Hàm số nghịch biến khi $x<0$ và đồng biến khi $x>0\iff a+1>0\iff a>-1$.

Vậy $a>-1$.

Đường thẳng d có hệ số góc bằng -3 nên $m-1=-3\iff m=-2$.

Đường thẳng d đi qua điểm A(1;-1) nên $-1=-3.1+n\iff n=2$

Theo giả thiết (D) đi qua hai điểm  A(5;1) và B(-1;-1) nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}1=5a+b\\ -1=-a+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6a=2\\ b=a-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Thay vào phương trình của hàm số ta được: $y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$.

Hàm số đồng biến trên $ℝ\iff a>0\iff m^2-m+2017>0$, với mọi m.

$\iff {\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{8067}{4}>0$, với mọi m (luôn đúng).

Vậy với mọi giá trị của m thì hàm số luôn đồng biến trên R.

a) Khi m = 3 để điểm A(a;-4) thuộc đường thẳng (d) thì $-4=2.a+3-1\iff a=-3$.

Vậy a = -3

b) Đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M và N thì $M\left(\frac{1-m}{2};0\right)$ và $N\left(0;m-1\right)$ nên $S_{MNO}=\frac{1}{2}MO.NO=\frac{1}{2}\left|\left(m-1\right).\left(\frac{1-m}{2}\right)\right|$

Mà $S_{MNO}=1\iff \frac{1}{2}\left|\left(m-1\right).\left(\frac{1-m}{2}\right)\right|=1\iff {\left(m-1\right)}^2=4\iff \left[\begin{array}{l}m=3\\ m=-1\end{array}\right.$

Vậy $m=3,m=-1$.

Bảng giá trị giữa x và y:

Đồ thị hàm số đã cho có dạng như hình vẽ.

a) Vẽ đồ thị hàm số $y=3x+2$

Đồ thị đi qua $A\left(0;2\right)$ và $B\left(\frac{-2}{3};0\right)$

b) Ta có $S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\left|2.\frac{-2}{3}\right|=\frac{2}{3}$

Vậy $S_{OAB}=\frac{2}{3}$.

a) Vẽ đồ thị $\left(P\right):y=x^2$

Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ.

b) Gọi phương trình đường thẳng $\left(d_1\right)$ có dạng: $y=ax+b$.

Vì $\left(d_1\right)$ song song với $\left(d\right)$ nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b\ne 9\end{array}\right.\Rightarrow \left(d_1\right):y=4x+b$

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(P\right)$ và $\left(d_1\right)$ là:

 $x^2=4x+b\iff x^2-4x-b=0$ (*)

Vì $\left(d_1\right)$ tiếp xúc với $\left(P\right)$ nên (*) có nghiệm kép $\iff {\Delta }^{\text{'}}=0\iff 4+b=0\iff b=-4$ (thoản mãn).

Vậy phương trình đường thẳng $\left(d_1\right)$ là: $y=4x-4$.

Giả sử $M\left(x_0;y_0\right)$ là điểm cố định thuộc đường thẳng đã cho. Ta có:

$\left(m-1\right)x_0+\left(m-2\right)y_0=1$ với mọi m  $\iff m\left(x_0+y_0\right)-\left(x_0+2y_0+1\right)=0$ với mọi m

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0+y_0=0\\ x_0+2y_0+1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_0=-1\\ x_0=1\end{array}\right.$

Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm $M\left(1;-1\right)$ với mọi m.

Tọa độ giao điểm của $\left(d_1\right); \left(d_2\right)$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}y=x+2\\ y=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=-2\end{array}\right.$

Do đó các đường thẳng trên đồng quy $\iff \left(d_3\right)$ đi qua điểm $\left(-4;-2\right)$

$\iff -2=-4\left(k+1\right)+k\iff 3k=-2\iff k=-\frac{2}{3}$

Vậy $k=-\frac{2}{3}$ thì các đường thẳng đã cho đồng quy.

Giả sử đường thẳng đi qua A(2;4) và B(-3;-1) có phương trình là y = ax + b.

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}2a+b=4\\ -3a+b=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.$

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua A và B là $y=x+2\left(d\right)$.

Mà $C\left(-2;1\right)$ không thuộc đường thẳng (d) vì $1\ne -2+2$ hay ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Chú ý: Ngoài ra, ta có thể chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng bằng cách chứng minh AB khác BC + AC hoặc BC khác AB + AC hoặc AC khác AB + BC.

Khoảng cách giữa hai điểm A và B là .

Khoảng cách giữa hai điểm B và C là .

Khoảng cách giữa hai điểm A và C là 

Ta có: $BC+AC=\sqrt{5}+5>5\sqrt{2}=AB$. Tương tự, ta có BC khác AB + AC và AC khác AB + BC. Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Tương tự, để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể chứng minh AB = BC + AC (chứng minh tổng hai đoạn bằng độ dài một đoạn còn lại).

a) Vì A, B thuộc (P) nên: $y_A=\frac{1}{2}{x}_A^2=\frac{1}{2}{\left(-1\right)}^2=\frac{1}{2};y_B=\frac{1}{2}{x}_B^2=\frac{1}{2}{.2}^2=2$

Vậy $A\left(-1;\frac{1}{2}\right),B\left(2;2\right)$.

c)  (d) cắt Oy tại điểm C(0;1) và cắt trục Ox tại điểm D(-2;0).

Ta có: OC = 1 và OD = 2. Gọi h là khoảng cách từ O tới d.

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông OCD

Ta có: $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{O{C}^2}+\frac{1}{O{D}^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}=\frac{5}{4}\Rightarrow h=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

a) Cho x = 3 thì y = 3. Suy ra (d) cắt trục Oy tại điểm B(0;3)

Cho y = 0 thì $x=\frac{3}{1-m}\left(m\ne 1\right)$. Suy ra (d) cắt trục Ox tại điểm $A\left(\frac{3}{1-m};0\right)$

Ta có: $OA=\frac{3}{\left|1-m\right|},OB=3$. Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng (d).

$\Rightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}=\frac{{\left(1-m\right)}^2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{m^2-2m+2}{9}$

Theo giả thiết, $h=\sqrt{2}\iff h^2=2\iff \frac{9}{m^2-2m+2}=2\iff 2m^2-4m-5=0\iff m=\frac{2\pm \sqrt{14}}{2}$

b) Ta thấy, khoảng cách từ O đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất $\iff m^2-2m+2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: $m^2-2m+2={\left(m-1\right)}^2+1\ge 1,\forall m$.

Đẳng thức xảy ra $\iff m=1$

Vậy $h_{max}=3\iff m=1$

Điều kiện để hai đồ thị song song là $\left\{\begin{array}{l}-1=m^2-2\\ m+2\ne 3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2=1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\pm 1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff m=-1$

Vậy m = -1 thì hai đường thẳng đã cho song song.

Ta thấy hai đường thẳng $d_1;d_2$luôn cắt nhau:

+ Đường thẳng $d_1$ cắt trục hoành tại điểm A(2;0)

+ Đường thẳng $d_2$ cắt trục hoành tại điểm $B\left(\frac{k-3}{2};0\right)$

+ Để hai đường thẳng $d_1;d_2$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì $\frac{k-3}{2}=2\iff k=7$.

Vậy $k=7$.

Với $m\ne -1$ hai đồ thị cắt nhau tại điểm $A\left(\frac{-2}{m+1};\frac{2}{m+1}-1\right)$

Ta có: $P=y^2+2x-3={\left(\frac{2}{m+1}-1\right)}^2+2\left(\frac{-2}{m+1}\right)-3$

Đặt $t=\frac{2}{m+1}$ ta được $P={\left(t-1\right)}^2-2t-3=t^2-4t-2={\left(t-2\right)}^2-6\ge -6$

Đẳng thức xảy ra $\iff t=2\Rightarrow \frac{2}{m+1}=2\iff m=0$

Vậy m = 0 thì biểu thức $P=y^2+2x-3$ đạt giá trị nhỏ nhất.

b) $N=d\cap Oy\Rightarrow N\left(0;-1\right);P=d^{\text{'}}\cap Oy\Rightarrow P\left(0;4\right)$

Gọi H là hình chiếu của M trên Oy.

Ta có $MH=x_M=2$

Diện tích tam giác $S_{MNP}=\frac{1}{2}MH.NP=\frac{1}{2}\mathrm{.2.5}=5$ (đvdt).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P)và (d):

$-x^2=-6x+9\iff x^2-6x+9=0\iff x=3$

Thay x = 3 vào phương trình đường thẳng (d) ta được y = -9.

Vậy giao điểm của hai đồ thị là M(3;-9)

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: $x^2+x-6=0$

$\Delta =25>0$ suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 2; x = -3

Với x = 2 thì y = 4, suy ra A(2;4).

Với x = -3 thì y = 9, suy ra B(-3;9).

b) Gọi $A^{\text{'}},B^{\text{'}}$ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành.

Ta có: $S_{\Delta OAB}=S_{A{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}B}-S_{\Delta OA{A}^{\text{'}}}-S_{\Delta OB{B}^{\text{'}}}$

$A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\left|x_{B^{\text{'}}}-x_{A^{\text{'}}}\right|=x_{A^{\text{'}}}-x_{B^{\text{'}}}=5,A{A}^{\text{'}}=y_A=4,B{B}^{\text{'}}=y_B=9$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

$x^2=2\left(m-1\right)x-m^2+3m\iff x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-3m=0$  (1)

a) Với $m=3$ thì phương trình (1) trở thành: $x^2-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}\right.$

Thay $x=0,x=4$ lần lượt vào phương trình của parabol $\left(P\right):y=x^2$ ta được $y=0,y=16$.

Vậy với m = 3 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A\left(0;0\right),B\left(4;16\right)$.

b) Để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng $\frac{7}{4}$ thì phương trình (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt $x_1,x_2$ và thỏa mãn $x_1.x_2=\frac{7}{4}$.

Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ x_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-1\right)}^2-\left(m^2-3m\right)>0\\ 2\left(m-1\right)>0\\ m^2-3m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+1>0\\ m>1\\ m\left(m-3\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ m>3\end{array}\right.\iff m>3\left(*\right)$

Ta có: $x_1.x_2=\frac{7}{4}\iff m^2-3m=\frac{7}{4}\iff 4m^2-12m-7=0\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{7}{2}\left(tháam·n\left(*\right)\right)\\ m=-\frac{1}{2}\left(kh«ngtháam·n\left(*\right)\right)\end{array}\right.$

Vậy $m=\frac{7}{2}$ là giá trị cần tìm.

a) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

$x^2=\left(m+2\right)x+3\iff x^2-\left(m+2\right)x-3=0$   (1)

Ta có: $a=1\ne 0$

Xét $\Delta ={\left(m+2\right)}^2+4.3={\left(m+2\right)}^2+12>0,\forall m\in ℝ$ (vì ${\left(m+2\right)}^2\ge 0,\forall m\in ℝ$).

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy  (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m.

b) Gọi $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình (1). Theo định lí Vi-ét: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m+2\\ x_1{x}_2=-3\end{array}\right.$

Để $x_1,x_2\in \mathbb{Z}$ mà $x_1{x}_2=-3$ nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=3\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=-1\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-3\\ x_2=1\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=-3\end{array}\right.$

Suy ra $\left[\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1+x_2=-2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m+2=2\\ m+2=-2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-4\end{array}\right.$

Vậy với m = 0 hoặc m = -4 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ là các số nguyên.

a) Để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm:

$x^2+2mx+4m=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff m^2-4m>0\iff m\left(m-4\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}m>4\\ m<0\end{array}\right.$

b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1{x}_2=4m\end{array}\right.$

+ Xét m > 4 thì $x_1{x}_2=4m>0$, do đó:

$\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=3\iff \left|x_1+x_2\right|=3\iff \left|-2m\right|=3\iff 2m=3\iff m=\frac{3}{2}$ (loại vì m > 4)

+ Xét m < 0 thì $x_1{x}_2=4m<0$, do đó:  $\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=3\iff \left|x_1-x_2\right|=3$

$\iff 2\sqrt{m^2-4m}=3\iff 4m^2-16m-9=0\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{9}{2}\left(lo¹i\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}v×\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}m<0\right)\\ m=-\frac{1}{2}(tháam·n)\end{array}\right.$

Vậy $m=-\frac{1}{2}$

Đáp số: $a=-\frac{4}{5},b=-\frac{2}{5}$

a) HS tự làm.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$x^2=-x+2\iff x^2+x-2=0\iff \left(x+2\right)\left(x-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\Rightarrow y=4\\ x=1\Rightarrow y=1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là $\left(-2;4\right),\left(1;1\right)$.

(P) đi qua điểm A(3;-3) nên ta có $-3=3^2.a\iff a=-\frac{1}{3}$

Vậy $P=-\frac{1}{3}{x}^2$

a) HS tự vẽ hình.

b) Đáp số: $m<2$

Ta thấy hai đường thẳng $d_1;d_2$ luôn cắt nhau:

+ Đường thẳng $d_1$ cắt trục hoành tại điểm A(3;0).

+ Đường thẳng $d_2$ cắt trục hoành tại điểm B(k-2;0).

+ Để hai đường thẳng $d_1;d_2$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì $k-2=3\iff k=5$.

Vậy k = 5.

Để hàm số bậc nhất $y=\left(m-2\right)x+3$ đồng biến trên R thì $m-2>0\iff m>2$.

Tọa độ I là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}y=2x+5\\ y=-4x+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{-2}{3}\\ y=\frac{11}{3}\end{array}\right.$

Do $\left(d_3\right)$ đi qua điểm I nên $\frac{11}{3}=\frac{-2}{3}\left(m+1\right)+2m-1\iff m=4$

a) Để đường thẳng $\left(d_m\right)$ vuông góc với đường thẳng $\left(d\right)$ thì

$\frac{1-m}{m+2}.\frac{1}{4}=-1\iff \left\{\begin{array}{l}4m+8+1-m=0\\ m\ne 2\end{array}\right.\iff m=-3$

b) Để hàm số $y=\frac{1-m}{m+2}x+\left(1-m\right)\left(m+2\right)$ đồng biến thì $\frac{1-m}{m+2}>0\iff -2<m<1$

a) Ta có y = mx + 1 đi qua A(1;4) khi và chỉ khi 4 = m + 1 <=> m = 3.

Khi đó đường thẳng y = 3x + 1 đồng biến trên R.

b) Ta có $x+y+3=0\iff y=-x-3$, đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) khi $\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ 1\ne -3\end{array}\right.$

Vậy $m=-1$

Ta có $A\left(\frac{2}{a};0\right); B\left(0;-2\right)$, để $OB=2OA\iff 4=4.\frac{4}{a^2}\iff a^2=4\Rightarrow a=2$

a) HS tự vẽ.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: $\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{4}x-\frac{3}{2}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Giao điểm của (d) và (P) là $A\left(2;2\right),B\left(-\frac{3}{2};\frac{9}{8}\right)$. Vậy $T=\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\frac{2+\left(-\frac{3}{2}\right)}{2+\frac{9}{8}}=\frac{4}{25}$

a) HS tự làm.

b) Giao điểm của (d) và (P) là $A\left(-2;2\right),B\left(4;8\right)$

Gọi $M\left(m;0\right)$ thuộc tia $Ox\left(m>0\right)$. Gọi $C\left(-2;0\right),D\left(4;0\right)$ lần lượt là hình chiếu của A và B trên Ox.

a) Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-\left(2m-1\right)x+m-2=0\left(*\right)$

Ta có: $\Delta =4m^2-8m+9=4{\left(m-1\right)}^2+5\ge 5>0$ với mọi m.

Vậy parabol luôn cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt.

b) Vì $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-1\\ x_1{x}_2=m-2\end{array}\right.$

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1^2\\ y_2=x_2^2\end{array}\right.$

Ta có: $x_1{y}_1+x_2{y}_2=0\iff x_1^3+x_2^3=0\iff \left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)=0$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0\\ x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2m-1=0\\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ 4m^2-7m+7=0\end{array}\right.\iff m=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Vậy $m=\frac{1}{2}$.

a) HS tự làm.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: $\frac{1}{2}{x}^2=x+m\iff x^2-2x-2m=0\left(1\right)$

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff 1+2m>0\iff m>-\frac{1}{2}$

a) HS tự làm.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$x^2=\left(2m-1\right)x-2m+2\iff x^2-\left(2m-1\right)x+2m-2=0$ (1)

Nhận thấy $a+b+c=1+\left[-\left(2m-1\right)\right]+\left(2m-2\right)=0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=1; x_2=2m-2$.

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$\iff x_1\ne x_2\iff 1\ne 2m-2\iff m\ne \frac{3}{2}\left(*\right)$

Để $x_1<\frac{3}{2}<x_2$ thì $x_2=2m-2>\frac{3}{2}\iff m>\frac{7}{4}$

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra $m>\frac{7}{4}$.