Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD), ta có:

• $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=30°$

• $\widehat{A}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180°$ hay $\widehat{A}+30°+30°=180°$

Suy ra $\widehat{A}=180°-30°-30°=120°$.

Vì AB // CD nên $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}=30°$ (hai góc so le trong).

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{CBD}=30°+30°=60°$.

Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên $\widehat{ABC}=\widehat{C}=60°$.

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{C}+\widehat{ADC}=360°$.

$120°+60°+60°+\widehat{ADC}=360°$

$240°+\widehat{ADC}=360°$

Suy ra $\widehat{ADC}=360°-240°=120°$.

* Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD) ta có:

• $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=40°$.

• $\widehat{A}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180°$.

Suy ra $\widehat{A}=180°-\widehat{ABD}-\widehat{ADB}=180°-40°-40°=100°$.

Ta có $\widehat{ADB}+\widehat{BDC}=120°$ suy ra $\widehat{BDC}=120°-\widehat{ADB}=120°-40°=80°$.

* Xét tam giác BCD cân tại C (vì BC = CD) ta có:

• $\widehat{CBD}=\widehat{CDB}=80°$.

• $\widehat{C}+\widehat{CBD}+\widehat{CDB}=180°$

Suy ra $\widehat{C}=180°-\widehat{CBD}-\widehat{CDB}=180°-80°-80°=20°$.

Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{CBD}=40°+80°=120°$.

Vậy số đo các góc của tứ giác ABCD là $\widehat{A}=100°; \widehat{ABC}=120° ;\widehat{C}=20°$.

a) Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60°$.

Vì PM // BC nên $\widehat{ABC}=\widehat{APM}=60°$.

Tứ giác APMR là hình thang (vì MR // AP) có $\widehat{ABC}=\widehat{APM}$.

Do đó tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Vì tứ giác APMR là hình thang cân nên AM = PR        (1)

Vì MQ // AC nên $\widehat{BQM}=\widehat{ACB}=60°$.

Tứ giác BPMQ là hình thang (vì PM // BQ) có $\widehat{BQM}=\widehat{ACB}$ nên BPMQ là hình thang cân.

Suy ra BM = PQ    (2)

Chứng minh tương tự, ta có MC = QR          (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra PR + BM + QR = MA + MB + MC.

Do đó chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC (đpcm).

c) Vì chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC

Để tam giác PQR là tam giác đều thì PQ = QR = PR suy ra MA = MB = MC

Khi đó điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Do đó M là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời M cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, đường phân giác).

Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực thì tam giác PQR là tam giác đều.