11 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là?

A. Trung điểm của DM

B. Trung điểm của DB

C. Trung điểm của DE

D. Trung điểm của DA

Xem đáp án

Đáp án A

+) Ta có $∆ D C N = ∆ C M B (c - g - c)$

$\Rightarrow \hat{C D N} = \hat{E C N}$ nên $\hat{C N E} + \hat{E C N} = \hat{C N E} + \hat{C D N} = 90^{o}$

Suy ra góc $\hat{C E N} = 90^{o} \Rightarrow C M ⊥ D N$

+) Gọi I là trung điểm của DM.

Xét tam giác vuông ADM ta có $A I = I D = I M = \frac{D M}{2}$ . Xét tam giác vuông DEM ta có $E I = I D = I M = \frac{D M}{2}$

Nên $E I = I D = I M = I A = \frac{D M}{2}$

Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính $\frac{D M}{2}$

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD cạnh 4cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của AM và DN. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là?

A. R = 5cm

B. R = 10cm

C. $R = 2 \sqrt{5} c m$

D. $R = \sqrt{5} c m$

Xem đáp án

Đáp án D

+) Ta có góc CDN = góc ECN (vì cùng phụ với góc CNE)

Nên $\hat{C N E} + \hat{E C N} = \hat{C N E} + \hat{C D N} = 90^{o}$

Suy ra $\hat{C E N} = 90^{o}$ $\Rightarrow C M ⊥ D N$

+) Gọi I là trung điểm của DM

Xét tam giác vuông ADM ta có $A I = I D = I M = \frac{D M}{2}$

Xét tam giác vuông DEM ta có $E I = I D = I M = \frac{D M}{2}$

Nên $E I = I D = I M = I A = \frac{D M}{2}$

Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính $R = \frac{D M}{2}$

Xét tam giác ADM vuông tại A có AD = 4cm; $A M = \frac{A B}{2} = 2 c m$ nên theo định lý Pytago ta có $D M = \sqrt{A D^{2} + A M^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5}$

Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm A, D, E, M là $R = \frac{D M}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} c m$

Câu 3:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2cm, BC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D

Các điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?

A. D, H, B, C

B. A, B, H, C

C. A, B, D, H

D. A, B, D, C

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $∆$ ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \hat{C A D} = \hat{D A B}$

Suy ta $∆ A C D = ∆ A B D$ (c – g – c) nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$

Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có

$I A = I D = I B = I C = \frac{A D}{2}$

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD

Câu 4:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2cm, BC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D

Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm A, B, D, C

A. d = 8cm

B. d = 12cm

C. d = 10cm

D. d = 5cm

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $∆$ ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \hat{C A D} = \hat{D A B}$

Suy ta $∆ A C D = ∆ A B D$ (c – g – c) nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$

Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có

$I A = I D = I B = I C = \frac{A D}{2}$

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD

Do đó ta cần tính độ dài AD

Vì BC = 8cm $\Rightarrow$ BH = 4cm. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB ta được $A B = \sqrt{A H^{2} + B H^{2}} = \sqrt{4 + 16} = 2 \sqrt{5}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD ta có $A B^{2} = A H . A D$

$\Rightarrow A D = \frac{A B^{2}}{A H} = \frac{20}{2} = 10$

Vậy đường kính cần tìm là 10cm

Câu 5:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 4cm, BC = 6cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D

Chọn câu đúng:

A. $\hat{A B C} = 90^{\circ}$

B. DC = DB

C. Bốn điểm A, B, D, C cùng thuộc một đường tròn

D. Cả A, B, C đều đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $∆$ ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \hat{C A D} = \hat{D A B}$

Suy ta $∆ A C D = ∆ A B D$ (c – g – c) nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$ và CD = DB nên A, B đúng

Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có

$I A = I D = I B = I C = \frac{A D}{2}$

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD nên đáp án C đúng

Câu 6:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 4cm, BC = 6cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D

Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm A, B, D, C

A. d = 6,25cm

B. d = 12,5cm

C. d = 6cm

D. d = 12cm

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $∆$ ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \hat{C A D} = \hat{D A B}$

Suy ta $∆ A C D = ∆ A B D$ (c – g – c) nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$ và CD = DB nên A, B đúng

Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có

$I A = I D = I B = I C = \frac{A D}{2}$

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD.

Do đó ta cần tính độ dài AD

Vì BC = 6cm $\Rightarrow$ BH = 3cm. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB ta được $A B = \sqrt{A H^{2} + B H^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$

Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ABD ta có:

$A B^{2} = A H . A D \Rightarrow A D = \frac{A B^{2}}{A H} = \frac{5^{2}}{4} = 6, 25$

Vậy đường kính cần tìm là 6,25cm

Câu 7:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi D là trung điểm cạnh BC. Đường tròn đi qua bốn điểm B, N, M, C là:

A. Đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

B. Đường tròn tâm D bán kính BC

C. Đường tròn tâm B bán kính $\frac{B C}{2}$

D. Đường tròn tâm C bán kính $\frac{B C}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi D là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông BNC và BMC có ND, MD là hai đường trung tuyến

$\Rightarrow D N = D B = D C = D M = \frac{B C}{2}$ nên bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

Câu 8:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi D là trung điểm cạnh BC. Gọi G là giao điểm của BM và CN. Xác định vị trí tương đối của điểm G và điểm A với đường tròn đi qua bốn điểm B, N, M, C

A. Điểm G nằm ngoài đường tròn; điểm A nằm trong đường tròn

B. Điểm G nằm trong đường tròn; điểm A nằm ngoài đường tròn

C. Điểm G và A cùng nằm trên đường tròn

D. Điểm G và A cùng nằm ngoài đường tròn

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi D là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông BNC và BMC có ND, MD là hai đường trung tuyến

$\Rightarrow D N = D B = D C = D M = \frac{B C}{2}$ nên bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

Do đó ta xác định được vị trí tương đối của điểm G với đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a (a > 0)

Ta có G là trực tâm $∆$ ABC nên G cũng là trọng tâm $∆$ ABC suy ra $G D = \frac{1}{3} A G$

D là trung điểm $B C \Rightarrow A D ⊥ B D; D C = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có:

$A D = \sqrt{A C^{2} - D C^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow G D = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Nhận thấy $G D = \frac{a \sqrt{3}}{6} < \frac{a}{2} = \frac{B C}{2}$ nên điểm G nằm trong đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

Và $A D = \frac{a \sqrt{3}}{2} > \frac{a}{2} = \frac{B C}{2}$ nên điểm A nằm ngoài đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

Câu 9:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3cm, các đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Bốn điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn

A. B, N, M, C

B. A, B, M, N

C. A, C, M, N

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 10:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3cm, các đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Bốn điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A, N, G, M với G là giao của BM và CN

A. $2 \sqrt{3}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì G là giao điểm của hai đường cao BM, CN nên G là trực tâm $∆$ ABC

Ta có G là trực tâm $∆$ ABC nên G cũng là trọng tâm $∆$ ABC suy ra $A G = \frac{2}{3} A D$

D là trung điểm $B C \Rightarrow A D ⊥ B D; D C = \frac{B C}{2} = \frac{3}{2}$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có $A D = \sqrt{B C^{2} - D C^{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A G = \frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Gọi I là trung điểm của AG. Xét tam giác vuông ANG có IN = IA = IG, xét tam giác vuông AMG có IM = IA = IG nên $I M = I N = I A = I G = \frac{A G}{2}$

Hay 4 điểm A, N, G, M cùng thuộc một đường tròn bán kính $R = \frac{A G}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 11:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3cm, các đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A, N, G, M với G là giao điểm của BM và CN

A. $2 \sqrt{3}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì G là giao điểm của hai đường cao BM, CN nên G là trực tâm $∆$ ABC

Ta có G là trực tâm $∆$ ABC nên G cũng là trọng tâm $∆$ ABC suy ra $A G = \frac{2}{3} A D$

D là trung điểm $B C \Rightarrow A D ⊥ B D; D C = \frac{D C}{2} = \frac{3}{2}$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có:

$A D = \sqrt{B C^{2} - D C^{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A G = \frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Gọi I là trung điểm của AG. Xét tam giác vuông ANG có IN = IA = IG, xét tam giác vuông AMG có IM = IA = IG nên $I M = I N = I A = I G = \frac{A G}{2}$

Hay 4 điểm A, N, G, M cùng thuộc một đường tròn bán kính $R = \frac{A G}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn có đáp án (Vận dụng)

Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn có đáp án (Vận dụng)

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương