Bài tập Toán 8: Đối xứng trục
-
1185 lượt thi
-
8 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng D. Dựng điểm C thuộc d sao cho CA + CB có độ dài ngắn nhất.
Xem đáp án
Bài toán trở nên đơn giản nếu cho A, B nằm khác phái đối với d. Khi đó C là giao điểm của d với đoạn thẳng AB. Trong trường hợp A, B nằm cùng phái với d, ta có thể tạo ra điểm B’ nằm khác phái với A đối với d mà độ dài CB’ luôn luôn bằng CB khi C thay đổi vị trí trên đường thẳng d. Điểm B’ chính là điểm đối xứng với B qua d.
Phân tích:
Câu 2:
Cho hai đường thẳng x, y và hai điểm A, B. Dựng điểm C thuộc x và điểm D thuộc y sao cho A, B, C, D là các đỉnh của hình thang cân có AB là một cạnh đáy.
Xem đáp án
-Phân tích:
Giả sử đã dựng được hình thang cân thỏa mãn yêu cầu đề bài. Gọi d là đường trung trực của AB. Dựng đường thẳng x’ qua D và giao điểm của d và x (nếu d//x thì x’ là đường thẳng đi qua D và song song với x). Khi đó, x’ đối xứng với x qua d. Điểm D thỏa mãn hai điều kiện: thuộc x’ và thuộc y. Từ đó dựng được điểm C.
-Cách dựng:
+ Dựng đường trung trực d của AB.
+ Dựng đường thẳng x’ đối xứng với x qua d.
+ Gọi D là giao điểm của x’ và y. Dựng C đối xứng với D qua d.
-Chứng minh:
Theo cách dựng thì AB//CD do cùng vuông góc với d. Mặt khác AC đối xứng với BD qua d nên AC = BD. Vậy tứ giác ABCD là hình thang cân.
-Biện luận:
+ Nếu x’ trùng y thì bài toán có vô số nghiệm hình. Khi đó x và x’ đối xứng nhau qua d; nói cách khác d trùng với phân giác của góc tạo bởi x và y hoặc d là đường thẳng song song cách đều x và y.
+ Nếu x’//y thì bài toán không có nghiệm hình. Khi đó d song song với một tia phân giác của góc tạo bởi x và y.
+ Nếu x’ cắt y thì bài toán có một nghiệm hình. Khi đó d cắt cả hai đường thẳng chứa tia phân giác của góc tạo bởi x và y hoặc d cắt đường thẳng song song cách đều x và y.
Riêng nếu x’ cắt y tại điểm D thuộc d, bài toán không có nghiệm hình, nếu x’ cắt y tại điểm D thẳng hàng với AB, bài toán không có nghiệm hình.
Câu 4:
Cho ba điểm O, D, E. Dựng tam giác ABC sao cho O là giao điểm của các đường phân giác BD và CE.
Xem đáp án
Phân tích: Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa mãn đề bài. Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với D qua OE, đối xứng với E qua OD. Chú ý rằng BC đối xứng với BA qua OD và CB đối xứng với CA qua OE nên M, N thuộc BC. Từ đó B là giao điểm của MN và OD, C là giao điểm của MN và OE.
Cách dựng:
- Dựng M đối xứng với D qua OE, N đối xứng với E qua OD.
- Dựng điểm B, C lần lượt là giao điểm của MN với OD và OE.
- Dựng điểm A là giao điểm của BE và CD.
Câu 5:
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm khác phái đối với d. Dựng điểm C thuộc d sao cho tia phân giác của góc ACB nằm trên d.
Xem đáp án
Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vẽ thỏa mãn bài toán. Khi đó hai đường thẳng CA và CB đối xứng nhau qua d. Do đó điểm A’ đối xứng với A qua d thuộc đường thẳng CB. Khi đó C là giao điểm của BA’ và d.
Cách dựng:
- Dựng điểm A’ đối xứng với A qua d.
- Dựng điểm C là giao điểm của BA’ và d.
Chứng minh: theo cách dựng thì CA và CB là hai đường thẳng đối xứng với nhau qua d nên d là đường phân giác của góc . Ta có điều phải chứng minh.
Biện luận:
- Nếu khoảng cách từ A và B đến d bằng nhau thì bài toán không có nghiệm hình.
- Nếu khoảng cách từ A và B đến d khác nhau thì bài toán không có nghiệm hình.
Câu 6:
Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD) có , biết CD = a, đường cao AH = h.
Xem đáp án
Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thỏa mãn bài toán. Khi đó
Hay tam giác BAC cân tại B. Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác BAC. Do tam giác BAC cân nên GA = GC.
Cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng CD. Dựng đường thẳng m song song cới CD và cách CD một đoạn bằng h.
- Dựng đường trung trực d của CD, cắt m tại M.
- Dựng điểm G trên đoạn CM sao cho GC = 2GM (dựng tam giác CXY bất kì có M là trung điểm XY, G là trọng tâm tam giác CXY)
- Dựng điểm A là giao điểm đường tròn (G;GC) với đường thẳng m sao cho A và C khác phái đối với d (chú ý GC = 2GM > GM > x với x là khoảng cách từ G đến m nên luôn dựng được điểm A)
- Dựng điểm B đối xứng với A qua d.
Câu 7:
Cho điểm M nằm bên trong tam giác ABC, A’ đối xứng với M qua đường phân giác của góc A, B’ đối xứng với M qua đường phân giác của góc B, C’ đối xứng với M qua đường phân giác của góc C. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy hoặc song song từng đôi một.
Xem đáp án
Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Ta sẽ chứng minh AA’ là đường trung trực của đoạn thẳng EF.
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Do cách dựng các điểm A’, E, F nên ta có:
Hay tam giác EAF cân tại A, suy ra AA’ là đường trung trực của đoạn EF.
Hoàn toàn tương tự, BB’, CC’ lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng DE, FD. Vậy AA’, BB’, CC’ đôi một song song hoặc đồng quy.
