4 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.

Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án

Dạng 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.

2184 lượt thi
4 câu hỏi
45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó.

Xem đáp án

Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Kẻ BH vuông góc với AC .

Ta có : S_ABCD= 2S_ABC = AC.BH

Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó :

S_ABCD ≤ 8.3 = 24 (cm²)

S_ABCD = 24 cm² $\Leftrightarrow$ BH ≡ BO $\Leftrightarrow$ H ≡ O $\Leftrightarrow$ BD vuông góc với AC

Vậy max S_ABCD = 24 cm² . Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm².

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất .

Xem đáp án

Media VietJack

Tam giác HAE = tam giác EBF = tam giác FCG = tam giác GHD

$\Rightarrow$ HE = EF = FG = GH

$\Rightarrow$ EFGH là hình thoi .

$\Rightarrow$ $\hat{A H E} = \hat{B EF}$

$\Rightarrow \hat{A H E} + \hat{AEH} = 90^{0}$

$\Rightarrow$ $\hat{B EF} + \hat{AEH} = 90^{0} \Rightarrow \hat{H E F} = 90^{0}$

$\Rightarrow$ EFGH là hình vuông

Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD và EFGH.

DHOE vuông cân : HE² = 2OE² $\Rightarrow$ HE = OE $\sqrt{2}$

Chu vi EFGH = 4HE = 4 $\sqrt{2}$ OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ OE nhỏ nhất

Kẻ OK vuông góc với AB $\Rightarrow$ OE ≥OK ( OK không đổi )

OE = OK $\Leftrightarrow$ E ≡ K

Do đó min OE = OK

Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của AB , BC, CD, DA.

Câu 3:

Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a .Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm của M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D. Xác định vị trí của các điểm C,D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất . Tính diện tích tam giác đó.

Xem đáp án

Gọi K là giao điểm của CM và DB

MA = MB ; $\hat{A} = \hat{B} = 90^{0}; \hat{A M C} = \hat{BMK}$ ,

$\Rightarrow$ Tam giác MAC = MBK $\Rightarrow$ MC = MK

Mặt khác DM vuông góc với CK

$\Rightarrow$ tam giác DCK cân $\Rightarrow {\hat{D}}_{1} = {\hat{D}}_{2}$

Kẻ MH vuông góc với CD .

$\Rightarrow$ Tam giác MHD = MBD $\Rightarrow$ MH = MB = a

$\Rightarrow$ S_MCD = $\frac{1}{2}$ CD.MH ≥ $\frac{1}{2}$ AB.MH = $\frac{1}{2} .$ 2a.a= a²

S_MCD = a² $\Leftrightarrow$ CD vuông góc với Ax khi đó $\hat{A M C}$ = 45⁰ ; $\hat{B M D}$ =45⁰.

Vậy min S_MCD = a² . Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BD =a .

Câu 4:

Cho tam giác ABC có là góc tù $\hat{B}$ , điểm D di chuyển trên cạnh BC . Xác định vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AD có giá trị lớn nhất .

Xem đáp án

Gọi S là diện tích DABC Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có :

S_ABD + S_ACD = S

Kẻ BE vuông góc AD , CF vuông góc AD

$\Rightarrow$ $\frac{1}{2}$ AD.BE + $\frac{1}{2}$ AD.CF = S

$\Rightarrow$ BE +CF = $\frac{2 S}{A D}$

Do đó BE + CF lớn nhất $\Leftrightarrow$ AD nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ hình chiếu HD nhỏ nhất

Do HD ≥ HB ( do $\hat{A B D}$ >90⁰ ) và HD = HB $\Leftrightarrow$ D ≡ B

Vậy Khi D ≡ B thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất .

Bắt đầu thi ngay

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án

Dạng 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương