Đáp án D

Xét đường tròn tâm (O).

Kẻ $OE\perp AB$ tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ $OF\perp CD$ tại F.

Vì dây AB = AC nên OE = OF (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét tứ giác OEIF có $\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{I} = {90}^o$ nên OEIF là hình chữ nhật và OE = OF nên OEIF là hình vuông $\Rightarrow$ OE = OF = EI

Mà AB = IA + IB = 6cm $\Rightarrow$ EB = 3cm $\Rightarrow$ EI = EB – IB = 1cm nên OE = OF = 1cm

Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây là AB, CD là 2cm

Đáp án C

Xét đường tròn tâm (O)

Kẻ $OE\perp AB$ tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ $OF\perp CD$ tại F.

Vì dây AB = AC nên OE = OF (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét tứ giác OEIF có $\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{I} = {90}^o$ nên OEIF là hình chữ nhật và OE = OF nên OEIF là hình vuông $\Rightarrow$ OE = OF = EI

Mà AB = IA + IB = 9cm $\Rightarrow$ EB = 4,5cm $\Rightarrow$ EI = EB – IB = 1,5cm nên OE = OF = 1,5cm

Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây là AB, CD là 1,5 + 1,5 = 3cm

Đáp án A

Xét đường tròn tâm (O)

Kẻ $OE\perp AB$ tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ $OF\perp CD$ tại F suy ra F là trung điểm CD

Xét tứ giác OEMF có $\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{M}={90}^o$ nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE

Ta có CD = 12cm $\Rightarrow$ FC = 6cm mà MC = 2cm $\Rightarrow$ FM = FC – MC = 4cm nên OE = 4cm

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 4cm

Đáp án C

Kẻ $OE\perp AB$ tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ $OF\perp CD$ tại F suy ra F là trung điểm CD

Xét tứ giác OEMF có $\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{M}={90}^o$ nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE

Ta có CD = 8cm $\Rightarrow$ FC = 4cm mà MC = 1cm $\Rightarrow$ FM = FC –MC = 4 – 1 = 3cm

nên OE = FM = 3cm

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 3cm

Đáp án B

Lấy E, F lần lượt là trung điểm của hai dây AB và CD. Khi đó:

$OE\perp AB; OF\perp AC$ lại có $\widehat{FME} = {90}^o$ nên OEMF là hình chữ nhật. Suy ra OE = MF = CF – MC = 4cm

Xét đường tròn tâm (O)

Có OE = 4cm, E là trung điểm của AB nên $AE=\frac{14}{2}=7cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OEA ta có

$OA=\sqrt{A{E}^2+O{E}^2}=\sqrt{65} nên R=\sqrt{65}$

Lại có OD = $\sqrt{65}$cm; FD = 6cm nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFD ta có $OF=\sqrt{O{D}^2-F{D}^2}=\sqrt{29}$

Do đó khoảng cách từ tâm đến dây CD là $\sqrt{29}$cm

Đáp án C

Xét đường tròn (O).

Kẻ $OE\perp AB$ tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ $OF\perp CD$ tại F suy ra F là trung điểm của CD

Xét tứ giác OEMF có $\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{M}={90}^o$ nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE

Ta có CD = 8cm $\Rightarrow$ FC = 4cm mà MC = 1cm $\Rightarrow$ FM = FC – MC = 4 – 1 = 3cm

nên OE = FM = 3cm

E là trung điểm của AB nên $AE=\frac{10}{2}=5cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OEA ta có:

$OA=\sqrt{A{E}^2+O{E}^2}=\sqrt{34} nên R=\sqrt{34}$

Lại có $OD=R=\sqrt{34} ; FD=\frac{CD}{2}=4$ nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFD ta có:

$OF=\sqrt{O{D}^2-F{D}^2}=\sqrt{34-16}=3\sqrt{2}$ . Do đó khoảng cách từ tâm đến dây CD là $3\sqrt{2} cm$

Đáp án D

Lấy I là trung điểm EF

Xét tứ giác AEFB có AE // FB (vì cùng vuông với EF) nên AEFB là hình thang vuông tại E, F

Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI // AE // FB $\Rightarrow OI\perp EF$

Hay $OI\perp CD$ nên I là trung diểm CD (quan hệ giữa dây và đường kính)

Ta có IE = IF; IC = ID $\Rightarrow$ IE – IC = IF – ID $\iff$ EC = DF

Đáp án A

Lấy I là trung điểm EF

Xét tứ giác AEFB có AE // FB (vì cùng vuông với EF) nên AEFB là hình thang vuông tại E, F

Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI // AE // FB $\Rightarrow OI\perp EF$

Hay $OI\perp CD$ nên I là trung diểm CD (quan hệ giữa dây và đường kính)

Xét tam giác OEF có OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $∆$OEF cân tại O

Suy ra OE = OF

Đáp án C

Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với A tại E và cắt BD tại F thì $EF\perp BD$ tại F vì AC // BD.

Xét hai tam giác vuông OEA và tam giác OFB có OB = OA; $\widehat{EAO}=\widehat{FBO}$ (so le trong)

Nên $\Delta AEO=\Delta BFO$ (ch-gn) $\Rightarrow$ OE = OF $\Rightarrow$ AC = DB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)

Đáp án D

Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với AD tại E và cắt MN tại F thì $EF\perp MN$ tại F vì AC // MN

Xét hai tam giác vuông OEA và tam giác OFC có $\widehat{AEO}=\widehat{OFC} = {90}^o;\widehat{AOE}=\widehat{FOC}$ (đối đỉnh)

Nên $\Delta AEO\backsim \Delta CFO$ (g – g) $\Rightarrow \frac{OE}{OF}=\frac{OA}{OC}$ mà OA = OB = 2.OC

$\Rightarrow \frac{OE}{OF}=\frac{OA}{OC}=2\Rightarrow OE=2OF$

Hay OE > OF suy ra AD < MN (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn)

Đáp án A

Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với CD tại E và cắt Db tại F thì $EF\perp AB$ vì AB // CD

Khi đó E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó). Nên ED = 6cm; FB = 8cm; OD = OB= 10cm

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OED ta được:

$OE=\sqrt{O{D}^2-E{D}^2}=8cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFB ta được:

$OF=\sqrt{O{B}^2-F{B}^2}=6cm$

Vậy khoảng cách giữa hai dây là EF = OE + OF = 14cm

Đáp án D

Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với CD tại E và cắt AB tại F thì $EF\perp AB$ vì AB // CD

Khi đó E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó).

Nên $ED=\frac{CD}{2}=5cm$;

$FB=\frac{AB}{2}=7cm; OD=OB=8cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OED ta được:

$OE=\sqrt{O{D}^2-E{D}^2}=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFB ta được:

$OF=\sqrt{O{B}^2-F{B}^2}=\sqrt{8^2-7^2}=\sqrt{15}cm$

Vậy khoảng cách giữa hai dây là $EF=OE+OF=\sqrt{39}+\sqrt{15}\left(cm\right)$

Đáp án C

Kẻ $OH\perp AB; OK\perp CD (H\in AB; K\in CD)$

Theo bài ra ta có HK = 11 (cm)

Khi đó ta có H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

$\Rightarrow HB=\frac{AB}{2}=5\sqrt{3} \left(cm\right); KD=\frac{CD}{2}=8 \left(cm\right)$

Áp dụng định lý Pytago ta có: $O{B}^2=O{D}^2 \iff H{B}^2+O{H}^2=O{K}^2+K{D}^2$

Đặt OH = x (0 < x < 11) $\Rightarrow$ OK = 11 – x

Khi đó ta có: $H{B}^2+x^2={(11–x)}^2+K{D}^2$

$$\begin{gathered} \iff {\left(5\sqrt{3}\right)}^2+x^2={(11–x)}^2+K{D}^2 \\ \iff 75+x^2=x^2–22x+121+64\iff x=5 \left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy $R=OB=\sqrt{{\left(5\sqrt{3}\right)}^2+5^2}=10 \left(cm\right)$

Đáp án C

Lấy I là trung điểm của BC

Xét tam giác vuông BDC có DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $DI=IB=IC=\frac{BC}{2}$

Xét tam giác vuông BEC có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $EI=IB=IC=\frac{BC}{2}$

Từ đó $ID=IE=IB=IC=\frac{BC}{2}$  hay bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn $\left(I;\frac{BC}{2}\right)$

Xét $\left(I;\frac{BC}{2}\right)$ có BC là đường kính và DE là dây không đi qua tâm nên BC > DE

Đáp án D

+ Ta có góc AND = góc ECN (vì cùng phụ với góc CNE) nên

$\widehat{CNE}+\widehat{ECN}=\widehat{CNE}+\widehat{CDN} = {90}^o$ suy ra $\widehat{CEN} = {90}^o\Rightarrow CM\perp DN$

+ Gọi I là trung điểm của DM

Xét tam giác vuông ADM ta có $AI=ID=IM=\frac{DM}{2}$ . Xét tam giác vuông DEM ta có $EI=ID=IM=\frac{DM}{2}$ nên $EI=ID=IM=IA=\frac{DM}{2}$

Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính $R=\frac{DM}{2}$

Xét $\left(I;\frac{DM}{2}\right)$ có DM là đường kính và AE là dây không đi qua tâm nên DM > AE

Đáp án A

Xét (O) có $AB\perp CD$ tại H và AB là đường kính nên H là trung điểm của CD

$\Rightarrow HD = HC =\frac{CD}{2}= 6cm$

Vì AB = 14 $\Rightarrow OA = OB = OD =\frac{14}{2}= 7cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHD ta được:

$OH=\sqrt{O{D}^2-D{H}^2}=\sqrt{13}$

Khi đó $HA=OA+OH =7+\sqrt{13}cm$

Đáp án C

Xét (O) có $AB\perp CD$ tại H và AB là đường kính nên H là trung điểm của CD

$\Rightarrow HD=HC=\frac{CD}{2}=8cm$

Vì AB = 20 $\Rightarrow OA=OB=OD=\frac{20}{2}=10cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHD ta được:

$OH=\sqrt{O{D}^2-D{H}^2}=\sqrt{{10}^2-8^2}=6$

Khi đó HA = OA + OH = 10 + 6 = 16 cm

Đáp án D

Do $OM\perp CD\Rightarrow$ M là trung điểm của CD $\Rightarrow CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{6}.16 = 8 \left(cm\right)$

Gọi R là bán kính của đường tròn $\Rightarrow$ OC = R

Ta có OM = OH – HM = R – 4

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông OMC ta có:

$$\begin{gathered} O{C}^2 = C{M}^2 + O{M}^2\Rightarrow R^2 = 8^2 + {(R – 4)}^2 \\ \iff R^2 = 64 + R^2 – 8R + 16 \end{gathered}$$

$\iff$R = 10 (cm)