Chứng minh rằng A’B’CD là hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật đó nếu cạnh hình lập phương bằng a.

Xét tứ giác A’B’CD ta có:

A’B’ // CD (vì cùng song song với AB)

A’B’ = CD (vì cùng bằng AB)

Suy ra MF // mp(A’B’CD)

Mặt phẳng (MEF) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mp(A’B’CD) nên mp(MEF) // mp(A’B’CD)

3. Chứng minh rằng EF song song với mặt phẳng (A’B’CD)

Vì mp(MEF) // mp(A’B’CD) nên EF // mp(A’B’CD)

4. Chứng minh EF song song với mặt phẳng (A’B’CD) mà không sử dụng kết quả của câu 2.

Quan sát hình b ta thấy, khi nhìn thẳng vào mặt chứa số 2 sao cho mặt chứa số 6 ở trên thì mặt chứa số 3 sẽ ở bên trái. Áp dụng nhận xét này vào hình a thì mặt đối diện với mặt để trống là mặt có số 3. Do đó mặt để trống phải chứa số 4.

Gọi hình hộp chữ nhật đó là ABCD.A’B’C’D’

Theo đề bài ta có A’B’ = 4 cm, B’C’ = 3 cm, AC’ = 13 cm.

1.Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (ABB’A’) và (B’C’M)

Mặt phẳng (B’C’M) cũng là mặt phẳng (BCC’B’)

Giao tuyến cần tìm là BB’.

2.Xác định giao điểm của đường thẳng MD và mặt phẳng (A’B’C’D’)

Trong mp(CDD’C’), gọi I là giao điểm của DM và D’C’

Vậy I là giao điểm cần tìm

3.Xác định giao điểm của đường thẳng B’M và mặt phẳng (ABCD)

Trong mp (BCC’B’), gọi K là giao điểm của BC và B’M

Vậy K là giao điểm cần tìm.

Ta có

AD // B’C’ (vì cùng song song với BC) nên AD // mp(B’C’M)

AMC’I là hình bình hành nên AI // MC’, do đó AI // mp(B’C’M)

Vậy mp(ADI) // mp(MB’C’)

Ta có:

HI // BA’ // CD’ nên HI // mp(ACD’)

KH // AD’ nên HK // mp(ACD’)

Vậy mp(HIK) // mp(ACD’).

Trải sáu mặt của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như trên hình a. E thuộc cạnh AB của mặt ABB’A’ và $AE=\frac{1}{3}AB$, E’ thuộc cạnh AB của mặt ABCD. Để đi theo đường ngắn nhất từ E đến E’ trên mặt khai triển, con nhện phải đi theo đoạn thẳng EE’. Đường đi của con nhện trong phòng là đường EFGHIKE trên hình b.

Xét tất cả các hình hộp chữ nhật có các kích thước nguyên và tổng bằng 9

Ta thấy hình hộp chữ nhật có các kích thước 3, 3, 3 (hình lập phương) có thể tích lớn nhất.

Ta thấy $36 : 3 = 12, 15 : 3 = 5, 16 : 3 = 5\frac{1}{3}$

Số hình lập phương cạnh 3 cm nhiều nhất chứa trong hòm là 12.5.5 = 300 (hình)

Gọi chiều dài là a, chiều rộng là b, chiều cao là c.

Ta có a + b = 9 và abc = 42 nên a, b là ước của 42 và nhỏ hơn 9

Các ước của 42 mà nhỏ hơn 9 là 1, 2, 3, 6, 7.

Nếu các cạnh đáy là 6 và 3 thì $c=\frac{42}{6.3}$ không là số tự nhiên.

Nếu các cạnh đáy là 7 và 2 thì $c=\frac{42}{7.2}=3$.

Vậy các cạnh của hình hộp chữ nhật là 7 cm, 2 cm và 3 cm.

a) Có đúng một mặt được sơn ở mỗi mặt, có 4 hình lập phương nhỏ được sơn một mặt (các hình được gạch sọc). Ở sáu mặt có 4 . 6 = 24 (hình)

b) Có đúng hai mặt được sơn ở mỗi cạnh, có 2 hình lập phương được sơn hai mặt (các hình được chấm bi). Ở 12 cạnh có 2. 12 = 24 (hình)

c) Có đúng ba mặt được sơn ở mỗi đỉnh, có một hình lập phương được sơn ba mặt. Ở 8 đỉnh có 8 hình

d) Không có mặt nào được sơn. Các hình lập phương nhỏ không có mặt nào được sơn là các hình lập phương nhỏ (ở bên trong”, chúng tạo thành một hình lập phương có cạnh 2, gồm 2 . 2. 2 = 8 (hình)

Hình lập phương có 8 đỉnh.

Số đoạn thẳng có hai mút là hai điểm trong 8 đỉnh đó là $\frac{8.7}{2}=28$

Lúc đầu, tổng tám số ở các đỉnh của hình lập phương là 5. Sau mỗi bước, tổng tăng thêm 2 đơn vị nên tổng các số ở tám đỉnh luôn luôn là số lẻ, không thể chia hết cho 8. Do đó, không thể xảy ra tám số bằng nhau.

Gọi sáu số ghi trên các mặt của hình lập phương là a, b, c, d, e, g ta có:

a+b+c+d+e+g = 21

Gọi x là tổng phải tìm.

Do hình lập phương có 8 đỉnh, mỗi đỉnh là tổng của ba số (trong sáu số trên) nên x là tổng của 24 số.

Các số a, b, c, d, e ,g có số lần xuất hiện như nhau trong tổng x nên mỗi số có mặt 24: 6 = 4 (lần)

Vậy x = 4(a+b+c+d+e+g) = 4.21 = 84

1.

6 mặt của các hình lập phương nhỏ khác

Các hình lập phương nhỏ giáp với 6 mặt của các hình lập phương nhỏ khác là các hình lập phương nhỏ “ở bên trong”, chúng tạo thành một hình lập phương có cạnh 3, gồm 3.3.3 = 27 (hình)

2.

5 mặt của các hình lập phương nhỏ khác

Ở mỗi mặt, có 9 hình lập phương nhỏ giáp với 5 mặt của các hình lập phương nhỏ khác (các hình được gạch sọc). Ở sáu mặt có 9.6 = 54 (hình)

3.

4 mặt của các hình lập phương nhỏ khác

Ở mỗi cạnh, có 3 hình lập phương nhỏ giáp với 4 mặt của các hình lập phương nhỏ khác (các hình được chấm bi). Ở 12 cạnh có 3.12 = 36 (hình)

4.

3 mặt của các hình lập phương nhỏ khác

Ở mỗi đỉnh, có một hình lập phương nhỏ giáp với 3 mặt của các hình lập phương nhỏ khác. Ở 8 đỉnh có 8 (hình)

Nếu ta lấy ra các hình lập phương đơn vị được sơn thì còn lại hình lập phương cạnh 3 chứa 3.3.3 = 27 hình lập phương đơn vị không được sơn.

Số hình lập phương đơn vị có ít nhất một mặt được sơn là 125 – 27 = 98 (hình)

Ba mặt chung đỉnh phải sơn bởi ba màu khác nhau. Vậy số màu không thể ít hơn 3. Số màu là 3 khi ba mặt còn lại sơn cùng màu với mặt đối diện với nó.

Vậy số màu ít nhất cần dùng là 3.

Giả sử ta bỏ đi các hình lập phương đơn vị được nhìn thấy, nghĩa là bỏ các hình lập phương đơn vị ở lớp ngoài cùng. Ta còn lại một hình lập phương cạnh 9, gồm 9.9.9 = 729 hình lập phương đơn vị. các hình lập phương đơn vị này đều không thể nhìn thấy.

Vậy số hình lập phương đơn vị nhiều nhất có thể được nhìn thấy là

1000 – 729 = 271 (hình)

Trong lần khoan thứ nhất có 5 hình lập phương đơn vị bị xuyên. Trong lần khoan thứ hai có thêm 4 hình lập phương bị xuyên. Trong lần khoan thứ ba có thêm 4 hình lập phương đơn vị bị xuyên.

Vậy có tất cả 13 hình lập phương đơn vị bị xuyên.

Tổng cộng phải đục bảy khối lập phương đơn vị (cạnh 1 dm), gồm sáu khối ở sáu mặt và một khối ở chính giữa bên trong (em hình b)

Diện tích toàn phần của khối gỗ lúc đầu là $3.3.6=54\left(d{m}^2\right)$

Sau khi đục một khối lập phương đơn vị ở mỗi mặt, mặt ngoài của khối gỗ giảm đi $1d{m}^2$, nhưng bên trong tăng thêm $5d{m}^2$. Do đó sau khi đục sáu khối ở sáu mặt thì diện tích của khối gỗ là

$54+(5–1)6=78\left(d{m}^2\right)$

Khi đục nốt khối lập phương đơn vị ở chính giữa, dieenjt ích khối gỗ giảm đi $6d{m}^2$ (là diện tích toàn phần của khối lập phương đơn vị ấy)

Vậy diện tích toàn phần của khối gỗ còn lại là $78–6=72\left(d{m}^2\right)$

Hình lăng trụ nhỏ có 5 mặt, 6 đỉnh, 9 cạnh

Hình lăng trụ lớn có 7 mặt, 10 đỉnh, 15 cạnh

Với đa giác đáy có 100 cạnh, hình lăng trụ có 102 mặt, 200 đỉnh, 300 cạnh. Với đa giác đáy có n cạnh, hình lăng trụ có n + 2 mặt, 2n đỉnh, 3n cạnh $\left(n\ge 3\right)$

Gọi n là số cạnh của đa giác đáy. Số đỉnh của hình lăng trụ là 2n nên không thể là 25, 17, 11, 4.

Gọi n là số cạnh của đa giác đáy. Số cạnh của hình lăng trụ là 3n nên không thể là 20, 32, 6.

Gọi a là chiều dài của đáy chậu và x là chiều cao của mực nước phải tìm (đơn vị dm). Khi thùng nước đặt nằm ngang thì khối nước là một hình hộp chữ nhật có thể tích $10ax \left(d{m}^3\right)$

Khi thùng nước đặt nghiêng thì khối nước là một hình lăng trụ đứng, có chiều cao 10 dm, đáy là một tam giác vuông có cạnh góc vuông là 8 dm và $\frac{3}{4}a$, thể tích bằng $\frac{1}{2}.8.\frac{3}{4}a.10=30a\left(d{m}^3\right)$

Từ 10ax = 30a, ta tính được x = 3 dm.