Bài tập Toán 8: Đối xứng tâm
-
1192 lượt thi
-
6 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Một hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của một hình bình hành khác. Chứng minh rằng các tâm của hai hình bình hành đó là trùng nhau.
Xem đáp án
Gọi EFGH là hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình bình hành ABCD (như hình vẽ bên). Gọi O là tâm của hình bình hành EFGH, ta sẽ chứng minh O cũng là tâm của hình bình hành ABCD. Thật vậy
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Ta có OP là đường trung bình của hình thang AEGD
Nên OP // DG (1)
Tương tự ta có:
OQ là đường trung bình của hình thang CGEB
Nên OQ // GC (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra O, P, Q thẳng hàng.
Vì EFGH là hình bình hành nên GF // EH, GF = EH và
Vì PQ là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên O cũng là trung điểm của AC, BD. Do vậy O là tâm của hình bình hành ABCD.
Câu 2:
Cho tứ giác ABCD, điểm E thuộc đoạn AD và điểm G thuộc đoạn BC. Dựng điểm F thuộc đoạn AB và điểm H thuộc đoạn CD sao cho EFGH là hình bình hành.
Xem đáp án
+) Phân tích:
Gọi O là trung điểm của EG thì O là điểm xác định và O là trung điểm của FH.
Vì F thuộc cạnh CD nên H sẽ nằm trên đường thẳng d là ảnh của đường thẳng CD qua phép đối xứng tâm O, do đó F là giao điểm của d và AB.
+) Cách dựng:
Dựng trung điểm O của đoạn EG.
Hạ tại M. Lấy đối xứng của M qua O ta được điểm N. Qua N kẻ đường thẳng d song song với CD, cắt AB tại F. Nối FO cắt CD tại H.
Vậy EFGH là hình cần dựng.
+) Chứng minh:
Nên OH = OF.
Tứ giác EFGH có OE = OG, OH = OF nên EFGH là hình bình hành.
+) Biện luận:
Nếu d trùng với AB: khi đó AB // CD, O cách đều AB và CD thì bài toán có vô số nghiệm hình.
Nếu d song song với AB: khi đó AB // CD, O không cách đều AB và CD thì bài toán không có nghiệm hình.
Nếu d cắt AB: khi đó AB không song song với CD thì bài toán có một nghiệm hình.
Câu 3:
Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB và O là điểm tùy ý. Lấy điểm A’ đối xứng với O qua D, B’ đối xứng với O qua E, C’ là điểm đối xứng với O qua F. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Xem đáp án
Vì AB’ song song và bằng A’B (do cùng song song và bằng OC) nên ABA’B’ là hình bình hành, do đó AA’ cắt BB’ tại trung điểm mỗi đường (1)
Tương tự, BCB’C’ là hình bình hành, do đó BB’ cắt CC’ tại trung điểm mỗi đường. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Câu 4:
Cho góc xOy khác góc bẹt và M là điểm thuộc miền trong của góc.
1. Qua M dựng đường thẳng cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự ở A và B sao cho M là trung điểm của AB.
2. Chứng minh rằng tam giác OAB nhận được trong cách dựng trên có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các tam giác tạo bởi tia Ox, Oy và một đường thẳng bất kì đi qua M.
Xem đáp án
1. Ta có hai cách dựng như sau:
Cách 1. Qua M dựng đường thẳng song song với Ox, cắt Oy ở D. Dựng B đối xứng với O qua D, đường thẳng BM cắt Ox tại A.
Cách 2. Dựng N đối xứng với O qua M. Qua N dựng các đường hẳng song song với Oy, Ox và lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B.
2. Qua M vẽ đường thẳng bất kì (không trùng với AB), cắt Ox, Oy lần lượt tại A’, B’.
Ta sẽ chứng minh
Thật vậy
Có duy nhất một đường thẳng đi qua M và cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm AB nên MA’, MB’ không bằng nhau (giả sử MA’>MB’)
Trên tia MA’ ta lấy điểm B sao cho MB’ = ME, khi đó
Câu 5:
Dựng tam giác biết một đỉnh, trọng tâm và hai đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.
Xem đáp án
Giả sử cần dựng tam giác ABC, ta biết đỉnh A, trọng tâm G và hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên hai đường thẳng . Lấy điểm B bất kì trên .
Do A, G xác định nên trung điểm M của BC xác định. Vì B, C đối xứng nhau qua M nên C nằm trên đường thẳng là ảnh của qua phép đối xứng tâm M. Do vậy C là giao điểm của và .
Câu 6:
Cho tứ giác ABCD và một điểm O nằm bên trong tứ giác. Dựng hình bình hành EFGH nhận O làm tâm đối xứng, có bốn đỉnh nằm trên bốn đường thẳng chứa cạnh của tứ giác ABCD.
Xem đáp án
Giả sử cần dựng hình bình hành EFGH có tâm O,
(như hình vẽ bên). Gọi a, b lần lượt là ảnh của AB, AD qua phép đối xứng tâm O. Khi đó ta thấy G là giao điểm của a và CD, H là giao điểm của b và BC.
Biện luận:
+ Nếu ABCD là hình bình hành thì bài toán có vô số nghiệm hình (khi O là tâm của ABCD) hoặc không có nghiệm hình (khi O không là tâm của ABCD)
+ Nếu ABCD là hình thang mà không là hình bình hành hì bài toán có vô số nghiệm hình (khi O cách đều hai đáy) hoặc không có nghiệm hình (khi O không cách đều hai đáy)
+ Các trường hợp còn lại thì bài toán có một nghiệm hình.