Ta lập được các biểu thức tính một trong ba đại lượng s, v và t theo hai đại lượng còn lại như sau: s = vt; v = $\frac{s}{t}$; t = $\frac{s}{v}$.

Trong ba biểu thức trên, chỉ có biểu thức s = vt là đa thức; hai biểu thức còn lại không phải là đa thức, vì hai biểu thức v = $\frac{s}{t}$ và t = $\frac{s}{v}$ có chứa phép chia giữa các biến.

a)

• Biểu thức biểu thị chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng a (m) và diện tích bằng 3 m² là: $\frac{3}{a}$ (m).

• Gọi t là thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm.

Vì thời gian làm việc và số sản phẩm làm được là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:

$\frac{t}{x}=\frac{1}{y}$, suy ra $t=\frac{x}{y}$ (giờ)

Vậy biểu thức biểu thị thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm là: $\frac{x}{y}$ (giờ).

• Diện tích của mảnh ruộng là: a + b (ha).

Mảnh ruộng cho thu hoạch được số tấn lúa là: m + n (tấn lúa).

Biểu thức biểu thị năng suất trung bình của mảnh ruộng gồm hai thửa đó là: $\frac{a+b}{m+n}$ (tấn/ha).

b) Các biểu thức trên đều là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức không.

Do đó các biểu thức này không phải là đa thức.

a) Tại x = 0, ta có: $P=\frac{0^2-1}{2.0+1}=\frac{-1}{1}=-1$.

b) Tại $x=-\frac{1}{2}$ ta có mẫu thức có giá trị là: $2.\left(-\frac{1}{2}\right)+1=-1+1=0$.

Khi đó giá trị của biểu thức P không xác định.

a) Xét phân thức $\frac{x^2-2x+1}{x+2}$

Điều kiện xác định của phân thức trên là x + 2 ≠ 0, hay x ≠ ‒2.

• Khi x = –3 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

$\frac{{\left(-3\right)}^2-2.\left(-3\right)+1}{\left(-3\right)+2}=\frac{9+6+1}{-1}=-16$;

• Khi x = 1 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

$\frac{1^2-2.1+1}{1+2}=\frac{1-2+1}{3}=0$.

b) Xét phân thức $\frac{xy-3y^2}{x+y}$

Điều kiện xác định của phân thức trên là x + y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x + y ≠ 0).

Khi x = 3 và y = –1 thì x + y = 2 ≠ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

Khi đó ta có: $\frac{3.\left(-1\right)-3.{\left(-1\right)}^2}{3+\left(-1\right)}=\frac{-3-3}{2}=-3$.

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{1}{a+4}$ là a + 4 ≠ 0 hay a ≠ ‒4.

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x{y}^2}{x-2y}$ là x – 2y ≠ 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x – 2y ≠ 0).

• Khi x = 100, thay vào biểu thức C(x) ta được:

$C\left(100\right)=\frac{0,{0002.100}^2+120.100+1000}{100}$

            $=\frac{2+12000+1000}{100}=\frac{13002}{100}=130,02$ (nghìn đồng).

• Khi x = 1000, thay vào biểu thức C(x) ta được:

$C\left(1000\right)=\frac{0,{0002.1000}^2+120.1000+1000}{1000}$

              $=\frac{200+120000+1000}{1000}=\frac{121200}{1000}=121,2$ (nghìn đồng).

a) • Khi x = 3 và y = 2 ta có: $M=\frac{3}{2}$;

                                               $N=\frac{3^2-3}{3.2-2}=\frac{9-3}{6-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

• Khi x = ‒1 và y = 5 ta có: $M=\frac{-1}{5}$;

                                            $N=\frac{{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)}{\left(-1\right).5-5}=\frac{1+1}{-5-5}=\frac{2}{-10}=\frac{-1}{5}$.

Nhận xét: Giá trị của M và N bằng nhau khi cho x và y nhận những giá trị thỏa mãn y ≠ 0 và xy – y ≠ 0.

b) • Nhân tử thức của phân thức M với mẫu thức của phân thức N ta được:

x.(xy – y) = x²y – xy.

• Nhân tử thức của phân thức N với mẫu thức của phân thức M ta được:

(x² – x).y = x²y – xy.

Ta thấy cả hai kết quả đều là đa thức x²y – xy nên hai đa thức nhận được bằng nhau.

a) Ta có: xy².(x + 1) = x²y² + xy²;

               (xy + y).xy = x²y² + xy².

Do đó xy².(x + 1) = (xy + y).xy.

Vậy $\frac{x{y}^2}{xy+y}=\frac{xy}{x+1}$.

b) Ta có: (xy – y).y = xy² – y²;

                x.(xy – x) = x²y – x².

Do đó (xy – y).y ≠ x.(xy – x)

Vậy hai phân thức $\frac{xy-y}{x}$ và $\frac{xy-x}{y}$ không bằng nhau.

a) • Xét hai phân thức $P=\frac{x^{2}y}{x{y}^2}$ và $Q=\frac{x}{y}$ ta có:

x²y.y = x²y²;

xy².x = x²y².

Do đó x²y.y = xy².x

Vậy $\frac{x^{2}y}{x{y}^2}=\frac{x}{y}$ hay P = Q            (1)

• Xét hai phân thức $Q=\frac{x}{y}$ và $R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}$ ta có:

x.(xy + y²) = x²y + xy²;

y.(x² + xy) = x²y + xy².

Do đó x.(xy + y²) = y.(x² + xy)

Vậy $\frac{x}{y}=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}$, hay Q = R      (2)

Từ (1) và (2) ta có P = Q = R.

Vậy các phân thức P, Q và Q bằng nhau.

b) • Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức $Q=\frac{x}{y}$ với cùng đơn thức xy khác đa thức không thì được: $Q=\frac{x}{y}=\frac{x.xy}{y.xy}=\frac{x^{2}y}{x{y}^2}=P$.

• Ta có: $R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}=\frac{x\left(x+y\right)}{y\left(x+y\right)}$

Ta chia cả tử và mẫu của phân thức R cho cùng nhân tử chung là (x + y) thì được:

$R=\frac{x^2+xy}{xy+y^2}=\frac{x\left(x+y\right)}{y\left(x+y\right)}=\frac{\left[x\left(x+y\right)\right]:\left(x+y\right)}{\left[y\left(x+y\right)\right]:\left(x+y\right)}=\frac{x}{y}$.

Dùng tính chất cơ bản của phân thức

Ta có $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}=\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{ab\left(a+b\right)}=\frac{a-b}{ab}$.

Vậy $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}=\frac{a-b}{ab}$.

Trong các biểu thức trên, $\frac{3x+1}{2x-1}$ và 2x² – 5x + 3 là phân thức.

Biểu thức $\frac{x+\sqrt{x}}{3x+2}$ không phải là phân thức, vì $x+\sqrt{x}$ không phải là đa thức.

a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{4x-1}{x-6}$ là x – 6 ≠ 0, hay x ≠ 6.

b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x-10}{x+3y}$ là x + 3y ≠ 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x + 3y ≠ 0).

c) Phân thức 3x² – x + 7 xác định với mọi giá trị x ∈ ℝ.

a) Xét phân thức $A=\frac{3x^2+3x}{x^2+2x+1}=\frac{3x\left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}$

Điều kiện xác định của phân thức A là (x + 1)² ≠ 0, hay x + 1 ≠ 0, do đó x ≠ –1.

Với điều kiện xác định x ≠ –1 thì $A=\frac{3x^2+3x}{x^2+2x+1}=\frac{3x\left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{3x}{x+1}$.

Tại x = ‒ 4 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:

$A=\frac{3.\left(-4\right)}{\left(-4\right)+1}=\frac{-12}{-3}=4$.

b) Xét phân thức $B=\frac{ab-b^2}{a^2-b^2}$.

Điều kiện xác định của phân thức B là a² – b² ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của a và b thỏa mãn a² – b² ≠ 0).

Với điều kiện xác định trên thì $B=\frac{ab-b^2}{a^2-b^2}=\frac{b\left(a-b\right)}{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}=\frac{b}{a+b}$.

Tại a = 4 và b = ‒2 thì a² – b² = 12 ≠ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.

Khi đó, $B=\frac{-2}{4+\left(-2\right)}=\frac{-2}{2}=-1$.

) Xét hai phân thức $\frac{3ac}{a^{3}b}$ và $\frac{6c}{2a^{2}b}$ ta có:

3ac.2a²b = 6a³bc;

a³b.6c = 6a³bc.

Do đó 3ac.2a²b = a³b.6c

Vậy $\frac{3ac}{a^{3}b}=\frac{6c}{2a^{2}b}$.

b) Ta có: $\frac{3ab-3b^2}{6b^2}=\frac{3b\left(a-b\right)}{3b.2b}=\frac{a-b}{2b}$.

Vậy $\frac{3ab-3b^2}{6b^2}=\frac{a-b}{2b}$.

a) Ta có $\frac{2x+1}{x-1}=\frac{\left(2x+1\right).\left(x+1\right)}{\left(x-1\right).\left(x+1\right)}=\frac{2x^2+2x+x+1}{x^2-1}=\frac{2x^2+3x+1}{x^2-1}$

Vậy đa thức thay vào $\boxed{?}$ là: 2x² + 3x + 1.

b) Ta có $\frac{x^2+2x}{x^3+8}=\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=\frac{x}{x^2-2x+4}$.

Vậy đa thức thay vào $\boxed{?}$ là: x.