Dạng 2. Vận dụng tính chất chia hết của số nguyên có đáp án
-
951 lượt thi
-
15 câu hỏi
-
45 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Chứng minh rằng: \(S = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + {2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}\) chia hết cho \( - 6\).
Xem đáp án
Nhóm tổng S thành tổng của các bội số của \( - 6\) bằng cách:
\(S = \left( {2 + {2^2}} \right) + \left( {{2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6}} \right) + \left( {{2^7} + {2^8}} \right)\)
\( = 6 + {2^2}.6 + {2^4}.6 + {2^6}.6\)
Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho \( - 6\), nên S chia hết cho \( - 6\).
Câu 2:
Cho số \(a = - {10^8} + {2^3}.\) Hỏi số a có chia hết cho \( - 9\) không?
Xem đáp án
\[a = - {10^8} + {2^3} = - {10^8} + 1 + 7 = \underbrace { - 99...9}_{{\rm{go\`a m}}\,\,{\rm{8}}\,\,{\rm{ch\"o \~o }}\,\,{\rm{so\'a }}\,{\rm{9}}} + 7\].
Số hạng đầu của \(a\) chia hết cho 9, còn 7 không chia hết cho 9 nên \(a\) không chia hết cho 9. Do đó \(a\) cũng không chia hết cho \( - 9\).
Câu 3:
Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu (6a + 11b) chia hết cho 31 thì (a + 7b) cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng không?
Xem đáp án
Ta có: \(6a + 11b = 6.\left( {a + 7b} \right) - 31b.\) (*)
Do đó \(31b \vdots 31,\) và \(6a + 11b \vdots 31,\) từ (*) suy ra \(6\left( {a + 7b} \right) \vdots 31,\)
Mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra \(a + 7b \vdots 31.\)
Ngược lại, nếu \(a + 7b \vdots 31\), mà \(31b \vdots 31,\) từ (*) suy ra \(6a + 7b \vdots 31.\)
Vậy điều ngược lại cũng đúng.
Ta có thể phát biểu bài toán lại như sau:
“Cho \[a,{\rm{ }}b\]là các số nguyên. Chứng minh rằng \(6a + 11b\) chia hết cho 31 khi và chỉ khi \(a + 7b\) chia hết cho 31”.
Câu 4:
Xem đáp án
Nhận thấy \(3x + 4 = 3\left( {x - 3} \right) + 5.\)
Do \(3\left( {x - 3} \right) \vdots \left( {x - 3} \right),\) nên \(\left( {3x + 4} \right) \vdots \left( {x - 3} \right)\) khi và chỉ khi \(5 \vdots \left( {x - 3} \right).\)
Suy ra \(x - 3 \in {\rm{\"O (5)}}\) hay \(x - 3 \in \left\{ { - 5; - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}.\) Vậy \(x \in \left\{ { - 2;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)
Câu 5:
Xem đáp án
Nhận thấy \({x^2} + 7 = x\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) + 8.\)
Do \(x\left( {x + 1} \right) \vdots \left( {x + 1} \right),\) nên \({x^2} + 7 \vdots \left( {x + 1} \right)\) khi và chỉ khi \(8 \vdots \left( {x + 1} \right).\)
Suy ra \(x + 1 \in \left\{ { - 8; - 4; - 2; - 1;\,\,1;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)
Vậy \(x \in \left\{ { - 9;\,\, - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3;\,\,7} \right\}.\)
Câu 6:
Chứng minh rằng: \(S = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + {3^6} + {3^7} + {3^8} + {3^9}\) chia hết cho \(\left( { - 39} \right).\)
Xem đáp án
\[S = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + {3^5} + {3^6} + {3^7} + {3^8} + {3^9}\]
= \[(3 + {3^2} + {3^3}) + ({3^4} + {3^5} + {3^6}) + ({3^7} + {3^8} + {3^9})\]
= 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36)\[ \vdots \,\,39\]
Suy ra \[{\rm{S}}\,\, \vdots \,\,39\] nên \[{\rm{S}} \vdots \,\,( - 39)\]
Câu 7:
Xem đáp án
Nhận thấy: \[a = {111.10^{17}} + {111.10^{14}} + {111.10^{11}} + {111.10^8} + {111.10^5} + {111.10^2} + 11\]
=\[111.({10^{17}} + {10^{14}} + {10^{11}} + {10^8} + {10^5} + {10^2}) + 11\]
Suy ra \(a\) là tổng của hai số hạng trong đó có 1 số chia hết cho 111, 1 số không chia hết cho 111 nên \(a\) không chia hết cho 111.
Vậy \(a\) không chia hết cho 111.
Câu 8:
Cho \[a,{\rm{ }}b\] là các số nguyên. Chứng minh rằng \[5a{\rm{ }} + {\rm{ }}2b\] chia hết cho 17 khi và chỉ khi \[9a{\rm{ }} + {\rm{ }}7b\] chia hết cho 17.
Xem đáp án
Xét hiệu \[5.(9a + 7b) - 9.(5a + 2b) = 17b\]
Nhận thấy \[17b\,\, \vdots \,\,17\] nên:
Nếu \[9a + 7b\]\[ \vdots \,\,17\] thì \[9.(5a + 2b)\]\[ \vdots \,\,17\], mà \[\left( {9;{\rm{ }}17} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}1\] nên \[5a + 2b\]\[ \vdots \,\,17\]
Nếu \[5a + 2b\]\[ \vdots \,\,17\]thì \[5.(9a + 7b)\]\[ \vdots \,\,17\], mà \[\left( {5;{\rm{ }}17} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}1\] nên \[(9a + 7b)\]\[ \vdots \,\,17\]
Câu 9:
Xem đáp án
\[2x - 5 = 2(x - 1) - 3\] nên \[(2x - 5)\, \vdots \,(x - 1) \Leftrightarrow 3\, \vdots \,(x - 1)\] do đó \[(x - 1)\, \in \,{\rm{\{ }} - 3;\, - 1;\,\,1;\,\,3\} \]
Vậy \[x - 1 \in \,{\rm{\{ }} - 2;\,\,\,0;\,\,2;\,\,4\} \]
Câu 10:
Xem đáp án
Do \[{x^2} + 8 = x(x + 2) - 2(x + 2) + 12\] nên \[({x^2} + 8)\,\, \vdots \,\,(x + 2) \Leftrightarrow 12\,\, \vdots \,\,(x + 2)\]
Do đó \[(x + 2) \in {\rm{\{ }} - 12;\, - 6;\, - 4;\, - 3;\, - 2;\, - 1;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,6;\,\,12\} \]
Vậy \[x \in {\rm{\{ }} - 14;\, - 8;\, - 6;\, - 5;\, - 4;\, - 3;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,4;\,\,10\} \]
Câu 11:
Xem đáp án
Vì 5 = 5.1 = \[( - 1).( - 5)\] nên ta có các trường hợp sau:
1) \[x - 1 = 1\] và \[y + 1 = 5\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = 2\] và \[y = 4\]
2) \[x - 1 = 5\] và \[y + 1 = 1\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = 6\] và \[y = 0\]
3) \[x - 1 = - 1\] và \[y + 1 = - 5\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = 0\] và \[y = - 6\]
4) \[x - 1 = - 5\] và \[y + 1 = - 1\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = - 4\] và \[y = - 2\]
Câu 12:
Xem đáp án
\[(x;y) = ( - 8; - 1);\,\,(1; - 10);\,\,(8; - 3);( - 1;\,\,6);\,\,( - 4;\,\,0);\,\,(2; - 6);\,\,(4; - 4);\,\,( - 2; - 6)\]
Câu 13:
Xem đáp án
\[xy - 2x - 2y = 0 \Leftrightarrow (x - 2).(y - 2) = 4\]
Do đó tìm được \[(x;y) = (3;\,\,6);(6;\,\,3);(1; - 2);( - 2;\,\,1);(4;\,\,4);(0;\,\,0)\].
Câu 14:
Xem đáp án
Từ điều kiện đề bài suy ra \[2x + y = 201\]
201 là số lẻ và 2x là số chẵn, suy ra y là số lẻ. Khi đó y có dạng:
\[y = 2k + 1\,\,\,\,(k\, \in \,\,\mathbb{Z}) \Rightarrow x = 100 - k\]
Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
\[(x;y) = (100;\,\,1);\,\,(99;\,\,3);\,\,(101;\, - 1);\,\,(98;\,\,5)\]
Câu 15:
Xem đáp án
\[U\left( {1001} \right) = \left\{ {1001;--1001;{\rm{ }}143;--143;{\rm{ }}91;--91;{\rm{ }}77;--77;{\rm{ }}13;--13;{\rm{ }}11;--11;{\rm{ }}7;--7;{\rm{ }}1;--1} \right\}\]
Ta có: \[x--{\rm{ }}1\] là bội của 15 nên \[x--1 = {\rm{ }}15k\;\] (\[k \in \mathbb{Z}\]) suy ra \[x + \;1{\rm{ }} = {\rm{ }}15k + {\rm{ }}2\;\](\[k \in \mathbb{Z}\])
Mà \[x + {\rm{ }}1\] là ước của 1001 nên kiểm tra thấy \[x + 1 = 77\] hay \[x = 76\]
Vậy \[x = 76\]