Đáp án A

Gọi O là trung điểm AI. Xét tam giác vuông AIK có:

OK = OI = OA $\Rightarrow K\in \left(O;\frac{AI}{2}\right) (*)$

Ta đi chứng minh OK $\perp$ KH tại K.

Xét tam giác OKA cân tại O có $\widehat{OKA}=\widehat{OAK}$ (1)

Vì tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên H là trung điểm của BC. Xét tam giác vuông BKC có $HK=HB=HC=\frac{BC}{2}$

Suy ra tam giác KHB cân tại H nên $\widehat{HKB}=\widehat{HBK}$ (2)

Mà $\widehat{HBK}=\widehat{KAH}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra góc HKB = góc AKO mà:

$\widehat{AKO}+\widehat{OKI} = {90}^o\Rightarrow \widehat{HKB}+\widehat{OKI}= {90}^o\Rightarrow \widehat{OKH}= {90}^o$ hay OK $\perp$ KH tại K (**)

Từ (*) và (**) thì HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

Đáp án B

Lấy E là trung điểm của AH. Do M là trung điểm của BH (gt) nên EM là đường trung bình của $∆$AHB $\Rightarrow$ AM // AB và $EM =\frac{1}{2}AB$

Hình chữ nhật ABCD có CD // AB và CD = AB mà N là trung điểm của DC, suy ra DN // AB và $DN =\frac{1}{2}AB$

Từ (1) và (2) ta có AM // DN và AM = DN

Suy ra tứ giác AMND là hình bình hành, do đó DI // MN

Do EM // AB mà AB $\perp$ AD (tính chất hình chữ nhật)

AH $\perp$ DM (dt) nên E là trực tâm của ADM

Suy ra DE $\perp$ AM, mà DE // MN (cmt) $\Rightarrow$ MN $\perp$ AM tại M

Vì vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn (A; AM)

Đáp án A

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BH và CH

Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID $\perp$ DE hay $\widehat{ODI} = {90}^o$

Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có $\widehat{BDH}=\widehat{CEH}={90}^o$

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD = OH = OE = OA

Suy ra $∆$ODH cân tại I $\Rightarrow \widehat{ODH}=\widehat{OHD}$

Ta cũng có $∆$IDH cân tại I $\Rightarrow \widehat{IDH}=\widehat{IHD}$

Từ đó $\Rightarrow \widehat{IDH}+\widehat{HDO}=\widehat{IHD}+\widehat{DHO}\Rightarrow \widehat{IDO}={90}^o$$\Rightarrow ID\perp DE$

Ta có $ID \perp DE$, D $\in$ (I) nên DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH

Từ chứng minh trên, suy ra các phương án B, C, D đúng

Đáp án A

Tam giác OBC cân tại O có $\widehat{OBC} = {60}^o$

Nên tam giác OCB là tam giác đều suy ra BC = OB = OC = 2

Xét tam giác OCM có $BC = OB = BM = 2 =\frac{OM}{2}$ nên $∆$OCM vuông tại C

$\Rightarrow OC \perp CM \Rightarrow MC$ là tiếp tuyến của (O; 2cm)

Đáp án C

Tam giác OBC cân tại O có $\widehat{OBC} = {60}^o$

Nên tam giác OCB là tam giác đều suy ra BC = OB = OC = 2

Xét tam giác OCM có $BC = OB = BM = 2 =\frac{OM}{2}$ nên $∆$OCM vuông tại C

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OCM, ta có $M^2 = O{C}^2 + M{C}^2$

$$\begin{gathered} \Rightarrow M{C}^2 = O{M}^2 – O{C}^2 = 4^2 – 2^2 = 12 \\ \Rightarrow MC = 2\sqrt{3} cm \end{gathered}$$

Đáp án B

Dễ có AMON là hình bình hành (ON // AM; OM // AN)

Ta chứng minh OM = ON

Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:

$\widehat{OBM}=\widehat{OCN} = {90}^o$;

OB = OC = R,

và $\widehat{OMB}=\widehat{OCN}=\widehat{A}$

$\Rightarrow ∆OBM = ∆OCN$

$\Rightarrow OM = ON \Rightarrow AMON$ là hình thoi

Đáp án A

Dễ có AMON là hình bình hành (ON // AM; OM // AN)

Ta chứng minh OM = ON

Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:

$\widehat{OBM}=\widehat{OCN} = {90}^o$;

OB = OC = R,

và $\widehat{OMB}=\widehat{OCN}=\widehat{A}$

$\Rightarrow ∆OBM = ∆OCN$

$\Rightarrow$ OM = ON $\Rightarrow$ AMON là hình thoi

Vậy OA $\perp$ MN mà độ dài OA bằng 2 lần khoảng cách từ O đến MN

Do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

$\iff$ Khoảng cách từ O đến MN bằng R $\iff$ OA = 2R

Đáp án B

Ta có: OC $\perp$ AB $\Rightarrow$ OC đi qua trung điểm của AB

$\Rightarrow$ OC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của  $∆$ABC $\Rightarrow ∆$ ABC cân tại C

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{ACO}=\widehat{BCO}\\ AC=CB\end{array}\right.$ $\Rightarrow ∆$ AOC =  $∆$BOC (c – g – c)

$\Rightarrow$ OB $\perp$ BC $\Rightarrow$ BC là tiếp tuyến của (O)

Đáp án C

Gọi I là giao điểm của OC và AB $\Rightarrow AI = BI = \frac{AB}{2}=12cm$

Xét tam giác vuông OAI có $OI=\sqrt{O{A}^2-A{I}^2}=9cm$

Xét tam giác vuông AOC có $A{O}^2=OI.OC\Rightarrow OC=\frac{A{O}^2}{OI}=\frac{{15}^2}{9}= 25cm$

Vậy OC = 25cm

Đáp án C

Gọi I là giao điểm của MN và OP

Ta có OP $\perp$ MN tại I $\Rightarrow$ I là trung điểm của MN

$\Rightarrow$ PI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của $∆$MNP

$\Rightarrow ∆$MNP cân tại P

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{MPO}=\widehat{NPO}\\ PM=PN\end{array}\right.$ $\Rightarrow$ $∆$PMO = $∆$PNO (c – g – c)

$\Rightarrow \widehat{PMO}=\widehat{PNO}= {90}^{\circ }\Rightarrow ON \perp NP$

$\Rightarrow$ PN là tiếp tuyến của (O)

Đáp án A

Gọi I là giao điểm của MN và OP

Ta có OP $\perp$ MN tại I $\Rightarrow$ I là trung điểm của MN

Nên $IM=\frac{MN}{2}=\frac{12}{2}=6cm$

Xét tam giác OMI có $OI=\sqrt{O{M}^2-M{I}^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8cm$

Xét tam giác vuông MPO, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$M{O}^2=OI.OP\Rightarrow OP=\frac{M{O}^2}{OI}=\frac{{10}^2}{8}=12,5cm$

Vậy OP = 12,5cm

Đáp án C

Gọi F là trung điểm của AH

Xét hai tam giác vuông AEH và ADH ta có $FA = FH = FE = FD =\frac{AH}{2}$

Nên bốn đỉnh A, D, H, E cùng thuộc đường tròn tâm F bán kính $\frac{AH}{2}$

Đáp án A

AH cắt BC tại K $\Rightarrow$ AK $\perp$ BC vì H là trực tâm tam giác ABC

Ta chứng minh ME $\perp$ EF tại E

$∆$ FAE cân tại F (vì FA = FE) nên $\widehat{FEA}=\widehat{FAE}$

$∆$ MEC cân tại M (vì $ME=MC=MB=\frac{BC}{2}$) nên $\widehat{MEC}=\widehat{MCE}$

Mà $\widehat{BAK}=\widehat{ECB}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$) nên $\widehat{MEC}=\widehat{FEA}$

$\widehat{MEC}+\widehat{FEC}=\widehat{FEA}+\widehat{FEC}\Rightarrow \widehat{MEF}={90}^o$

$\Rightarrow$ ME $\perp$ EF tại E

Từ đó ME là tiếp tuyến của $\left(F;\frac{AH}{2}\right)$

Tương tự ta cũng có MD là tiếp tuyến của $\left(F;\frac{AH}{2}\right)$

Đáp án B

Vì D thuộc đường tròn đường kính AB nên BD $\perp$ AD $\Rightarrow$ BD là đường cao của $∆$ABG, mà BD là đường phân giác của ABG (gt) nên BD vừa là đường cao vừa là đường phân giác của $∆$ABG

Do đó $∆$ABG cân tại B suy ra BD là trung trực của AG (1)

Vì H đối xứng với E qua D (dt) nên D là trung điểm của HE (2)

Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của HE và AG

Do đó tứ giác AHGE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Mà HE $\perp$ AG nên $∆$HGE là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Đáp án D

Vì D thuộc đường tròn đường kính AB nên BD $\perp$ AD $\Rightarrow$ BD là đường cao của  $∆$ABG, mà BD là đường phân giác của $∆$ABG (gt) nên BD vừa là đường cao vừa là đường phân giác của $∆$ABG

Do đó $∆$ABG cân tại B suy ra BD là trung trực của AG (1)

Vì H đối xứng với E qua D (dt) nên D là trung điểm của HE (2)

Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của HE và AG

Do đó tứ giác AHGE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Mà HE $\perp$ AG nên $∆$HGE là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

Vì tứ giác AHGE là hình thoi nên AH // GE (3) và HE $\perp$ AG (tính chất) nên $\widehat{ADB} = {90}^o$ (do đó C đúng)

Xét $∆$ABG có BD và AC là đường cao, mà BD cắt AC tại E

Suy ra E là trực tâm của $∆$ABG, do đó GE $\perp$ AB (4)

Từ (3) và (4) suy ra AH $\perp$ AB

Do đó AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

Đáp án D

Vì AB là đường kính của (O; R) nên AB = 2R

Vì D thuộc tia đối của tia CB nên BD = CD + BC = 3R + R = 4R

Suy ra $\frac{AB}{BD}=\frac{2R}{4R}=\frac{1}{2};\frac{BC}{AB}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$

Xét $∆ABD\backsim ∆CBA (c.g.c)\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{ACB}$

Mà C thuộc (O; R) và AB là đường kính nên $OC=OA=OB=\frac{AB}{2}$

Suy ra $∆$ACB vuông tại C hay $\widehat{ACB} = {90}^o$

Do đó $\widehat{DAB}=\widehat{ACB} = {90}^o$ hay AD $\perp$ AB

Suy ra AD là tiếp tuyến của (O; R)

Đáp án A

Gọi I là giao điểm các tia phân giác của $\widehat{xPQ};\widehat{yQP}$ và A, B, C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, PQ và Oy

Vì I thuộc phân giác của góc xPQ nên IA = IB

Xét $∆$PAI và $∆$PBI có:

+ IA = IB (cmt)

+ Chung PI

+ $\widehat{PAI}=\widehat{PBI} = {90}^o$

nên $∆$PAI = $∆$PBI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra PA = PB

Lí luận tương tự, ta có QB = QC.

OA + OC = OP + PA + OQ + QC = OP + PB + OQ + QB = OP + PQ + QO = 2a (do chu vi $∆$OPQ bằng 2a)

Vì IA = IB và IB = IC (cmt) nên IA = IC

Xét $∆$OAI và $∆$OCI có:

+ IA = IC (cmt)

+ $\widehat{OAI}=\widehat{OCI} = {90}^o$

+ cạnh chung OI

nên $∆$OAI = $∆$OCI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow OA = OC =\frac{2a}{2}= a$

Vì a không đổi và A, C thuộc tia Ox, Oy cố định nên A và C cố định

Do A và C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, Oy nên hai đường thẳng AI và CI cố định hay I cố định

Do I và A cố định nên độ dài đoạn thẳng AI không đổi

Do IA = IB (cmt) nên IB là bán kính của đường tròn (I; IA) mà IB $\perp$ PQ tại B nên PQ tiếp xúc với đường tròn (I; IA) cố định