + (7x2 – 7x2) + (7x – 7x) + (12 – 30) = –8.

Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì (x2 – 5x + 4)(2x + 3) – (2x2 – x – 10)(x – 3) = –8.

Vậy giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

a) Ta có: P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9)

= (10x – 5x2) – (x2 + x + 9x + 9)

= (10x – 5x2) – (x2 + 10x + 9)

= 10x – 5x2 – x2 – 10x – 9

= (– 5x2 – x2) + (10x – 10x) – 9 = – 9.

Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì P = – 9.

Vậy biểu thức P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Ta có: Q = 3x2 + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1

= 3x2 + x2 – 4xy – 12x + 4xy + 12x + 1

= (3x2 + x2) + (4xy – 4xy) + (12x – 12x) + 1

= 4x2 + 1

Vì 4x2 ≥ 0 nên 4x2 + 1 > 0.

Vậy biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Diện tích tam giác vuông ban đầu là: $\frac{1}{2}.6.8=24$ (cm)

Tam giác vuông sau khi mở rộng có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x + 6 (cm); y + 8 (cm).

Diện tích tam giác vuông sau khi tăng độ dài hai cạnh góc vuông là:

$\frac{1}{2}.(x+6).(y+8)=\frac{1}{2}xy+4x+3y+24$ 

= 24 + 4x + 3y + 24 = 4x + 3y + 48 (cm)

Vậy đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y là: 4x + 3y + 48 (cm).

Trong Hình 4, ta thấy:

• Khu vực nhà bác Xuân là hình vuông có cạnh x (m)

Diện tích khu vực nhà bác Xuân là: x2 (m2).

• Mảnh đất trồng rau có dạng hình chữ nhật có chiều dài bằng x – 10 (m) và chiều rộng bằng x – 15 (m).

Diện tích mảnh đất trồng rau là: (x – 10)(x – 15) = x2 – 10x – 15x + 150

= x2 – 25x + 150 (m2).

Theo đề bài, diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m2 nên ta có:

x2 – (x2 – 25x + 150) 475

x2 – x2 + 25x – 150 = 475

25x – 150 = 475

25x = 625

x = 25.

Vậy khu vườn có độ dài 25 m.