Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét
-
2553 lượt thi
-
12 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 9cm. Lấy trên cạnh AB điểm B', trên cạnh AC điểm C' sao cho AB' = 2cm; AC' = 3cm (h.8).
1) So sánh các tỉ số
2) Vẽ đường thẳng a đi qua B' và song song với BC, đường thẳng a cắt AC tại điểm C''.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC''.
b) Có nhận xét gì về C' và C'' và về hai đường thẳng BC và B'C'?
Xem đáp án
b) Trên đoạn thẳng AC ta có: AC’= AC’’= 3 cm nên
Khi đó, hai đường thẳng BC và B’C’ song song với nhau.
Câu 2:
Quan sát hình 9.
a) Trong hình đã cho có bao nhiêu cặp đường thẳng song song với nhau ?
b) Tứ giác BDEF là hình gì ?
c) So sánh các tỉ số và cho nhận xét về mối liên hệ giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác ADE và ABC.
Xem đáp án
a)
Nên theo định lí ta- let đảo ta có: DE // BC.
Nên theo định lí ta- let đảo ta có: EF // AB.
b) Tứ giác BDEF là hình bình hành vì có các cặp cạnh đối song song với nhau
c) Tứ giác BDEF là hình bình hành ⇒ DE = BF = 7
Ba cạnh của ΔADE tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của ΔABC
Câu 3:
Tính độ dài x của các đoạn thẳng trong hình 12.
Xem đáp án
Áp dụng hệ quả định lí Ta – lét ta có:
- Hình a: 
Thay số:
- Hình b: Ta có: 
Thay số:
- Hình c:
Ta có: AB và CD cùng vuông góc với EF nên: AB // CD.
Do đó:
Thay số:
Câu 4:
Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 13 và giải thích vì sao chúng song song.
Xem đáp án
a) Xét hình 13a) : MN // AB.
⇒ MN // AB (Theo định lý Ta-let đảo).
b) Xét hình 13b) : AB // A’B’ // A”B”.
Ta có: 
⇒ A’B’ // A”B” (Hai góc so le trong bằng nhau).
Lại có:
Kiến thức áp dụng
Định lý Ta-let đảo :
+ Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
ΔABC, B’ ∈ AB, C’ ∈ AC.
Câu 5:
Tính các độ dài x, y trong hình 14.
Xem đáp án
+ Hình 14a)
Ta có: MN // EF
⇒ 
(Hệ quả định lý Ta-let)
Mà DM = 9,5 ; DE = DM + ME = 9,5 + 28 = 37,5 ; MN = 8 ; EF = x
+ Hình 14b)
Ta có: A’B’ ⊥ AA’; AB ⊥ AA’ ⇒ A’B ‘ // AB
⇒ 
(Hệ quả định lý Ta-let)
Mà OA’ = 3 ; OA = 6 ; A’B’ = 4,2 ; AB = x
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác OAB vuông tại A ta có:
OA2 + AB2 = OB2
Mà OA = 6; AB = x = 8,4 nên
Kiến thức áp dụng
+ Hệ quả định lý Ta-let : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cạnh kéo dài) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Câu 6:
a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn thẳng bằng nhau, người ta đã làm như hình 15.
Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn thẳng AC, CD, DB bằng nhau?
b) Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm như trên mà vẫn có thể chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn thẳng bẳng nhau?
Xem đáp án
a) - Mô tả cách làm:
+ Vẽ đoạn thẳng PQ song song với AB, PQ có độ dài bằng 3 đơn vị.
+ E, F nằm trên PQ sao cho PE = EF = FQ = 1. Xác định giao điểm O của hai đoạn thẳng PB và QA
+ Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại C và D.
Khi đó ta được AC = CD = DB.
- Chứng minh AC = CD = DB:
Theo hệ quả định lý Ta-let ta có:
ΔOAC có FQ // AC (F ∈ OC, Q ∈ OA) ⇒ 
ΔOCD có EF // CD (E ∈ OD, F ∈ OC) ⇒ 
ΔODB có PE // BD (P ∈ OB, E ∈ OD) ⇒ 
Từ 3 đẳng thức trên suy ra 
Mà FQ = EF = PE ⇒ AC = CD = DB (đpcm).
b) Tương tự chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn bằng nhau thực hiện như hình vẽ sau
Ngoài cách trên, ta có thể chia một đoạn thẳng thành 5 đoạn bằng nhau bằng cách vẽ thêm một đoạn thẳng AC bằng 5 đơn vị, chia đoạn thẳng AC thành 5 đoạn thẳng bằng nhau, mỗi đoạn bằng 1 đơn vị: AD = DE = EF = FG = GC.
Từ các điểm D, E, F, G ta kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt AB tại H, I, J, K. Khi đó ta thu được các đoạn thẳng AH = HI = IJ = JK = KB.
Kiến thức áp dụng
+ Hệ quả định lý Ta-let : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cạnh kéo dài) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Câu 7:
Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD = 13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC.
Xem đáp án
Gọi DH và BK lần lượt là khoảng cách từ D và B đến cạnh AC.
Ta có AB = AD + DB
⇒ AB = 13,5 + 4,5 = 18 (cm)
Vì DH // BK (cùng vuông góc với AC) nên áp dụng hệ quả định lí Ta-lét ta có:
Vậy tỉ số khoảng cách từ D và B đến cạnh AC là 3/4
Kiến thức áp dụng
+ Hệ quả định lý Ta-let : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cạnh kéo dài) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Câu 8:
Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B', C' và H' (h.16).
a) Chứng minh rằng:
b) Áp dụng: Cho biết và diện tích tam giác ABC là 67,5 cm2. Tính diện tích tam giác AB’C’.
Xem đáp án
a) Theo hệ quả định lý Ta let ta có:
ΔABC có B’C’ // BC (B’ ∈ AB; C’ ∈ AC) ⇒ 
ΔAHC có H’C’ // HC (H’ ∈ AH, C’ ∈ AC) ⇒ 
Kiến thức áp dụng
+ Hệ quả định lý Ta-let : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cạnh kéo dài) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Câu 9:
Tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC (h.17).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270cm2.
Hình 17
Xem đáp án
a) Áp dụng hệ quả định lý Ta-let ta có:
ΔABC có MN // BC (M ∈ AB, N ∈ AC) ⇒ 
ΔAHC có KN // HC (K ∈ AH, N ∈ AC) ⇒ 
Chứng minh tương tự ta có:
Mà ta có:
b) Ta có:
Kiến thức áp dụng
+ Hệ quả định lý Ta-let: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cạnh kéo dài) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Câu 10:
Có thể đo được chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia hay không?
Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố hình học cần thiết để tính chiều rộng của khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia. Nhìn hình vẽ đã cho, hãy mô tả những công việc cần làm và tính khoảng cách AB =x theo BC =a, B’C’ = a’; BB’ = h.
Xem đáp án
+ Mô tả cách làm:
- Chọn một điểm A cố định bên mép bờ sông bên kia (chẳng hạn như là một thân cây), đặt hai điểm B và B' thẳng hàng với A, điểm B sát mép bờ còn lại và AB chính là khoảng cách cần đo.
- Trên hai đường thẳng vuông góc với AB' tại B và B' lấy C và C' thằng hàng với A.
- Đo độ dài các đoạn BB' = h, BC = a, B'C' = a' ta sẽ tính được đoạn AB.
+ Cách tính AB.
Ta có: BC ⊥ AB’ và B’C’ ⊥ AB’ ⇒ BC // B’C’
ΔAB’C’ có BC // B’C’ (B ∈ AB’, C ∈ AC’) ⇒ 
(hệ quả định lý Talet)
Kiến thức áp dụng
+ Hệ quả định lý Ta-let : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cạnh kéo dài) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Câu 11:
Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường khá cao bằng dụng cụ đơn giản được không?
Hình 19 thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm: Hai cọc thẳng đứng (cọc 1 cố định; cọc 2 có thể di động được) và sợi dây FC. Cọc 1 có chiều cao DK = h. Các khoảng cách BC = a, DC = b đo được bằng thước dây thông dụng.
a) Em hãy cho biết người ta tiến hành đo đạc như thế nào.
b) Tính chiều cao AB theo h, a, b.
Xem đáp án
a) Cách tiến hành:
- Đặt hai cọc thẳng đứng, di chuyển cọc 2 sao cho 3 điểm A, F, K nằm trên đường thẳng.
- Dùng sợi dây căng thẳng qua 2 điểm F và K để xác định điểm C trên mặt đất (3 điểm F, K, C thẳng hàng).
b) ΔABC có AB // KD (D ∈ BC, K ∈ AC)
Vậy chiều cao bức tường là 
Kiến thức áp dụng
+ Hệ quả định lý Ta-let : Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cạnh kéo dài) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Câu 12:
Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m, n, p (cùng đơn vị đo).
Dựng đoạn thẳng có độ dài x sao cho:
Hướng dẫn:
Câu b) – Vẽ hai tia Ox, Oy.
- Trên tia Ox đặt đoạn thẳng OA = 2 đơn vị, OB = 3 đơn vị.
- Trên tia Oy đặt đoạn thẳng OB’ = n và xác định điểm A’ sao cho
- Từ đó ta có OA’ = x.
Xem đáp án
a)
- Cách dựng:
+ Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.
+ Trên tia Ox lấy A và B sao cho OA = 1 đơn vị, OB = 2 đơn vị.
+ Trên tia Oy lấy điểm M sao cho OM = m.
+ Vẽ đường thẳng qua B và song song với MA cắt Oy tại C.
Khi đó đoạn thẳng OC chính là đoạn thẳng cần dựng.
- Chứng minh:
Ta có:
b)
- Cách dựng:
+ Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.
+ Trên tia Ox lấy A và B sao cho OA = 2 đơn vị, OB = 3 đơn vị
+ Trên tia Oy lấy điểm N sao cho ON = n.
+ Vẽ đường thẳng qua A và song song với NB cắt Oy tại D.
Khi đó đoạn thẳng OD chính là đoạn thẳng cần dựng.
- Chứng minh:
Ta có:
c)
- Cách dựng:
+ Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.
+ Trên tia Ox lấy A và B sao cho OA = n đơn vị, OB = p đơn vị
+ Trên tia Oy lấy điểm M sao cho OM = m
+ Vẽ đường thẳng qua B và song song với MA cắt Oy tại E
Khi đó đoạn thẳng OE chính là đoạn thẳng cần dựng.
- Chứng minh:
Ta có:
Kiến thức áp dụng
Định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Cho ΔABC, B’C’ // BC (B’ ∈ AB, C’ ∈ AC)
